Составление уравнений состояния цепи на основании законов Кирхгофа

Из предыдущих разделов известно, что в общем случае, когда цепь содержит n_в ветвей (в том числе n_т источников тока) и n_у-узлов, число неизвестных токов (напряжений) равно n_в – n_у + 1 – n_т. Для отыскания такого числа неизвестных составляется система уравнений по законам Кирхгофа.

По первому закону Кирхгофа (ЗТК) записывается n_у – 1 уравнений вида (1.16):

где m – число ветвей, сходящихся в узле.

По второму закону Кирхгофа (ЗНК) записывается n_в – n_у + 1 уравнений вида (1.17):

где п—число ветвей, входящих в контур.

Если цепь содержит, кроме линейных, также и НЭ, то в системе уравнений, описывающей состояние цепи, появятся уравнения вида i_k = F_k(u_k). Методика составления уравнений состояния цепи на основе законов Кирхгофа остается такой же, как и в случае линейных резистивных цепей.

Составим, например, систему уравнений состояния для цепи, схема которой изображена на рис. 10.13. Пусть ВАХ нелинейного элемента аппроксимируется выражением

Зададимся положительными направлениями напряжений и токов. Цепь содержит один независимый контур (I) и один независимый узел (1). Уравнения, записанные по ЗТК и ЗНК, имеют следующий вид:

К этим уравнениям дописываем уравнение (10.14). Неизвестными в данной системе уравнений являются напряжение U_н и токи I₁ и I_н. Всего три неизвестных. Для их отыскания составлено три уравнения. Как видим, процесс составления системы уравнений такой же, как и в случае линейной цепи. Однако процесс решения полученной системы, которая содержит нелинейное уравнение, может существенно затрудниться. Для большинства относительно сложных цепей аналитического решения системы уравнений может и не существовать. Тогда приходится прибегать к численным методам решения.

В рассматриваемом примере достаточно просто получить аналитическое решение. Предположим вначале, что решение системы уравнений существует при U_н > 0. Тогда уравнение НЭ имеет вид

Выразим из уравнения (10.15) ток I₁ = I_н – J₀₂ и подставим его в уравнение (10.16). В результате этой операции получим

Подставив в (10.18) выражение (10.17), получим уравнение относительно неизвестного напряжения на нелинейном двухполюснике

Отсюда имеем

Пусть R₁ = l кОм, U₀₁ = 14 В, J₀₂ = 10 мА, a = 10^–5 А/В. Тогда U_н = 20 В.

Второе решение уравнения (10.19) даст U_н < 0. Это решение не подходит, так как применялось уравнение НЭ, справедливое при U_н > 0.

Допустим теперь существование решения системы уравнений (10.15)— (10.16) при U_н< 0. Согласно уравнению НЭ (10.14) I_н = 0. Тогда из уравнения (10.18) имеем

а это противоречит условию, что U_н< 0.

Таким образом, остается первое решение (10.20). Найдем остальные неизвестные. Из (10.17) имеем , а из (10.15) I₁ = I_н –J₀₂ = —6 мА.

В данном примере получено аналитическое решение системы нелинейных уравнений. Если бы ВАХ нелинейного элемента описывалась более сложной функцией, то этого достичь не удалось бы.

Составление уравнений состояния цепи методом узловых напряжений (потенциалов)

Как известно, переменными в методе узловых напряжений являются напряжения n_у – 1 узлов по отношению к базисному узлу.

Рассмотрим в качестве примера схему, изображенную на рис. 10.34. Пусть ВАХ нелинейных элементов описываются выражениями I = aU³ для элемента НЭ₁ и I = bU² для элемента НЭ₂. В схеме имеется зависимый источник (ИТУТ) с током I₅ = H_iI₁.

Приняв узел 4 за базисный, имеем три независимых узла: 1, 2 и 3. Токи ветвей выражаются через узловые напряжения U₁, U₂ и U₃ следующим образом:

Составим уравнения для узлов 1, 2 и 3 по ЗТК:

Подставив в эти уравнения значения токов из (10.21), получим

Уравнения узловых напряжений получены в виде системы трех нелинейных уравнений с тремя неизвестными узловыми напряжениями. Можно уменьшить число уравнений, если из первого уравнения выразить U₂ через U₁ и U₃ и исключить его из двух остальных уравнений. В результате получим систему двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными напряжениями узлов 1 и 3.

Решить данную систему уравнений можно одним из численных методов (например, известным из математики методом Ньютона— Рафсона). Определив узловые напряжения, можно вычислить токи и напряжения ветвей.

Аналитические методы нахождения рабочей точки

Задача о нахождении рабочей точки может решаться и аналитическими методами, если зависимость I(U) нелинейного резистивного элемента задана аналитически. Она сводится к решению нелинейного уравнения

относительно напряжения U =U₀ в рабочей точке резистора. Так например, в цепи с идеализированным выпрямительным диодом, у которого , где I₀ и ^j_T – некоторые постоянные, задача нахождения рабочей точки приводит к решению трансцендентного уравнения относительно неизвестного напряжения U= U₀ с последующим нахождением тока I₀ = (Е—U₀)/R в рабочей точке диода.

Если вольт-амперная характеристика нелинейного резистора аппроксимирована полиномом I= a₁U + a₂U² + ... + a_nUⁿ, то уравнение (10.23) будет представлять собой алгебраическое уравнение степени п относительно искомого напряжения в рабочей точке и, как известно, в общем случае может быть решено лишь численно, если n> 4.

В заключение следует подчеркнуть, что нелинейный характер взаимозависимостей между реакциями и воздействием в анализируемых цепях обусловливает неприменимость к ним в общем случае принципа наложения, лежащего в основе высокоэффективных методов анализа и синтеза линейных электрических цепей. По этой же причине только в редких случаях удается найти решение задач анализа колебаний в аналитической форме, даже в таких простейших нелинейных цепях, как нелинейные резистивные цепи.