4.5. Частотные характеристики реактивных двухполюсников

Общие свойства реактивных двухполюсников. Наряду с комплексными передаточными функциями цепей, АЧХ и ФЧХ в задачах анализа и синтеза важно знать частотные зависимости входных функций цепи: входного сопротивления Z(jw) и входной проводимости Y(jw). При этом электрическая цепь рассматривается в виде двухполюсника с двумя парами зажимов, через которые они обмениваются энергией с внешними цепями. Существуют различные типы двухполюсников: активные и пассивные, линейные и нелинейные, реактивные (L С) и двухполюсники общего вида (R L C). Из всего многообразия двухполюсников наибольший интерес представляют пассивные реактивные двухполюсники, состоящие только из индуктивностей и емкостей. Важность этих двухполюсников объясняется тем, что они широко применяются в различных радиотехнических устройствах (LC-фильт-ры, корректоры, автогенераторы и др.). Кроме того свойства реактивных двухполюсников лежат в основе синтеза линейных электрических цепей.

Простейшим реактивным двухполюсником является элемент индуктивности и емкости (одноэлементный двухполюсник). К двухэлементному двухполюснику относятся последовательный (4.26, а) и параллельный контуры без потерь (рис. 4.26, б). Функции входного сопротивления и проводимости этих двухполюсников равны:

4.115

где

Двухполюсники называются эквивалентными если они обладают одинаковыми входными функциями

Двухполюсники называют обратными*, если они удовлетворяют условию

4.116

где R — некоторое постоянное сопротивление.

Рассматриваемые двухполюсники Za(jw) и Zб(jw) являются потенциально обратными, так как условие (4.116) для них выполняется при

4.117

Из трех реактивных элементов можно составить уже четыре схемы двухполюсников. На рис. 4.28 приведены две возможные схемы. Их функции входных сопротивлений будут:

4.118

где

; 4.119

где

На рис. 4.29 изображены частотные характеристики (4.118) и (4.119).

Анализируя приведенные схемы и графики, можно сформулировать основные свойства реактивных двухполюсников:

1. Входное сопротивление растет с ростом частоты (dZ(jw)/dw > 0).

2. Количество резонансных частот на единицу меньше числа элементов.

3. Резонансы токов (полюса Z(jw)) и напряжений (нули Z(jw)) чередуются, причем, если входное сопротивление двухполюсника на нулевой частоте равна нулю, то первым наступает резонанс токов.

4. В числителе функции входного сопротивления стоит множитель с частотами резонанса напряжения, а в знаменателе – резонанс токов.

5. Множитель jw в уравнении Z(jw) стоит либо в числителе, если первым наступает резонанс токов, либо в знаменателе, если первый резонанс напряжений.

В зависимости от характера зависимой функции входного сопротивления на частоте w= 0 и частоте w= бесконечность различают четыре класса реактивных двухполюсников: (0; бесконечность), (0; 0), (бесконечность;0), (бесконечность;бесконечность).

Канонические схемы реактивных двухполюсников. Наиболее распространенными в теории цепей являются канонические схемы, построенные по правилу (канону) Фостера и Кауэра.

Коэффициент Н в формулах определяется как Например, для первой схемы Фостера класса (бесконечность,бесконечность)

H =La, для второй схемы Фостера класса (0, 0) Н = 1/Сб и т. д.

В схемах Кауэра двухполюсники представлены в виде цепочечных (лестничных) схем, в продольных ветвях которых находятся индуктивности, а в поперечных емкости (первая схема Кауэра, рис. 4.31, а), либо наоборот — в продольных емкости, а в поперечных — индуктивности (вторая схема Кауэра, рис. 4.31, б).

В зависимости от класса канонические схемы Фостера и Кауэра имеют частотные характеристики входных функций.

Положительной особенностью канонических схем Фостера и Кауэра является то, что из всех эквивалентных двухполюсников с заданной частотной характеристикой, они имеют минимальное число элементов. При решении задач синтеза обычно входные функции в схемах Фостера представляются в виде разложения на простые дроби, а в схемах Кауэра — на цепные дроби.

*Правило получения обратных двухполюсников базируется на принципе дуальности: последовательные соединения в исходном двухполюснике заменяются параллельными соединениями дуальных элементов.