Характеристики различных сигналов

Все сигналы могут быть подразделены на периодические и непериодические.

Периодическим называется сигнал, значения которого повторяются через определенные равные промежутки времени, называемые периодом повторения сигнала, или просто периодом. Для непериодического сигнала это условие не выполняется.

Простейшим периодическим сигналом является гармоническое колебание.

,

где S, w – амплитуда и угловая частота колебания.

Другим примером периодического сигнала является последовательность прямоугольных импульсов (рис. 3.2, а). Как вы думаете, из чего состоит эта последовательность импульсов? Оказывается, из синусоид. Взгляните на рис. 3.2. В качестве исходной синусоиды выберем такую, у которой период колебаний совпадает с периодом T прямоугольных импульсов (рис. 3.2, б)

, (3.1)

где – амплитуда синусоиды, а .

Колебание (3.2.) заданной частоты и амплитуды можно представить в виде графика: на оси частот отметить значение и изобразить вертикальную линию высотой, равной амплитуде сигнала (см. рис. 3.2, б).

Следующая синусоида имеет частоту колебаний в 3 раза большую, а амплитуду – в 3 раза меньшую.

Сумма этих двух синусоид пока еще мало похожа на прямоугольные импульсы (рис. 3.2, в). Но если мы добавим к ним синусоиды с частотами колебаний в 5, 7, 9, 11, и т.д. раз большими, а с амплитудами в 5, 7, 9, 11, и т.д. раз меньшими, то сумма всех этих колебаний:

Рис. 3.2. Периодическая последовательность прямоугольных импульсов (а) и формирование ее сигнала (б–д)

где , будет не так уже сильно отличатся от прямоугольных импульсов (рис. 3.2, г и д). Таким образом, степень “прямоугольности” импульсов определяется тем, сколько синусоид со все более высокими частотами колебаний мы будем суммировать.

Может показаться, что представление прямоугольных импульсов в виде совокупности синусоид есть не более чем математический прием и не имеет никакого отношения к реальности. Однако это не так. Радиоинженерам хорошо знакомы приборы (они называются анализаторами спектров), которые позволяют выделить каждую входящую в сложный сигнал синусоиду.

Тот факт, что сигнал произвольной формы (а не только прямоугольные импульсы) можно “разложить” на сумму обыкновенных синусоид, впервые доказал в 20-х годах прошлого века французский математик Ж. Фурье. Такой набор синусоид получил название спектра сигнала. Каждый сигнал (отличающийся от других по форме) имеет свой сугубо индивидуальный спектр, т.е. может быть получен только из синусоид со строго определенными частотами и амплитудами.

Непериодический сигнал легко получить из периодического, увеличивая период вплоть до (рис. 3.3, а–г). Спектр амплитуд для сигналов с разными периодами показаны на рис. 3.4, а–в.

Рис. 3.3. Увеличение периода последовательности прямоугольных импульсов

При увеличении периода сигнала частота первой гармоники понижается. Спектральные линии становятся гуще. Амплитуды гармоник уменьшаются. Последнее становится понятным, если учесть, что энергия сигнала, оставаясь неизменной, перераспределяется теперь между возросшим числом гармоник. Естественно, доля каждой гармоники в общем сигнале падает.

Следовательно, при переходе к непериодическому сигналу (например, к одиночному импульсу) мы получаем в спектре такого сигнала вместо отдельных гармоник бесконечно большое число синусоидальных колебаний с бесконечно близкими частотами, заполняющими всю шкалу частот. Причем амплитуда каждого такого колебания становится исчезающе малой, потому что на его долю приходится бесконечно малая часть энергии сигнала. Другими словами, в любой бесконечно узкой полосе частот мы всегда обнаружим синусоидальное колебание, правда, бесконечно малой амплитуды.

Рис. 3.4. Спектры амплитуд периодических последовательностей импульсов с разными периодами а–в см. в тексте

Поскольку сравнивать между собой бесконечно малые величины неудобно, то вместо амплитуд по оси ординат откладывают произведение , которое с увеличением периода Т остается постоянным. В новых координатах спектры, показанные на рис. 3.4, а–в, будут выглядеть так, как показано на рис. 3.5, а–г. Понятие спектра амплитуд здесь лишено смысла и заменяется понятием спектральной плотности амплитуд, которая указывает, по сути, на удельный вес бесконечно малой амплитуды синусоидального колебания в любой бесконечно узкой полосе частот. Понятие спектра фаз заменяется понятием спектральной плотности фаз. Таким образом, спектр непериодического сигнала является в общем случае не дискретным, а непрерывным.

Рис. 3.5. Переход к спектральной плотности (г) одиночного прямоугольного импульса а–в см. в тексте

Уровни сигналов

Для сравнения мощностей сигналов, передаваемых по системе электросвязи, часто пользуются логарифмическими единицами – децибелами. Децибел (русское обознач. ДБ, международное – dB), как показывает приставка “деци”, составляет десятую часть другой, более крупной единицы, названной белом в честь А.Г. Белла – изобретателя телефона. Бел – это десятичный логарифм отношения двух мощностей. Если известны две мощности: Р₁ и Р₂, то их отношение, выраженное в белах, определяется формулой p=lg(P₂/P₁).

Для практики бел – слишком крупная величина. Обычно отношение мощностей выражают в децибелах, для чего при расчетах пользуются формулой p=10lg(p₂/p₁).

Динамический диапазон и пик-фактор сигналов. Мгновенная мощность сигналов связи может принимать различные значения в самых широких пределах. Чтобы охарактеризовать эти пределы, вводят понятия динамического диапазона и пик-фактора сигналов.

Динамический диапазон сигнала, дБ, определяется выражением:

D_c=10lg(P_max/P_min),

где P_max, P_min – максимальное и минимальное значения мгновенной мощности.

Пик-фактором сигнала называют отношение его максимальной мощности к средней, выраженное в логарифмических единицах:

Q=10lg(P_max/P_ср).

Пример. Пусть имеется периодический прямоугольный сигнал

Он может быть разложен на составляющие с частотами f₁=1/T, f₃=3/T, f₅=5/T и т.д. Число составляющих бесконечно, но чем выше частота, тем меньше амплитуда. Следовательно, теоретически полоса частот, которую занимает данный сигнал, стремится к Ґ .

Для передачи такого сигнала требуется канал, имеющий бесконечную полосу пропускания. Во-первых, таких каналов нет, во-вторых, чем шире полоса пропускания канала, тем он дороже. Но т.к. чем выше частота составляющей, тем ниже амплитуда, то составляющими с частотой і f_n можно пренебречь.

Возьмём только составляющие f₁, f₃, f₅. Полоса частот, которую занимают эти составляющие, f₅ – f₁=D f_c.

Пусть f₁=1000 Гц, f₃=3000 Гц, f₅=5000 Гц.

Занимаемая этими составляющими, полоса частот:

5000-1000 = 4000 Гц.

Уменьшим длительность единичного элемента в 3 раза, тогда f₁=3000 Гц, f₃=9000 Гц, f₅=15000 Гц и занимаемая полоса 12000 Гц.

Вывод. Чем меньше длительность единичного элемента (t ₀), тем шире полоса частот, занимаемая сигналом!

Отсюда следствие: чем больше скорость телеграфирования В, тем шире полоса частот, занимаемая сигналом, и тем шире требуется канал и, следовательно, тем дороже доставка информации.

Сигналы электросвязи и их спектры. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся сигналы электросвязи и обсудим их спектры.

Телефонные (речевые) сигналы. Человек набрал в легкие воздух и издал звук. Что же произошло? Воздух, выходя из легких, заставляет вибрировать голосовые связки. От них колебания воздуха передаются через гортань голосовому аппарату, заканчивающемуся ротовой и носовой полостями (рис. 3.6).

Рис. 3.6. Кривая звукового давления при произнесении звука «а» мужским голосом

Последние выполняют роль резонаторов – они усиливают колебания воздуха, подобно тому, как полый корпус гитары или скрипки, также являясь резонатором, усиливает звуки струн. Колебания воздуха из голосового аппарата человека передаются окружающему воздуху. Возникает звуковая волна. Характер издаваемого звука определяется натяжением голосовых связок, формой ротовой полости, положением языка, губ и т.д.Из описания голосового аппарата человека нетрудно понять, что голосовые связки играют роль своеобразных струн, они создают основной тон и обильное количество обертонов. Частота основного тона речи лежит в пределах от 50...80 Гц (очень низкий голос – бас) до 200...250 Гц (женский и детский голоса). При разговоре частота основного тона меняется в значительных пределах, особенно при переходе от гласных звуков к согласным и наоборот.

В совместном звучании основной тон и обертоны создают соответствующую окраску звука или тембр. Один тембр отличается от другого числом и силой обертонов. При преобладании в человеческом голосе высоких обертонов над низкими мы слышим в нем “звучание металла”. Люди, у которых в голосе преобладают низкие обертоны, говорят мягким, бархатным голосом.

Для получения формы кривой звукового давления, создаваемого речью человека, нужно сложить синусоидальные кривые основного тона и обертонов. Из-за наличия большого числа обертонов форма результирующей кривой будет сложной. На рис. 3.6 показано, какое давление создает звук “а”, произнесенный мужским голосом с частотой основного тона 200 Гц (период основного тона 5 мс). Для передачи звука на расстояние он в телефонном аппарате превращается в сигнал. Для этой цели служит микрофон.

Рис. 3.7. Превращение звука в электрический сигнал с помощью микрофона

Телефон был изобретен А.Г. Беллом, учителем в школе глухонемых в американском городе Бостоне в 1876 г. С тех пор в его конструкцию было внесено много усовершенствований. В частности, в современном телефоне используется чувствительный угольный микрофон (рис. 3.7). В нем мембрана соприкасается с угольным порошком. Пока в микрофон не говорят, сопротивление порошка остается неизменным и через него от батареи в линию (провода) протекает постоянный ток. Стоит произнести в микрофон какое-нибудь слово, порошок под действием колеблющейся мембраны будет то спрессовываться, то разрыхляться. Изменение плотности порошка приводит к изменению его электрического сопротивления, а значит, и к изменению тока, текущего через порошок. В проводах, идущих от микрофона, рождается электрический ток, повторяющий форму звукового давления.

Изучение речи показывает, что речь – это процесс, частотный спектр которого находится в пределах от 50...100 до 8000...10000 Гц. Установлено однако, что качество речи остается вполне удовлетворительным, если ограничить спектр снизу и сверху частотами 300 и 3400 Гц. Эти частоты приняты Международным союзом электросвязи (МСЭ) в качестве границ эффективного спектра речи. При указанной полосе частот сохраняется хорошая разборчивость речи и удовлетворительная натуральность ее звучания.

Рис. 3.8. Спектр человеческой речи

На рис. 3.8 показан спектр речи. Как видно из рисунка, некоторые частотные составляющие речи усилены, а другие ослаблены. Усиленные области спектра частот называются формантами. Звуки речи различных людей отличаются числом формант и их расположением в частотном спектре. Отдельные звуки могут иметь до шести формант, из которых только одна или две являются определяющими. Они обязательно находятся в диапазоне частот 300...3400 Гц. Между формантами лежат менее мощные составляющие звуковых частот. Однако именно они придают голосу каждого человека индивидуальность, позволяющую узнавать говорящего.

Сигналы звукового вещания. Источниками звука при передаче программ вещания обычно являются музыкальные инструменты или голос человека. Формирование сигналов звукового вещания и их прием осуществляется так же, как и телефонных сигналов. Используются лишь другие типы микрофонов.

Спектр звукового сигнала занимает полосу частот 20...20000 Гц. Однако в зависимости от требований к качеству воспроизведения ширина спектра сигнала вещания может быть ограничена. Для достаточно высокого качества (каналы вещания первого класса) полоса частот должна составлять 50...10000 Гц, для безукоризненного воспроизведения программ вещания (каналы высшего класса) – 30...15000 Гц.

Факсимильные сигналы. Обратите внимание на то, как вы читаете книгу. Ваши глаза скользят по строке слева направо, затем вы переходите к началу другой строки и т.д. до конца страницы. Словом вы “просматриваете” все элементы строки последовательно. Можно сказать, что при чтении книги происходит построчная развертка текстового изображения.

Именно по такому принципу “просматривается” изображение в современных факсимильных аппаратах, предназначенных для передачи на расстоянии различного рода неподвижных изображений (документов, чертежей, рисунков, фотографий). Для этого с помощью источника света и системы оптических линз формируют световое пятно так, чтобы освещать на передаваемом изображении площадку размером, скажем, 0,2ґ 0,2 мм. Это световое пятно перемещается сначала вдоль одной строки, затем переходит на другую и движется по ней – и так до конца последней строки. Свет, отражаясь от каждой элементарной площадки, попадает на фотоэлемент и вызывает в его цепи ток (рис. 3.9). Значение этого тока зависит от яркости отраженного света, а последняя – от яркости освещенной площадки. Таким образом, при переходе светового пятна на изображении от одной элементарной площадки к другой ток в цепи фотоэлемента меняется пропорционально яркости площадок: мы получаем точную электрическую копию изображения.

Рис. 3.9. Преобразование изображения в электрический сигнал в факсимильном аппарате

Рассмотрим изображение, состоящее только из двух цветов: черного и белого, например, страницу книги, какой-либо чертеж и т.п. Очевидно, каждый элемент изображения (напомним, что размером он всего 0,2ґ 0,2 мм) будет представлять собой либо черную, либо белую площадку, напоминая чередованием шахматную доску. Черные площадки практически полностью поглощают падающий на них свет. Яркость отраженного ими света при этом настолько ничтожна, что при просмотре черных площадок ток в цепи фотоэлемента не возникает. Наоборот, площадки белого цвета почти полностью отражают падающий на них свет, и при попадании на них светового луча ток в цепи фотоэлемента скачком принимает максимальное значение. Таким образом, перемещая световое пятно, а вслед за ним и фотоэлемент вдоль каждой строки изображения, получаем на выходе фотоэлемента последовательность импульсов (рис. 3.9).

При таком “шахматном” чередовании элементов изображения спектр факсимильного сигнала будет шире, чем для любого другого изображения, поскольку круче фронтов импульсов, чем у прямоугольных, не бывает.

Ширина спектра факсимильного сигнала зависит от скорости развертки изображения и размеров светового пятна.

На стандартном листе бумаги формата А4 в строке помещается примерно 1000 черно-белых элементов изображения при ширине пятна 0,2 мм. Если в факсимильном аппарате скорость развертки составляет 60 строк/мин, т.е. каждая строка считывается за 1 с, то за эту секунду 500 раз будет осуществлен переход с черного на белое, или наоборот. Это означает, что максимальная частота чередования импульсов равна 500 Гц. При ширине светового пятна 0,1 мм в строке будет в 2 раза больше элементов изображения, и максимальная частота чередования импульсов повысится до 1000 Гц. Так как для сохранения хорошей степени “прямоугольности” импульсов нужно передавать кроме основной гармоники еще и несколько высших, то ширина спектра факсимильного сигнала может простираться до 1,5...3,0 кГц.

При увеличении скорости развертки изображения черные и белые площадки будут считываться чаще и, следовательно, спектр факсимильного сигнала будет шире. При передаче изображений с полутонами получается сигнал сложной формы, спектр которого является непрерывным и соединяет все частоты от нуля до максимальной.

Факсимильная связь широко используется для передачи газетных полос (т.е. их изображений) в пункты централизованного печатания. Для передачи газет используют специальные высокоскоростные факсимильные аппараты с шириной светового пятна 0,05 мм. Повышенная скорость развертки позволяет передавать одну газетную полосу за 2–3 минуты. Это приводит к расширению спектра факсимильного сигнала до 180 кГц.

Телевизионные сигналы. Любое подвижное изображение – это, как правило, смена через каждые 40 мс одного неподвижного изображения другим (25 кадров в 1 с). За время между сменой кадров нужно успеть просмотреть все неподвижное изображение, которое содержит полмиллиона элементарных площадок или элементов изображения (625 строк по 833 элемента в строке). Значит, каждый элемент изображения придется рассматривать в течение одной полумиллионной доли от отведенных на весь кадр 40 мс. Это непостижимо короткий отрезок времени – всего две десятимиллиардных доли секунды! Ясно, что ни одно механическое устройство не способно перемещать световое пятно и фотоэлемент по строкам изображения с такой скоростью.

Вы никогда не задумывались над тем, что вы видите на экране телевизора, когда усаживаетесь перед ним в свободный вечер? Изображение? Нет, в действительности на экране никакого изображения нет, абсолютно никакого! Если бы мы сумели открыть глаза на какую-то ничтожную долю секунды (а речь идет о миллионных и даже миллиардных долях), то увидели бы на экране всего одну светящуюся точку. Это она бежит с невероятной скоростью по экрану, оставляя в нашем глазу след (мы видим то, чего уже нет, еще в течение 0,1 с), изменяющийся по яркости.

Что же заставляет светящуюся точку перемещаться с такой головокружительной быстротой? Электронный луч. Это он способен почти мгновенно отклоняться под действием изменяющегося магнитного поля и развертывать “картинки”. Это его можно очень точно сфокусировать с помощью специальных электрических “линз”. Первые опыты с электронным лучом начались в самом начале XX в. Еще в 1907 г. профессор Петербургского технологического института Б.Л. Розинг сконструировал первую электронно-лучевую трубку и получил на ней изображение, правда, невысокого качества. Изобретение в начале 30-х годов этого столетия первых качественных передающих трубок связано с именами советских ученых, пионеров отечественного телевидения С.И. Катаева и П.И. Шмакова.

Как бы не отличались конструкции передающих телевизионных трубок разных лет, все они в чем-то имитируют глаз. Роль хрусталика выполняет объектив, роль зрачка – диафрагма. Имеется в трубке и своя “сетчатка” – пластинка, напоминающая пчелиные соты, в ячейках которых располагаются микроскопические фотоэлементы. Конечно, их намного меньше, чем фоторецепторов в глазу: всего около 0,5 млн. Изображение, которое нужно превратить в серию электрических импульсов, проектируется с помощью объектива на эту искусственную “сетчатку”. Каждый микроскопический фотоэлемент (представляющий собой капельку светочувствительного серебряно-цезиевого сплава) получает свою порцию света и, если его подключить к внешней цепи, создаст ток, пропорциональный освещенности. Что касается электронного луча, то он как раз и подключает поочередно каждый из 500000 фотоэлементов к внешней цепи трубки, причем отводится ему на это всего 40 мс, пока не сменится кадр. Таким образом, на одном элементе изображения луч “задерживается” не более 80 миллиардных долей секунды (т.е. 80 нс). Величина тока во внешней цепи трубки отражает в каждый момент времени яркость соответствующего элемента изображения, спроектированного объективом на “сетчатку” передающей трубки, и является точной электронной копией передаваемого изображения.

Подсчитаем ширину спектра телевизионного сигнала. Пусть и на этот раз чередуются черные и белые площадки (элементы). Всего таких элементов будет 625 строк ґ 833 элемента = 520 625. В секунду меняется 25 кадров, т.е. 25 ґ 520 625 = 133 015 625 элементов. Значит переход с черного на белое, или наоборот, происходит примерно 6500000 раз в 1 с. Максимальная частота повторения импульсов равна 6,5 мГц, что и принято за верхнюю границу ширины спектра телевизионного сигнала. Нижней границей считают 50 Гц (нижняя граница сигнала звукового сопровождения).

Во время смены строк и кадров развертывающий луч приемной трубки должен быть погашен. Кроме того, необходимо синхронизировать лучи приемной и передающей трубок. Таким образом, кроме сигнала изображения необходимо передавать вспомогательные управляющие импульсы (гасящие и синхронизирующие). Электрический сигнал, включающий в себя сигнал изображения и управляющие импульсы, называется полным телевизионным сигналом.

В системах цветного телевидения передаваемое изображение расчленяется с помощью светофильтров на три одноцветных изображения – красное, зеленое и синее. Красные, зеленые и синие лучи попадают каждый на свою телевизионную трубку. В приемном устройстве путем сложения трех одноцветных изображений воспроизводится передаваемое цветное изображение.

Таким образом, спектр телевизионного сигнала простирается от 50 Гц до 6,5 мГц.

Телеграфные сигналы и сигналы передачи данных. Все рассматриваемые до сих пор сообщения и сигналы являются непрерывными. Сообщения и сигналы телеграфии и передачи данных относятся к дискретным.

Устройства преобразования телеграфных сообщений и данных в электрический сигнал представляют каждый знак сообщения (букву, цифру) в виде определенной комбинации импульсов и пауз одинаковой длительности. Импульс соответствует наличию тока на выходе устройства преобразования (например, телеграфного аппарата), пауза – отсутствию тока.

В телеграфии таблица, которая ставит в соответствие буквам, цифрам и другим знакам комбинации импульсов и пауз, называется телеграфным кодом. Если обозначить импульс через 1, а паузу через 0 и воспользоваться международным телеграфным кодом МТК-2, то можно, например, знак А записать в виде 11000, знак В – в виде 10011 и т.д.

Для передачи данных используют более сложные коды, которые позволяют обнаруживать и исправлять ошибки в принятой комбинации импульсов, возникающие от действия помех.

Устройства преобразования сигналов телеграфии и передачи данных в сообщения по принятым комбинациям импульсов и пауз восстанавливают в соответствии с таблицей кода знаки сообщения (буквы, цифры и др.) и выдают их на печатающее устройство либо на экран дисплея.

Рис. 3.10. Представление потока импульсов (а) в виде регулярной (б) и случайной (в) составляющих

Заметим, что чем меньше длительность импульсов, отображающих сообщения, тем больше их будет передано в единицу времени. Величина, обратная длительности импульса, называется скоростью телеграфирования: , где – длительность импульса, с.

В честь французского инженера Ж. Бодо единицу скорости телеграфирования назвали бодом. При длительности импульса = 1 с скорость В = 1 Бод. В телеграфии используются импульсы длительностью 0,02 с, что соответствует стандартной скорости телеграфирования 50 Бод. Применяются и другие скорости телеграфирования (например, 75 Бод). Скорости передачи данных существенно выше. Существует аппаратура передачи данных со скоростями 200, 600, 1200 Бод и более.

Сигналы телеграфии и передачи данных обычно имеют вид последовательностей прямоугольных импульсов.

Посмотрите внимательно на рис. 3.10. Можно представить (разумеется, чисто условно) поток импульсов в виде суммы двух последовательностей: регулярной и случайной. Спектр регулярной последовательности дискретный и создает нечетные гармоники тактовой частоты (т.е. частоты следования), а случайная последовательность имеет непрерывный заштрихованный спектр. Эти спектры показаны на рис. 3.11.

Рис. 3.11. Спектры случайной (а) и регулярной (б) составляющей потока импульсов

При передаче двоичных сигналов (т.е. 0 и 1) нет необходимости восстанавливать в приемнике импульсы без искажений, т.е. сохранять их форму; для восстановления информации достаточно зафиксировать только знак импульса при двуполярном сигнале либо наличие или отсутствие при однополярном сигнале. Расчеты показывают, что импульсы можно уверенно зафиксировать, если для их передачи используется ширина полосы частот, численно равная скорости передачи в бодах. Так, для стандартной скорости телеграфирования 50 Бод ширина спектра телеграфного сигнала составит 50 Гц. При скорости 2400 Бод (среднескоростная система передачи данных) ширина спектра сигнала равна примерно 2400 Гц.

Для удобства спектры основных сигналов электросвязи сведены в табл. 3.1. Даже беглый взгляд на табл. 3.1 позволяет понять, что для передачи разных видов сигналов требуется различная ширина полосы пропускания системы электросвязи.

Таблица 3.1. Ширина спектров сигналов электросвязи

Вид сигнала	Ширина спектра, Гц
Телеграфный	0...100
Передачи данных со скоростью 2 400 Бод	0...2 400
Телефонный	300...3 400
Звукового вещания	50...10 000
Факсимильный – при скорости 120 мин-1 – при передаче газет	0...1 465 0...180 000
Телевизионный	50...6 000 000

Контрольные вопросы

1. На какие простейшие составляющие “раскладывается” периодически повторяющийся прямоугольный импульс?
2. Чем отличается спектр периодического сигнала от спектра непериодического сигнала?
3. У какого импульса амплитуда спектральных составляющих убывает быстрее: а) более короткого или более длинного? б) с более крутым фронтом или с более пологим? в) повторяющегося чаще или реже?
4. Какие частотные диапазоны занимают спектры основных сигналов электросвязи

Список литературы

1. Бакалов В.П., Дмитриков В.Ф., Крук Б.И. Основы теории цепей: Учебник для вузов; Под ред. В.П.Бакалова. – М.: Радио и связь, 2000. – 592 с.
2. Бакалов В.П., Воробиенко П.П., Крук Б.И. Теория электрических цепей. Учебник для вузов: под ред. В.П. Бакалова – М.: Радио и связь. 1998. – 444 с.
3. Бакалов В.П., Журавлева О.Б., Крук Б.И. Анализ линейных электрических цепей: Учебное пособие для дистанционного обучения. – Новосибирск: СибГУТИ. 2001г.