8.1. Предмет и задачи теории телетрафика
8.2. Характеристики и свойства потоков вызовов
8.2.1. Основные понятия случайного процесса в системе массового обслуживания
8.1. Предмет и задачи теории телетрафика
С появлением и широким распространением телефонных систем и вследствие возникновения необходимости разработки математических методов для оценки качества их функционирования в начале ХХ века родилась теория массового обслуживания, которая в настоящее время используется для решения широкого круга задач – от бытового обслуживания до космических исследований. Однако определяющую роль в развитии теории массового обслуживания продолжает играть одна из ее ветвей – теория телетрафика (teletraffic theory), основоположником которой считается датский ученый А. К. Эрланг.
Термин телетрафик (teletraffic) применим к множеству видов сообщений, однако большинство исследований относится к системам и сетям передачи данных и телефонных сообщений. В теории телетрафика все рассматриваемые объекты объединяются под общим названием системы распределения информации (системы телетрафика).
Система распределения информации – совокупность коммутационных приборов, часть или весь коммутационный узел либо сеть связи, которые по определенному алгоритму обслуживают сообщения различного вида (телефонные, телеграфные, факсимильные, видео, данные ЭВМ и др.).
Главной целью теории телетрафика является построение математических моделей, адекватно отображающих реальные системы распределения информации, а также разработка методов оценки качества их функционирования. Это позволяет наиболее экономично строить системы и сети передачи сообщений при заданном качестве обслуживания.
Предметом теории телетрафика являются процессы обслуживания системами распределения информации поступающих потоков сообщений и их численные характеристики.
К основным задачам теории телетрафика относятся:
1) задачи анализа, которые включают в себя определение характеристик качества обслуживания в зависимости от характеристик и параметров входящего потока вызовов, структуры системы обслуживания и дисциплины обслуживания (например, определение среднего времени ожидания соединения);
2) задачи синтеза, которые заключаются в построении такой оптимальной коммутационной системы, где при известных параметрах потоков сообщений, дисциплине и качестве обслуживания минимизируется ее стоимость (обратная задача заключается в построении коммутационной системы заданной стоимости, которая минимизирует потери вызовов при известных параметрах потоков сообщений, дисциплине обслуживания);
3) задача оптимизации заключается в управлении потоками вызовов или структурой сети для достижения наилучших показателей качества ее функционирования.
С развитием телекоммуникаций повышаются требования к экономичности построения и качеству функционирования систем связи. В связи с этим задачи анализа, синтеза и оптимизации телекоммуникационных систем и сетей необходимо решать с учетом перспектив их развития.
8.2. Характеристики и свойства потоков вызовов
8.2.1. Основные понятия случайного процесса в системе массового обслуживания
Система массового обслуживания (СМО) состоит из какого-либо числа обслуживающих единиц (например, числа каналов связи). Работа любой СМО состоит в выполнении поступающего на нее потока требований (заявок). Заявки поступают на систему в случайные и не случайные моменты времени. Обслуживание каждой поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается. В зависимости от числа каналов СМО обладает пропускной способностью, которая позволяет более или менее справляться с потоком заявок. Различают:
· абсолютную пропускную способность – число заявок, которое система может обслужить в единицу времени;
· относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных.
В большинстве случаев моменты поступления заявок, а также длительность их обслуживания случайны. В связи с этим в потоке заявок могут образовываться так называемые сгущения и разряжения. Сгущения могут приводить либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разряжения могут приводить непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. Таким образом, процесс функционирования СМО представляет собой случайный процесс.
Случайный процесс, протекающий в СМО, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок в очереди и т. п. СМО представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (счетным) множеством состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком в тот момент, когда происходит какое-то новое событие (поступление новой заявки, уход заявки из очереди и т. п.).
Рассмотрим физическую систему Х со счетным множеством состояний [1]:
х1,х2, . . .хn, . . .
В любой момент времени t система Х может находится в одном из этих состояний. Обозначим рk(t) (k=1, 2, . . . n, . . .) вероятность того, что в момент времени t система будет находится в состоянии хk. Для такого случая будет справедливо равенство:
(8.1)
Совокупность вероятностей рk(t) для каждого момента времени t характеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в системе. Случайные процессы в дискретной системе со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным и непрерывным временем. Для случайных процессов с дискретным временем переходы из одного состояния в другое могут происходить только в строго определенные, заранее известные моменты t1, t2, . . . Для случайных процессов с непрерывным временем смена состояния системы возможна в любой момент времени t. Случайные процессы протекающие в СМО, как правило, представляют собой процессы с непрерывным временем.
В качестве примера рассмотрим одноканальную СМО (одна телефонная линия), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает систему (получает отказ). Эта система с непрерывным временем и двумя возможными состояниями: х0 – канал свободен, х1 – канал занят. Переходы из одного состояния в другое обратимы. Для n-канальной системы имеются следующие состояния: х0 – все каналы свободны; х1 – один канал занят; х2 – занято два канала и т. д. На рисунке 8.1 показаны схемы возможных переходов.
Рисунок 8.1 – Переходы состояний для одноканальной и n-канальной систем
Другим примером дискретной системы с непрерывным временем является одноканальная СМО с четырьмя состояниями: х0 – канал исправен и свободен; х1 –канал исправен и занят; х2 – канал неисправен и ждет ремонта; х3 – канал неисправен и ремонтируется. Схема возможных переходов для этого случае показана на рисунке 8.2.
Рисунок 8.2 – Переходы для одноканальной системы с ремонтом
Для СМО основным фактором, обуславливающим протекающие в ней процессы, является поток заявок (вызовов). Поэтому математическое описание любой СМО начинается с описания потоков вызовов.
8.2.2. Характеристики и свойства потоков вызовов
Поток вызовов – последовательность вызовов, поступающих один за другим в какие-либо моменты времени (вызовы, поступающие от группы абонентов или группы устройств телефонной сети, поток информации, поступающий на ЭВМ, поток телеграмм и т. п.).
Потоки вызовов подразделяются на следующие виды:
· детерминированные – с фиксированными моментами поступления;
· случайные – потоки, в которых моменты поступления вызовов зависят от случайных факторов.
Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике встречаются редко. В связи с этим в теории телетрафика основное внимание уделяется рассмотрению случайных потоков вызовов.
Основными характеристиками случайных потоков являются:
1) параметр потока l(t) в момент времени t есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке (t, t +Dt) к величине этого промежутка Dt при Dt®0:
, (8.2)
где i – количество вызовов
2) интенсивность потокаm(t) в момент времени t есть предел отношения приращения математического ожидания числа вызовов в промежуток времени (t, t +Dt) к величине этого промежутка Dt при Dt®0:
, (8.3)
где m(0,t) m(0,t+Dt) – математические ожидания числа вызовов за промежутки времени (0,t) (0,t+Dt).
Интенсивность m(t) характеризует случайный поток в момент времени t числом поступающих вызовов. Параметр характеризует этот же поток за ту же единицу времени числом вызывающих моментов, т. е. моментов поступления одного или одновременно группы вызовов. Поэтому для любого случайного потока имеет место соотношение: 
.
Основными свойствами случайных потоков являются:
1) стационарность – стационарным называется поток, если вероятность поступления определенного количества вызовов за любой промежуток времени определяется лишь длительностью этого промежутка и не зависит от момента его начала;
2) ординарность – ординарным называется поток, в котором вероятность поступления более чем одного вызова за малый промежуток времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью поступления одного вызова;
3) отсутствие последствия – поток вызовов называется потоком без последствия, если вероятность поступления вызова в момент времени t не зависит от предыдущих событий.
Поток вызовов, обладающий одновременно свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим потоком.
8.2.3. Длительность обслуживания вызовов
Длительность обслуживания поступившего вызова может быть детерминированной или случайной. Детерминированная длительность задается последовательностью величин hk, характеризующих длительность обслуживания k-го вызова. При hk=h длительность обслуживания называется постоянной. Детерминированная длительность обслуживания характерна для управляющих устройств АТС. В большинстве случаев общая длительность обслуживания вызова, как правило, величина случайная и описывается вероятностным законом распределения:
, (8.4)
где 
- вероятность того, что длительность случайного времени обслуживания t будет меньше наперед заданного значения времени t;
h – среднее время обслуживания.
8.3. Характеристики систем обслуживания вызовов
Дисциплина обслуживания – это набор правил в соответствии с которым происходит обслуживание вызовов и связанных с ним сообщений.
В системах распределения информации поступающие потоки сообщений могут обслуживаться в соответствии с двумя основными дисциплинами:
1) без потерь – для передачи каждого сообщения немедленно предоставляется требуемое соединение;
2) с потерями – часть сообщений получает отказ в обслуживании или их обслуживание задерживается на некоторое время.
По экономическим соображениям реальные системы коммутации проектируют как системы с потерями. В системах с потерями различают обслуживание:
· с явными потерями, при котором вызов и связанное с ним сообщение при получении отказа в немедленном установлении соединения полностью теряются и на обслуживание больше не поступают;
· с условными потерями, при котором сообщение, поступившее в момент занятости соединительных путей не пропадает, но задерживается обслуживание вызова, несущего это сообщение.
По способу обслуживания задержанных вызовов различают системы:
· с ожиданием, при котором задержанные вызовы становятся в очередь и обслуживаются по мере освобождения соединительных устройств, а потери выражаются в задержке обслуживания. Выбор источников из очереди может происходить в порядке поступления вызовов (упорядоченная очередь), в обратном порядке (реверсивная очередь), в случайном порядке (случайная очередь), с приоритетами относительным или абсолютным для некоторых категорий вызовов.
· с повторными вызовами,в которых задержанные вызовы повторяются через случайные или детерминированные промежутки времени до получения требуемого соединения. Здесь такие понятия как потери вызовов и сообщений разделяются, т. к. потеря отдельных вызовов (попыток) не ведет к явной потери сообщения. Происходит только задержка обслуживания, т. е. возникают условные потери.
Наряду со способами обслуживания с явными и условными потерями возможен ряд комбинированных способов. В системе с ожиданием часто ограничивается время пребывания источника в очереди или длина очереди. Тогда часть поступивших сообщений обслуживается с ожиданием, а часть - с повторением или с явными потерями. При обслуживании повторными вызовами возможны ограничения на число повторных попыток (длина очереди). При этом наряду с условными потерями возникают явные потери сообщений.
Для описания реальных коммутационных систем без ожидания используются модели с явными потерями сообщений и модели с повторными вызовами. Система с повторными вызовами математически более сложная и применяется при исследовании и расчете коммутационных систем со сравнительно высокими потерями, когда интенсивность потоков повторных вызовов велика. Однако часто для упрощенного описания реальных систем с возможностью повторения вызовов используется модель с явными потерями.
8.4. Понятие телефонной нагрузки и ее виды
Суммарное время занятия коммутационных устройств за определенный промежуток времени называется телефонной нагрузкой.
Различают следующие виды телефонной нагрузки:
1) поступающая – нагрузка за промежуток времени (t1, t2), которая была бы обслужена, если бы каждому поступающему вызову было тот час же предоставлено коммутационное устройство и соединение было бы доведено до конца:
, (8.5)
где yпi(t1, t2) – суммарное время занятия i-го соединительного пути без отказов;
v=¥ - количество соединительных путей равно бесконечности, т. к. каждый вызов должен быть обслужен;
2) обслуженная нагрузка – суммарное время занятия всех соединительных путей коммутационной системы за промежуток времени (t1, t2):
, (8.6)
где yoi (t1, t2) – суммарное время занятия i-го пути;
3) потерянная нагрузка – часть поступающей, но не обслуженной нагрузки, из-за отсутствия свободных соединительных путей:
(8.7)
Для того, чтобы подчеркнуть, что величина нагрузки складывается из промежутков времени, соответствующих отдельным занятиям, за единицу измерения телефонной нагрузки взято часо-занятие.
Одно часо-занятие – это такая нагрузка, которая может быть обслужена одним соединительным устройством при его непрерывном занятии в течении одного часа.
Математическое ожидание нагрузки в единицу времени называется интенсивностью нагрузки, которая определяется по формуле:
, (8.8)
где h – среднее время занятия;
Рi – вероятность занятия i-го соединительного пути из общего числа v;
i – число занятых путей.
Нагрузка и ее интенсивность измеряются Эрлангах (Эрл). 1Эрл – это такая интенсивность нагрузки, при которой в течение одного часа будет обслужена нагрузка в одно часо-занятие:
(8.9)
Вопросы для самоконтроля
1. Что такое система распределения информации?
2. Что является объектом изучения теории телетрафика?
3. Что является предметом изучения теории телетрафика7
4. Какие основные задачи решает теория телетрафика?
5. Что такое поток вызовов?
6. Какие потоки вызовов называются случайными?
7. Какие потоки вызовов называются детерминированными?
8. Что такое параметр потока?
9. Что такое интенсивность потока?
10. В чем заключается свойство стационарности случайного потока?
11. В чем заключается свойство ординарности случайного потока?
12. Каким законом описывается длительность обслуживания вызова?
13. Что такое дисциплина обслуживания потоков вызовов?
14. Какие системы относятся к системам с явными потерями?
15. Какие системы относятся к системам с условными потерями?
16. Каким способами могут обслуживаться задержанные вызовы?
17. Что такое телефонная нагрузка?
18. На какие виды подразделяется телефонная нагрузка?
19. Что такое интенсивность нагрузки?
20. В чем измеряется интенсивность нагрузки?