9.1. Цели разработчика систем связи
9.2. Характеристика вероятности появления ошибки
9.3. Минимальная ширина полосы пропускания по Найквисту
9.4. Теорема Шеннона-Хартли о пропускной способности канала
9.4.3. Неоднозначность и эффективная скорость передачи информации
9.5. Плоскость «полоса-эффективность»
9.5.1. Эффективность использования полосы при выборе схем MPSK и MFSK
9.6. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования
9.7. Определение, разработка и оценка систем цифровой связи
9.7.1. М-арная передача сигналов
9.7.2. Системы ограниченной полосы пропускания
9.7.3. Системы ограниченной мощности
9.7.4. Требования к передаче сигналов MPSK и MFSK
9.7.5. Система ограниченной полосы пропускания без кодирования
9.7.6. Система ограниченной мощности без кодирования
9.7.7. Система ограниченной мощности и полосы пропускания с кодированием
9.8. Модуляция с эффективным использованием полосы частот
9.8.1. Передача сигналов с модуляцией QPSK и OQPSK
9.8.2. Манипуляция с минимальным сдвигом
9.8.3. Квадратурная амплитудная модуляция
9.9. Модуляция и кодирование в каналах ограниченной полосы
9.9.2. Границы совокупности сигналов
9.9.3. Совокупности сигналов высших размерностей
9.9.4. Решетчатые структуры высокой плотности
9.9.5. Комбинированная эффективность: отображение на N-мерную сферу и плотная решетка
9.10.1. Истоки решетчатого кодирования
9.10.3.1. Ошибочное событие и просвет
9.10.3.2. Эффективность кодирования
9.10.3.3. Эффективность кодирования для схемы 8-PSK при использовании решетки с четырьмя состояниями
9.10.4. Другие решетчатые коды
9.1. Цели разработчика систем связи
Системные компромиссы — это неотъемлемая часть всех разработок цифровых систем связи. Разработчик должен стремиться к 1) увеличению скорости передачи бит R до максимально возможной; 2) минимизации вероятности появления битовой ошибки РB; 3) минимизации потребляемой мощности, или, что то же самое, минимизации требуемого отношения энергии одного бита к спектральной плотности мощности шума 
; 4) минимизации ширины полосы пропускания W; 5) максимизации эффективности использования системы, т.е. к обеспечению надежного обслуживания для максимального числа пользователей с минимальными задержками и максимальной устойчивостью к возникновению конфликтов; и 6) минимизации конструктивной сложности системы, вычислительной нагрузки и стоимости системы. Конечно, разработчик системы может попытаться удовлетворить все требования одновременно. Однако очевидно, что требования 1 и 2 противоречат требованиям 3 и 4; они предусматривают одновременное увеличение скорости R и минимизацию РB, , W. Существует несколько сдерживающих факторов и теоретических ограничений, которые неизбежно влекут за собой компромиссы в любых системных требованиях.
Минимальная теоретически требуемая ширина полосы частот по Найквисту Теорема о пропускной способности Шеннона-Хартли (и предел Шеннона) Государственное регулирование (например, распределение частот) Технологические ограничения (например, современные комплектующие) Другие системные требования (например, орбиты спутников)
Некоторые реализуемые компромиссы между кодированием и модуляцией можно лучше показать через изменение положения рабочей точки на одной из двух плоскостей — характеристике вероятности появления ошибки и характеристике эффективности использования полосы частот; обе описываются в следующих разделах.
9.2. Характеристика вероятности появления ошибки
На рис. 9.1 показаны семейства кривых зависимости РB от для когерентного обнаружения ортогональных (рис. 9.1, а) и многофазных сигналов (рис. 9.1, б). Для представления каждой k-битовой последовательности модулятор использует один из 
сигналов, где М— размер набора символов. На рис. 9.1, а изображено потенциальное снижение частоты появления ошибок с повышением k (или М) при передаче ортогональных сигналов. Для ортогональных наборов сигналов, таких как сигналы, в ортогональной частотной манипуляции (frequency shift keying — FSK), увеличение размера набора символов может дать снижение РB, или требуемого , за счет увеличения полосы пропускания. На рис. 9.1, б показано повышение частоты появления ошибок с увеличением k (или М) при передаче неортогональных сигналов. Для наборов не ортогональных сигналов, таких как сигналы, в многофазной манипуляции (multiple phase shift keying — MPSK), расширение набора символов может снизить требования к полосе пропускания за счет повышения РB, или требуемого значения . Далее эти семейства кривых (рис. 9.1, а или б) будут называться кривыми характеристик вероятности появления ошибок, а плоскость, в которой они лежат, — плоскостью вероятности появления ошибок. Такие характеристики показывают, где может располагаться рабочая точка для конкретных схем модуляции и кодирования. Для системы с данной скоростью передачи информации каждую кривую на плоскости можно связать с различными фиксированными значениями минимально необходимой полосы пропускания; а значит, некое множество кривых можно представить как множество кривых равной полосы, пропускания. При передвижении по кривой в направлении возрастания ординаты, ширина полосы пропускания, необходимая для передачи, увеличивается; и напротив, если перемещаться в обратном направлении, то требуемая полоса пропускания уменьшится. После выбора схемы модуляции и кодирования, а также номинального значения функционирование системы характеризуется конкретной точкой на плоскости вероятности появления ошибок. Возможные компромиссы можно рассматривать как изменение рабочей точки на одной из кривых или как переход с рабочей точки одной кривой семейства в рабочую точку другой. Эти компромиссы изображены на рис. 9.1 а и б как смешения рабочей точки системы в направлении, указанном стрелками. Перемещение рабочей точки вдоль линии 1 между точками а и b можно считать компромиссом между PB и характеристикой (при фиксированном значении W). Аналогично сдвиг вдоль линии 2, между точками c иd, является поиском компромисса между PB и W (при фиксированном значении ). И, наконец, перемещение вдоль линии 3, между точками e и f, представляет собой поиск компромисса между W и (при фиксированном значении РВ). Сдвиг вдоль линии 1 — это снижение или повышение номинального значения . Этого можно достичь, например, путем повышения мощности передатчика; это означает, что компромисс можно осуществить просто "поворотом регулятора" даже после завершения конфигурации системы. В то же время другие компромиссы (сдвиги вдоль линий 2 или 3) включают изменения в схеме модуляции или кодирования, а значит, их следует осуществлять на этапе разработки системы. Изменять тип модуляции и кодирования в системе программным путем можно будет с помощью программных средств связи [1].
9.3. Минимальная ширина полосы пропускания по Найквисту
В любой реализуемой системе, выполняющей неидеальную фильтрацию, будет межсимвольная интерференция (intersymbol interference, ISI) — хвост одного импульса распространяется на соседние символы и мешает процессу обнаружения. Найквист [2] показал, что теоретическая минимальная ширина полосы пропускания (ширина полосы частот по Найквисту), требуемая для немодулированной передачи R, символов за секунду без межсимвольной интерференции, составляет R/2 Гц. Это основное теоретическое ограничение, вынуждающее разработчика настолько аккуратно использовать полосу частот, насколько это возможно (см. раздел 3.3). На практике минимальная ширина полосы частот по Найквисту увеличивается на 10-40% вследствие ограничений реальных фильтров. Таким образом, реальная пропускная способность цифровых систем связи снижается с идеальных, 2 символа/с/Гц до 1,8-1,4 символа/с/Гц. Из набора М символов, система модуляции или кодирования присваивает каждому символу it-битовое значение, где 
. Таким образом, число битов на символ можно представить как 
, и, следовательно, скорость передачи данных, или скорость передачи битов R, должна быть в k раз больше скорости передачи символов 
, как видно из следующего основного соотношения.
(9.1)
Рис. 9.1. Зависимость вероятности появления битовой ошибки от при когерентном обнаружении М-арных сигналов: а) ортогональные сигналу; б) многофазные сигналы
Для системы с фиксированной скоростью передачи символов из выражения (9.1) видно, что с ростом k увеличивается и скорость передачи битов R. При использовании схемы MPSK с увеличением k повышается эффективность использования полосы частот R/W, измеряемая в бит/с/Гц. Например, сдвиг вдоль линии 3, из точки е в точку f, как видно на рис. 9.1, б представляет собой повышение за счет снижения требований к полосе пропускания. Другими словами, при той же полосе пропускания сигналы, модулированные MPSK, можно передавать с повышенной скоростью передачи данных, а значит с увеличенным R/W.
Пример 9.1. Классификация схем цифровой модуляции
В некотором смысле все схемы цифровой модуляции относятся к одному из двух классов с противоположными характеристиками. Первый класс — это передача ортогональных сигналов; достоверность такой передачи описывается кривыми на рис. 9.1, а. Ко второму классу относится передача неортогональных сигналов (набор векторов сигналов можно отобразить на плоскости). На рис. 9.1, б представлен пример передачи неортогональных сигналов — модуляция MFSK. Вообще, любая фазовая/амплитудная модуляция (например, QAM) относится ко второму классу. Используя рис. 9.1, ответьте на следующие вопросы.
а) Как в случае М-арной передачи сигналов будет меняться достоверность передачи (увеличиваться или снижаться) при повышении M?
б) Возможности выбора в цифровой связи почти всегда сопряжены с компромиссами. Если достоверность передачи растет, то за счет чего?
в) Если растет вероятность появления ошибки, то какую выгоду можно получить из этого?
Решение
а) Из рис. 9.1 можно видеть, что повышение или снижение достоверности передачи зависит от рассматриваемого класса передачи сигналов. Рассмотрим передачу ортогональных сигналов (рис. 9.1, а), где достоверность передачи растет с увеличением k или М. Напомним, что существует лишь два способа сравнения подобных характеристик Достоверности передачи. Можно провести вертикальную линию при некотором фиксированном значении и увидеть, что при уменьшении k или М 
снижается. Или наоборот, можно провести горизонтальную линию, фиксирующую некоторое значение РВ, и с ростом k или М отметить снижение требований к . Точно так же на рис. 9.1, б можно видеть, что при неортогональной передаче, такой как модуляция MPSK, характеристики ведут себя абсолютно иначе. Достоверность передачи снижается при увеличении k или М.
б) Чем мы платим за передачу ортогональных (сигналов, при которой достоверность передачи повышается с ростом k или М? Наиболее распространенным вариантом передачи ортогональных сигналов является схема MFSK, где k = 1и М = 2, а набор тонов состоит из двух сигналов. Если k = 2 и М = 4, в наборе уже содержится четыре тона. При k = 3 и М = 8 будет уже восемь сигналов и т.д. При использовании схемы MFSK за время передачи символа отсылается только один тон, но доступная полоса пропускания — это весь набор тонов. Следовательно, при увеличении k или М за повышение достоверности передачи придется платить расширением требуемой полосы пропускания.
в) При передаче неортогональных сигналов (схема MPSK или QAM) с ростом k или М достоверность передачи падает. Логично предположить, что компромисс повлечет за собой снижение требований к полосе пропускания. Рассмотрим следующий пример. Пусть требуется Скорость передачи данных R = 9600 бит/с, а в качестве модуляции используется 8-уровневая схема PSK. Тогда с помощью уравнения (9.1) скорость передачи символов находится следующим образом.
3200 символов/с
Если для передачи воспользоваться 16-уровневой схемой PSK, то скорость передачи символов будет равна следующему.
2400 символов/с
Если применить 32-уровневую схему PSK, скорость передачи символов будет равна
1920 символов/с.
Что происходит, когда на рис. 9.1, б рабочая точка сдвигается вдоль горизонтальной линии с кривой с k = 3 на кривую с k = 4 и далее на кривую с k = 5? При данной скорости передачи данных и вероятности появления ошибки каждый такой сдвиг позволяет осуществлять передачу на все более низких скоростях. Всякий раз, когда говорится "более низкая скорость передачи сигнала", это эквивалентно сообщению, что имеется возможность уменьшить ширину полосы пропускания. Аналогично любое повышение скорости передачи сигналов соответствует увеличению ширины полосы пропускания.
9.4. Теорема Шеннона-Хартли о пропускной способности канала
Шеннон [3] показал, что пропускная способность канала C с аддитивным белым гауссовым шумом (additive white Gaussian noise — AWGN) является функцией средней мощности принятого сигнала S, средней мощности шума N и ширины полосы пропускания W. Выражение для пропускной способности (теорема Шеннона-Хартли) можно записать следующим образом.
(9.2)
Если W измеряется в герцах, а логарифм берется по основанию 2, то пропускная способность будет иметь размерность бит/с. Теоретически (при использовании достаточно сложной схемы кодирования) информацию по каналу можно передавать с любой скоростью 
со сколь угодно малой вероятностью возникновения ошибки. Если же 
, то кода, на основе которого можно добиться сколь угодно малой вероятности возникновения ошибки, не существует. В работе Шеннона показано, что величины S, N и W устанавливают пределы скорости передачи, а не вероятности появления ошибки. Шеннон [4] использовал уравнение (9.2) для графического представления доступных пределов производительности прикладных систем. Этот график, показанный на рис. 9.2, представляет нормированную пропускную способность канала C/W в бит/с/Гц как функцию отношения сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) в канале. График, представленный на рис. 9.3, изображает зависимость нормированной полосы пропускания канала W/C в бит/с/Гц от отношения сигнал/шум канала. Иногда рис. 9.3 используется как иллюстрация компромисса между мощностью и полосой пропускания, присущего идеальному каналу. Однако это не совсем компромисс [5], поскольку мощность обнаруженного шума пропорциональна полосе пропускания.
(9.3)
Подставив выражение (9.3) в уравнение (9.2) и немного преобразовав последнее, получаем следующее.
(9.4)
Если битовая скорость передачи равна пропускной способности канала (R = С), то с помощью тождества (3.30) можно записать следующее.
(9.5)
Рис. 9.2. Зависимость нормированной пропускной способности канала от SNR канала
Рис. 9.3. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от SNR канала
Таким образом, уравнение (9.4) можно модифицировать следующим образом.
(9.6, а)
(9.6 б)
(9.6 в)
На рис. 9.4 представлен график зависимости W/C от , описываемой формулой (9.6, в); асимптотическое поведение этой кривой при C/W
(или W/C
) рассматривается в следующем разделе.
Рис. 9.4. Зависимость нормированной полосы пропускания канала от
9.4.1. Предел Шеннона
Существует нижнее предельное значение Et/N0, при котором, ни при какой скорости передачи нельзя осуществить безошибочную передачу информации. С помощью соотношения
можно рассчитать граничное значение .
Пусть
Тогда, из уравнения (9.6,а),
и
В пределе, при C/W, получаем
= 0,693 (9.7)
или, в децибелах,
= -1,6дБ
Это значение называется пределом Шеннона (Shannon limit). На рис. 9.1, а предел Шеннона — это кривая зависимости РВот при k. При = -1,6 данная кривая скачкообразно изменяет свое значение с РВ= 1/2 на РВ =0. В действительности достичь предела Шеннона невозможно, поскольку k возрастает неограниченно, а с ростом k возрастают требования к полосе пропускания, и повышается сложность реализации системы. Работа Шеннона — это теоретическое доказательство существования кодов, которые могут улучшить или снизить требуемое значение от уровней некодированных двоичных схем модуляции до уровней, приближающихся к предельной кривой. При вероятности появления битовой ошибки 10-5 двоичная фазовая манипуляция (binary phase-shift-keying — BPSK) требует значения , равного 9,6 дБ (оптимум некодированной двоичной модуляции). Следовательно, в данном случае в работе Шеннона указано, что теоретически, за счет использования кодирования, производительность можно повысить на 11,2 дБ по сравнению с некодированной двоичной модуляцией. В настоящее время большую часть такого улучшения (почти 10 дБ) можно получить с помощью турбокодов (см. раздел 8.4). Оптимальную разработку системы можно наилучшим образом представить как поиск рациональных компромиссов среди различных ограничений и взаимно противоречивых требований. Компромиссы модуляции и кодирования, т.е. выбор конкретных схем модуляции и кодирования для наилучшего использования переданной мощности и ширины полосы, являются очень важными, поскольку имеется много причин для снижения мощности, а также существует необходимость экономии спектра радиочастот.
9.4.2. Энтропия
Для разработки системы связи с определенной способностью к обработке сообщений нужна метрика измерения объема передаваемой информации. Шеннон [3] ввел такую метрику Н, называемую энтропией источника сообщений (имеющего л возможных выходных значений). Энтропия (entropy) определяется как среднее количество информации, приходящееся на один выход источника, и выражается следующим образом.
бит/выход источника (9.8)
Здесь pi — вероятность i-гo выходного значения и 
=1. Если сообщение двоичное или источник имеет только два возможных выходных значения с вероятностями р и 
, выражение для энтропии примет следующий вид.
(9.9)
Зависимость энтропии от р показана на рис. 9.5.
Рис. 9.5. Зависимость энтропии от вероятности (два события)
Величина Н имеет ряд особенностей.
1. Если логарифм в уравнении (9.8) берется по основанию 2, единица измерения Н — среднее число бит на событие. Здесь единица измерения бит — это мера количества информации, и ее не следует путать с термином "бит", означающим "двоичная цифра" (binary digit — bit).
2. Сам термин "энтропия" имеет несколько неопределенный смысл, что вызвано наличием нескольких формулировок в статистической механике. Для информационного источника с двумя равновероятными состояниями (например, выбрасывание монеты правильной формы) из рис. 9.5 видно, что неопределенность исхода и, следовательно, среднее количество информации максимальны. Как только вероятности уходят от равновероятного состояния, среднее количество информации снижается. В пределе, когда одна из вероятностей обращается в нуль, H также обращается в нуль. Результат известен до того, как произойдет событие, так что исход не несет в себе дополнительной информации.
3. Для иллюстрации связи между количеством информации и априорной вероятностью (если априорная вероятность сообщения на приемнике является нулем или единицей, сообщение можно не посылать) рассмотрим следующий пример. После девятимесячной беременности женщина оказывается в родильной палате. Муж с волнением ждет в приемной. Через некоторое время к нему подходит врач и говорит: "Примите мои поздравления, вы стали отцом". Какую информацию отец получил от врача после медицинского исхода! Почти никакой; отец практически достоверно знал, что ребенок должен родиться. Если бы врач сказал, "вы стали отцом мальчика" или "вы стали отцом девочки", он передал бы 1 бит информации, поскольку существует 50% вероятность того, что ребенок окажется девочкой или мальчиком.
Пример 9.2. Среднее количество информации в английском языке
а) Найдите среднее количество информации в бит/знак для английского языка, считая, что каждая из 26 букв алфавита появляется с равной вероятностью. Пробелы и знаки пунктуации не учитываются.
б) Поскольку буквы в английском языке (или каком-либо ином) появляются с различной частотой, ответ на п. а — это верхняя граница среднего количества информации на знак. Повторите п. а, считая, что буквы алфавита появляются со следующими вероятностями.
р = 0,10: для букв а, е, о, t
р = 0,07: для букв h, i, n, r, s
р =0,02: для букв с, d, f, I, m, p, u, у
р = 0,01: для букв b, g, j, k, q, v, w, x, z
Решение
а) 
=4,7 бит/знак
б) 
= = 4,17 бит/знак
Если 26 букв алфавита нужно выразить в некоторой двоичной схеме кодирования, то для каждой буквы требуется пять двоичных цифр. Пример 9.2 показывает, что должен существовать способ кодирования английского текста в среднем меньшим числом двоичных цифр для одной буквы (среднее количество информации, содержащееся в каждом знаке, меньше 5 бит). Подробнее тема кодирования источника будет рассмотрена в главе 13.
9.4.3. Неоднозначность и эффективная скорость передачи информации
Пусть по двоичному симметричному каналу (определенному в разделе 6.3.1) со скоростью 1000 двоичных символов/с происходит передача информации, а априорная вероятность передачи нуля или единицы одинакова. Допустим также, что помехи в канале настолько значительны, что, независимо от переданного символа, вероятность приема единицы равна 1/2 (то же самое — для нуля). В таком случае половина принятых символов должна случайно оказаться правильной, и может создаться впечатление, что система обеспечивает скорость 500 бит/с, хотя на самом деле никакой информации не передается. Одинаково "хороший" прием дает и использование "информации", поступившей из канала, и генерация этой "информации" методом подбрасывания правильной монеты. Утраченной является информация о корректности переданных символов. Для оценки неопределенности в принятом сигнале Шеннон [3] использует поправочный коэффициент, который называет неоднозначностью (equivocation).
Шеннон показал, что среднее эффективное количество информации Н^ в приемнике получается путем вычитания неоднозначности из энтропии источника.
Для системы, передающей равновероятные двоичные символы, энтропия Н(Х) равна 1 бит/символ. Если символы принимаются с Рв = 0,01, неоднозначность, как показано выше, равна 0,081 битДпринятый символ). Тогда, используя уравнение (9.11), можем записать эффективную энтропию Rед принятого сигнала.
Rед = 1 - 0,081 = 0,919 бит/полученный символ
Иными словами, если, например, за секунду передается R = 1000 двоичных символов, то Reff можно выразить следующим образом.
Reff = RHeS = 1000 символов/с х 0,919 бит/символ = 919 бит/с (9.12)
Отметим, что в предельном случае Рв= 0,5
Используя формулы (9.12) и (9.11) при R= 1000 символов/с, получаем
что и следовало ожидать.
Пример 9.3. Кажущееся противоречие с пределом Шеннона
График зависимости Pb от Eb|N0 обычно показывает плавный рост Рвпри увеличении Eb|N0. Например, кривые вероятности появления битовых ошибок на рис. 9.1 показывают, что в пределе при Eb|N0, стремящемся к нулю, Pb стремится к 0,5. Таким образом, кажется, что всегда (при сколь угодно малом значении Eb|N0) имеется ненулевая скорость передачи информации. На первый взгляд это не согласуется с величиной предела Шеннона Eb|N0= -1,6 дБ, ниже которого невозможна безошибочная передача информации или ниже которого даже бесконечная полоса пропускания дает конечную скорость передачи информации (см. рис. 9.4).
а) Предложите способ разрешения кажущегося противоречия.
б) Покажите, каким образом коррекция неоднозначности по Шеннону может помочь разрешить данное противоречие для двоичной системы с модуляцией PSK, если энтропия источника равна 1 бит/символ. Предположим, что рабочая точка на рис. 9.1, б соответствует Eb|N0= 0,1 (-10 дБ).
Решение
а) Величина Eb, традиционно используемая при расчетах каналов в прикладных системах, — это энергия принятого сигнала, приходящаяся на переданный символ. Однако Eb, в уравнении (9.6) — это энергия сигнала, приходящаяся на один бит принятой информации. Для разрешения описанного выше кажущегося противоречия следует учитывать потери информации, вызываемые помехами канала.
б) На основе уравнения (4.79) для BPSK можно записать
.
где Q определено в формуле (3.43) и представлено в табличной форме в приложении Б (табл. Б.1). Из таблицы находим, что РВ = 0,33. Далее находим неоднозначность и эффективную энтропию.
Следовательно,
Таким образом, эффективное значение Eb|N0 равно 0,7 дБ на принятый информационный бит, что значительно больше предела Шеннона -1,6 дБ.
9.5. Плоскость "полоса-эффективность"
С помощью уравнения (9.6) можно составить график зависимости нормированной полосы пропускания канала W/C (в Гц/бит/с) от Eb|N0, как показано на рис. 9.4. Здесь в качестве независимой переменной взято Eb|N0 и можно видеть компромисс между активной мощностью и полосой пропускания, так сказать, в деле. Можно показать [5], что качественно спроектированные системы должны стремиться к работе в области излома кривой компромисса между полосой пропускания и мощностью для идеального (R=С) канала. Характеристики реальных систем часто отличаются от идеальных не более чем на 10 дБ. Наличие излома означает, что в системах, в которых предпринимается попытка уменьшить занимаемую полосу пропускания канала или снизить требуемую мощность, приходится все больше повышать значение другого параметра (что является не очень желательным). Например, возвращаясь к рис. 9.4, можно сказать, что идеальная система, работающая при Eb|N0=1,8 дБ и использующая полосу частот с нормированной шириной 0,5 Гц/бит/с, для уменьшения используемой полосы частот до 0,1 Гц/бит/с должна поднять Eb|N0 до 20 дБ. Подобное будет происходить и при попытке компромисса в обратную сторону.
С помощью уравнения (9.6,в) можно также получить зависимость C/W от Eb|N0. Она показана на графике зависимости R/W от Eb|N0 (рис. 9.6). Обозначим эту плоскость как плоскость "полоса-эффективность". Ордината R/W— это мера объема данных, которые можно передать через единицу полосы частот за данное время; следовательно, она отображает эффективность использования ресурса полосы пропускания. Независимая переменная Eb|N0 измеряется в децибелах. На рис. 9.6 кривая R=С - это граница, разделяющая область реальных прикладных систем связи и область, в которой такие системы связи теоретически невозможны. Подобно изображенной на рис. 9.2, характеристика эффективности полосы пропускания на рис. 9.6 устанавливает предельные параметры, которые достижимы для прикладных систем. Поскольку в качестве независимой переменной более предпочтительно Eb|N0, чем SNR, рис. 9.6 удобнее рис. 9.2 с точки зрения сравнения компромиссов кодирования и модуляции в цифровой связи. Отметим, что на рис. 9.6 проиллюстрирована зависимость эффективности использования полосы частот от Eb|N0 для систем с одной несущей. Для систем с множественными несущими эффективность использования полосы частот зависит от разнесения несущих (и типа модуляции). В этом случае компромисс — это насколько разнесены несущие (что приводит к повышению эффективности использования полосы частот) без возникновения неприемлемых помех соседних каналов (adjacent channel interference — ACI).
Рис. 9.6. Плоскость «полоса-эффективность».
9.5.1. Эффективность использования полосы при выборе схем MPSK и MFSK
На рис. 9.6 показаны рабочие точки для когерентной модуляции MPSK при вероятно сти битовой ошибки 10-5. Предполагается, что до модуляции осуществляется фильтра ция по Найквисту (идеальная прямоугольная), так что минимальная двойная полоса пропускания на промежуточной частоте (intermediate frequency — IF) WIF = 1/T, где Т -длительность символа. Таким образом, из уравнения (9.1) эффективность использования полосы частот R/W= log2М, где М — размер набора символов. Для реальных каналов и сигналов производительность следует понизить, чтобы учесть увеличение полосы пропускания, требуемое для создания реализуемых фильтров. Отметим, что npи модуляции MPSK RIW растет с увеличением М. Кроме того, положение рабочих точек MPSK указывает, что для модуляции BPSK (М=2) и квадратичной PSK, или QPSK (М=4), требуются одинаковые значения Eb|N0. Иными словами, при том же значенш Eb|N0 эффективность использования полосы частот для схемы QPSK равна 2 бит/с/Гц в отличие от 1 бит/с/Гц для схемы BPSK. Эта уникальная особенность является следcтвием того, что QPSK представляет собой эффективную комбинацию двух сигналов модуляции BPSK, которые передаются на ортогональных компонентах несущей.
На рис. 9.6 также изображены рабочие точки некогерентной ортогональной модуляции MFSK при вероятности появления битовой ошибки 10-5. Предполагается, что полоса передачи равна WIF=M/T. Следовательно (исходя из уравнения (9.1)), эффективность использования полосы частот равна R/W=(log2M)/M. Отметим, что при модуляции MFSK R/W снижается с увеличением М. Также следует отметить, что положение рабочих точек MFSK указывает, что модуляция BFSK (М=2)и квадратичная FSK (М=4) имеют одинаковую эффективность использования полосы частот, хотя первая требует большего значения Eb|N0 для той же вероятности появления ошибки. Эффективность использования полосы частот изменяется с коэффициентом модуляции (разнесение частот в герцах, деленное на скорость передачи битов). Предполагается, что для каждого сигнала, модулированного MFSK, требуется одинаковое приращение полосы пропускания, а значит, при М=2 эффективность использования полосы составляет 1 бит/с/2 Гц или 1/2, а при М=4 RIW — 2 бит/с/4 Гц, или 1/2. Таким образом, двоичная и 4-уровневая ортогональная FSK характеризуются одинаковыми значениями RIW.
На рис. 9.6 также показаны рабочие точки для когерентной квадратурной амплитудной модуляции (quadrature amplitude modulation — QAM). Видно, что на фоне остальных модуляций QAM наиболее эффективно использует полосу частот; к этому типу модуляции мы еще обратимся в разделе 9.8.3.
9.5.2. Аналогия между графиками эффективности использования полосы частот и вероятности появления ошибки
График эффективности использования полосы на рис. 9.6 аналогичен графику вероятности ошибки на рис. 9.1. Предел Шеннона (рис. 9.1) является аналогом предельной пропускной способности (рис. 9.6). Кривые на рис. 9.1 называются кривыми равной полосы пропускания. На рис. 9.6 можно аналогично описать кривые равной вероятности для различных схем кодирования и модуляции. Кривые, обозначенные как PB1, PB2 иPB3 являются гипотетическими конструкциями для некоторых произвольных схем модуляции и кодирования; кривая PB1 представляет собой наибольшую из трех вероятность появления ошибки, а кривая PB3 — наименьшую. Также на рисунке указано направление снижения PB.
Ранее, при изучении графика вероятности появления ошибки, рассматривались возможные компромиссы между PB, Eb|N0 и W. Аналогичные компромиссы можно рассмотреть и на графике эффективности использования полосы частот. Возможные компромиссы отображены на рис. 9.6 как сдвиги рабочей точки в направлениях, указанных стрелками. Сдвиг рабочей точки вдоль линии 1 можно рассматривать как поиск компромиссов между Pb и Eb|N0 при фиксированном значении R/W. Точно так же сдвиг вдоль линии 2 — это поиск компромиссов между Pb и W (или RIW) при фиксированном значении Eb|N0 . И наконец, сдвиг вдоль линии 3 показывает поиск компромиссов между W (или R/W) и Eb|N0 при постоянном значении Pb. На рис. 9.6 (как и на рис. 9.1) сдвиг вдоль линии 1 может быть вызван повышением или снижением номинального Eb|N0. Сдвиги вдоль линии 2 или 3 требуют изменений схемы модуляции или кодирования.
Два основных ресурса связи — это переданная мощность и ширина полосы пропускания. Для разных систем связи один из этих ресурсов дороже другого, и следовательно, большую часть систем можно классифицировать как системы ограниченной мощности или ограниченной полосы пропускания. В системах ограниченной мощности для экономии энергии за счет полосы пропускания можно использовать схемы кодирования, эффективно использующие мощность, тогда как в системах ограниченной полосы можно применять методы эффективной (с точки зрения используемого спектра) модуляции для экономии полосы частот за счет увеличения расхода энергии.
9.6. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования
На рис. 9.7 проводится аналогия между двумя графиками рабочих характеристик, вероятности появления ошибок (рис. 9.1) и эффективности использования полосы частот (рис. 9.6). Рис. 9.7, а и б изображены в тех же координатах, что рис. 9.1 и 9.6. Вследствие выбора соответствующего масштаба они имеют симметричный вид. В обоих случаях стрелки и обозначения показывают основное следствие сдвига рабочей точки в направлении, указанном стрелкой (собственно сдвиг — это подбор схем кодирования и модуляции). Обозначения, соотнесенные с каждой стрелкой, означают следующее: "Выигрыш (В) по X за счет (С) У при фиксированном (Ф)Z". Предметом компромиссов являются параметры Pb, W, R/W и Р (мощность или S/N). Как сдвиг рабочей точки в сторону предела Шеннона (рис. 9.7, а) может дать снижение Pb или требуемой мощности передатчика (за счет полосы пропускания), так и сдвиг в сторону предельной пропускной способности канала (рис. 9.7, б) может повысить эффективность использования полосы частот за счет повышения требуемой мощности или увеличенияPb.
Рис. 9.7. Компромиссы при использовании модуляции и кодирования: график вероятности появления ошибки; б) график эффективности использования полосы частот.
Довольно часто эти компромиссы изучаются при фиксированном значении Pb (ограничиваемом системными требованиями). Следовательно, наиболее интересующими нас стрелками на рисунке являются описывающие изменения при фиксированной вероятности появления ошибки (обозначены как Ф: Pb). На рис. 9.7 имеется четыре такие стрелки: две на графике вероятности ошибки и две на графике эффективности использования полосы частот. Стрелки, помеченные аналогичным образом, указывают соответствие между данными двумя графиками. Работу системы можно представлять с использованием любого из этих графиков. Эти графики — просто два возможных взгляда на некоторые ключевые параметры системы; каждый из них подчеркивает несколько отличные аспекты разработки. В системах ограниченной мощности удобнее всего пользоваться графиком вероятности появления ошибки, поскольку при переходе от одной кривой к другой требования к полосе пропускания лишь подразумеваются, а явно выделяется вероятность появления битовой ошибки. График эффективности использования полосы частот, как правило, применяется в системах ограниченной полосы пропускания; здесь при переходе от одной кривой к другой на задний план отодвигается вероятность появления битовой ошибки, тогда как требования к полосе пропускания показываются явно.
Итак, для формирования эвристического взгляда на вопросы разработки компромиссов между вероятностью ошибки, полосой пропускания и мощностью были представлены два графика системных компромиссов, что применимо ко многим схемам модуляции и кодирования, но с одной оговоркой. Для некоторых кодов или комбинированных схем с модуляцией и кодированием кривые характеристик не ведут себя настолько предсказуемо, как в рассмотренном примере. Это связано с функциями коррекции ошибок и использования полосы пропускания конкретного кода. Например, на рис. 6.22 показана характеристика когерентной схемы PSK в сочетании с несколькими кодами. Обратим внимание на графики, описывающие два кода БХЧ, (127, 64) и (127, 36). Из их взаимного расположения видно, что код (127, 64) дает большую эффективность кодирования, чем код (127, 36). Это противоречит ожиданиям, поскольку код (127, 36) при тех же размерах блока имеет большую избыточность (и требует большей полосы пропускания), чем код (127,64). В разделе 9.10, посвященном решетчатому кодированию, рассматриваются коды, которые могут обеспечить высокую эффективность кодирования без расширения полосы пропускания. Рабочие характеристики таких схем кодирования также будут вести себя не так, как характеристики, рассмотренные выше.
9.7. Определение, разработка и оценка систем цифровой связи
Этот раздел призван помочь в описании характерных этапов, которые следует рассматривать при удовлетворении требований, касающихся мощности, полосы пропускания и достоверности передачи в системе цифровой связи. Далее приводится несколько примеров систем, в которых подробно описываются критерии выбора схем кодирования и модуляции, исходя из типа системы — является ли она системой ограниченной мощности или системой ограниченной полосы пропускания. Подчеркиваются тонкие, но важные моменты преобразования битов данных в канальные биты, затем в символы и далее в элементарные сигналы.
Разработка любой системы цифровой связи начинается с описания канала (принимаемая мощность, доступная полоса пропускания, статистики шума и иных ухудшений качества сигнала, таких, например, как замирание) и определения системных требований (скорость передачи данных и вероятность появления ошибок). После описания канала нужно определиться с проектными решениями, которые позволят наилучшим образом использовать канал и удовлетворить требования производительности. Описание производительности системы включает в себя традиционный набор преобразований и расчетов. После того как такой подход станет понятным, его можно использовать как образец для оценки большинства систем связи. В последующих разделах будут рассмотрены три примера систем: система ограниченной мощности без кодирования, система ограниченной полосы без кодирования и система ограниченной мощности и полосы с кодированием. В данном разделе представлены системы связи реального времени, в которых термин кодированный (или некодированный) означает наличие (или отсутствие) кода коррекции ошибок, включающего использование избыточных битов и увеличение ширины полосы пропускания.
Два основных ресурса связи — это переданная мощность и ширина полосы пропускания. В различных системах связи один из этих ресурсов дороже другого, и следовательно, большую часть систем можно классифицировать как системы ограниченной мощности или ограниченной полосы пропускания. В системах ограниченной мощности для экономии энергии за счет полосы пропускания можно применять схемы кодирования, эффективно использующие мощность, тогда как в системах ограниченной полосы можно использовать методы эффективной (с точки зрения используемого спектра) модуляции для экономии полосы частот за счет увеличения расхода энергии. В обоих случаях для экономии энергии или повышения достоверности передачи при расширении полосы пропускания можно применять кодирование с коррекцией ошибок (часто называемое канальным кодированием). Для повышения надежности передачи в каналах с ограниченной полосой пропускания без увеличения ширины полосы пропускания часто используется решетчатое кодирование (trellis-coded modulation — ТСМ) [6]. Эти методы рассматриваются в разделе 9.10.
9.7.1. М-арная передача сигналов
При использовании схемы, в которой за такт обрабатывается k бит, передача сигналов называется М-арной (см. раздел 3.8). Каждый символ М-арного алфавита можно однозначно связать с последовательностью из k бит, где
(9.13)
и М — размер алфавита. Если передача является цифровой, термин символ означает элемент M-арного алфавита, передаваемый за время символьного интервала TS. Для передачи символ следует представить в виде сигнала напряжения или тока. Поскольку сигнал представляет символ, термины символ и сигнал иногда используются как синонимы. Поскольку один из М символов (или сигналов) передается за интервал TS, скорость передачи данных R можно записать в следующем виде.
(9.14)
Из соотношения (9.14) эффективную длительность Tb каждого бита можно представить через длительность символа TS или скорость передачи данных RS.
(9.15)
Далее на основе выражений (9.13) и (9.15) через скорость передачи битов R можно записать скорость передачи символов RS.
(9.16)
Из соотношений (9.14) и (9.15) видно, что в любой цифровой схеме передачи k=(log2 М) бит за TS секунд, при ширине полосы пропускания в W Гц, эффективность использования полосы частот записывается следующим образом.
(9.17)
В данном случае Tb — это эффективное время передачи каждого бита.
9.7.2. Системы ограниченной полосы пропускания
Из уравнения (9.17) видно, что в любой системе цифровой связи эффективность использования полосы частот возрастает при увеличении произведения WTb. Следовательно, в системах ограниченной полосы пропускания часто применяются сигналы с малыми значениями произведения WTb. Например, в системе GSM (Global System for Mobile — глобальная система мобильной связи) используется гауссова манипуляция с минимальным сдвигом (Gaussian minimum shift keying — OMSK), в которой произведение WTb равно 0,3 Гц/бит/с [7], где W— ширина полосы частот по уровню 3 дБ.
При использовании системы ограниченной полосы пропускания без кодирования задачей является получение максимально возможного объема переданной информации в заданной полосе пропускания за счет Eb|N0 (сохраняя при этом определенное значение Pb). На графике эффективности использования полосы частот (рис. 9.6) показаны рабочие точки когерентной M-арной схемы PSK (MPSK) при Pb=10-5. Предполагается, что немодулированный сигнал подвергается фильтрации по Найквисту (идеальной прямоугольной) [2], так что для модуляции MPSK минимальная двойная полоса пропускания, центрированная на промежуточной частоте (intermediate frequency — IF), связана со скоростью передачи символов.
(9.18).
Здесь TS — время передачи символа, a RS — скорость передачи символов. Фильтрация по Найквисту дает минимальную полосу пропускания, при которой существует нулевая межсимвольная интерференция; такая идеальная фильтрация определяет минимальную ширину полосы по Найквисту. Следует отметить, что при неортогональной передаче сигналов (например, MPSK или MQAM) полоса пропускания зависит не от плотности точек сигналов в группе, а только от скорости передачи сигналов. При передаче вектора сигнала система не различает, пришел ли этот сигнал из разреженного или уплотненного алфавита. Это и является свойством неортогональных сигналов, которое позволяет уплотнить пространство сигналов и, таким образом, повысить эффективность использования полосы частот за счет мощности передатчика. Из уравнений (9.17) и (9.18) запишем, насколько сигнал в модуляции MPSK эффективно использует полосу при фильтрации по Найквисту.
(9.19)
Точки MPSK, показанные на рис. 9.6, подтверждают соотношение (9.19). Отметим, что модуляция MPSK является схемой эффективного использования полосы. С увеличением М также растет RIW. Из рис. 9.6 можно убедиться, что модуляция MPSK действительно может дать повышение эффективности использования полосы частот за счет увеличения Eb|N0. Было найдено множество схем модуляции, позволяющих весьма эффективно использовать полосу частот [8], но их рассмотрение выходит за рамки данной книги.
На графике эффективности использования полосы частот (рис. 9.6) показаны две области — область ограниченной полосы пропускания и область ограниченной мощности. Отметим, что желаемые компромиссы, связанные с каждой из этих областей, не являются беспристрастными. В области ограниченной полосы желательным является большое значение R/W; в тоже время с ростом Eb|N0 выравнивается кривая предельной пропускной способности и для повышения R/W требуется дополнительное увеличение EblN0. Аналогичная связь имеется в области ограниченной мощности. Здесь желательно малое отношение Eb|N0, но кривая предельной пропускной способности становится более крутой и для незначительного снижения требуемого Eb|N0 нужно уменьшить R/W.
9.7.3. Системы ограниченной мощности
Для систем ограниченной мощности, где имеется достаточная полоса пропускания, но существует дефицит мощности (например, линия космической связи), возможны следующие компромиссы (см. рис. 9.1, а): 1) уменьшение Рвза счет полосы пропускания при фиксированном Eb|N0; 2) снижение Eb|N0 за счет полосы пропускания при фиксированном Рв. "Естественным" вариантом при выборе модуляции для систем ограниченной мощности представляется М-арная FSK (MFSK). На рис. 9.6 показаны рабочие точки для некогерентной ортогональной модуляции MFSK при Рв=10-5. Для MFSK минимальная полоса частот по Найквисту определяется следующим выражением (см. раздел 4.5.4.1):
(9.20)
где TS — длительность передачи символа, a RS — скорость передачи символов. При использовании MFSK необходимая полоса пропускания расширяется в М раз по сравнению с двоичной FSK, поскольку теперь существует М различных ортогональных сигналов, каждый из которых требует полосы шириной 1/ТS. Таким образом, из уравнений (9.17) и (9.20) эффективность использования полосы частот при некогерентной модуляции MFSK с фильтрацией по Найквисту можно выразить следующим образом.
(9.21)
Следует отметить важное различие между эффективностью использования полосы (R/W) схемой MPSK в уравнении (9.19) и схемой MFSK, представленной в уравнении (9.21). При MPSK R/W растет с увеличением размерности пространства сигналов М. При использовании MFSK работает два механизма. Числитель дроби R/W дает такой же эффект с увеличением M, как и в случае MPSK. Знаменатель же приводит к уменьшению значения R/W при росте М. Поскольку при увеличении М знаменатель растет быстрее числителя, это приводит к снижению R/W. Рабочие точки MFSK, показанные на рис. 9.6, подтверждают соотношение (9.21) — ортогональная передача сигналов (например, MFSK) является схемой с расширением полосы пропускания. Из рис. 9.6 видно, что модуляция MFSK вполне подходит для снижения требуемого значения Eb|N0 за счет увеличения полосы пропускания.
Здесь важно подчеркнуть, что в уравнениях (9.18) и (9.19) для MPSK, а также в уравнениях (9.20) и (9.21) для MFSK и всех рабочих точек, показанных на рис.9.6, предполагается фильтрация по Найквисту (идеальная прямоугольная). На практике такие фильтры нереализуемы. Для реальных каналов и сигналов требуемая полоса пропускания должна быть больше, чтобы учитывать реализуемость фильтров.
Во всех последующих примерах будут рассматриваться радиоканалы с аддитивным белым гауссовым шумом (additive white Gaussian noise — AWGN), не имеющие иных факторов ухудшения качества сигнала. Для простоты выбор типа модуляции будет ограничен схемами с постоянной огибающей — MPSK или некогерентная ортогональная MFSK. Таким образом, если в системах без кодирования ограничена пропускная способность канала, выбирается схема MPSK, а если у канала ограничена мощность, применяется MFSK. Отметим, что при рассмотрении кодирования с коррекцией ошибок выбор типа модуляции не так прост, поскольку существуют методы кодирования [9], которые позволяют более эффективно выбрать компромисс между полосой пропускания и мощностью, чем схемы M-арной модуляции.
Следует сказать, что в общем случае M-арную передачу сигналов можно рассматривать как процедуру кодирования формы сигнала. Иными словами, если вместо двоичной выбрана M-арная модуляция, по сути, сигналы двоичной формы заменяются сигналами лучшей формы — лучшей или с точки зрения эффективности использования полосы (MPSK), или с точки зрения требуемой мощности (MFSK). Хотя передачу ортогональных сигналов MFSK можно рассматривать как систему с кодированием (ее можно представить как код Рида-Мюллера [10]), мы будем применять термин система с кодированием только к традиционным кодам коррекции ошибок, использующим избыточность, таким как блочные или сверточные коды.
9.7.4. Требования к передаче сигналов MPSK и MFSK
Основное соотношение между скоростью передачи символов (или сигналов) RS и скоростью передачи битов R выражено в уравнении (9.16) и имеет следующий вид.
На основе этого соотношения и уравнений (9.18)—(9.21) для скорости передачи данных R=9600 бит/с была составлена табл. 9.1 [11]. В этой таблице сведены данные о скорости передачи символов, минимальной полосе пропускания по Найквисту, эффективности использования полосы частот для MPSK и некогерентной ортогональной MFSK при М = 2, 4, 8, 16 и 32. В табл. 9.1 также для каждого М показаны значения Eb|N0, необходимые для получения вероятности ошибки 10-5 для MPSK и MFSK. Эти значения Eb|N0 в таблице были получены исходя из соотношений, которые будут представлены далее, и соответствуют компромиссам, показанным на рис. 9.6. С ростом М передача сигналов MPSK позволяет более эффективно использовать полосу частот за счет увеличения Eb|N0, в то время как передача сигналов MFSK позволяет снизить Eb|N0 за счет расширения полосы пропускания. В следующих трех разделах будут подробно рассмотрены примеры из табл. 9.1.
Таблица 9.1. Скорость передачи символов, минимальная полоса по Найквисту, эффективность использования полосы и требуемое Eb|N0 для схем MPSK и некогерентной ортогональной MFSK при скорости передачи данных 9600 бит/с
|
M |
k |
R (бит/с) |
RS (символ/с) |
MPSK Минимальная полоса (Гц) |
MPSK R/W |
MPSK Eb|N0 (дБ) PS=10-5 |
Некогерентная ортогональная MFSK Минимальная полоса (Гц) |
MFSK R/W |
MFSK Eb|N0 (дБ) PS=10-5 |
|
2 |
1 |
9600 |
9600 |
9600 |
1 |
9,6 |
19200 |
1/2 |
13,4 |
|
4 |
2 |
9600 |
4800 |
4800 |
2 |
9,6 |
19200 |
1/2 |
10,6 |
|
8 |
3 |
9600 |
3200 |
3200 |
3 |
13,0 |
25600 |
1/3 |
9,1 |
|
16 |
4 |
9600 |
2400 |
2400 |
4 |
17,5 |
38400 |
1/4 |
8,1 |
|
32 |
5 |
9600 |
1920 |
1920 |
5 |
22,4 |
61440 |
5/32 |
7,4 |
9.7.5. Система ограниченной полосы пропускания без кодирования
Рассмотрим радиоканал с шумом AWGN и ограниченной полосой пропускания W=4000Гц. Пусть ограничения линии связи (мощность передатчика, коэффициент усиления антенны, потери в канале и т. д.) приводят к тому, что отношение мощности принятого сигнала к спектральной плотности мощности шума (Pr|N0) равно 53 дБГц. Допустим, требуемое значение скорости передачи информации R равно 9600 бит/с, а требуемая вероятность появления битовой ошибки РВ не должна превышать 10-5. Задача — выбрать схему модуляции, которая сможет удовлетворить требуемым рабочим характеристикам. В общем случае может потребоваться схема кодирования с коррекцией ошибок, если ни одна из доступных схем модуляции не может удовлетворить всем требованиям. Тем не менее в данном примере (как показывается далее) кодирование с коррекцией ошибок не понадобится.
Для любой цифровой системы связи соотношение между принимаемой мощностью и спектральной плотностью мощности шума (Pr|N0), а также принимаемой энергией одного бита и спектральной плотностью мощности шума (Eb|N0) приведено в формуле (5.20,в) и имеет следующий вид.
(9.22)
Выразив из этого соотношения Eb|N0 в децибелах, получаем следующее.
(9.23)
Поскольку необходимая скорость передачи данных 9600 бит/с значительно больше, чем можно достичь с доступной полосой пропускания, составляющей 4000 Гц, канал можно считать каналом ограниченной полосы пропускания. Следовательно, в качестве схемы модуляции выбираем MPSK. Напомним, что при выборе возможной схемы модуляции было решено ограничиться модуляциями с постоянной огибающей; без такого ограничения можно найти тип модуляции с еще большей эффективностью использования полосы частот. Вычислим далее минимально допустимое значение М, при котором символьная скорость передачи данных не превышает доступной полосы пропускания 4000 Гц. Из табл. 9.1 видно, что наименьшим значением М, удовлетворяющим этим требованиям, является М=8. Следующая задача — выяснить, удовлетворяется ли требование к вероятности появления битовой ошибки PB<10-5 при использовании 8-уровневой PSK или потребуется дополнительно вводить схему кодирования с коррекцией ошибок. Из табл. 9.1 видно, что 8-уровневая PSK удовлетворяет всем требованиям, поскольку отношение Eb|N0 для 8-уровневой PSK меньше принятого Eb|N0, выраженного в (9.23). Тем ле менее, представим, что табл. 9.1 нет. Покажем, как определить, нужно ли кодирование с коррекцией ошибок.
На рис. 9.8 показана блочная диаграмма простого модулятора/демодулятора (модема), в которой отображены функциональные элементы разработки. В модуляторе в ходе преобразования битов данных в символы выходная скорость передачи символов равна RS, т.е. в (log2 М) раз меньше входной скорости передачи битов R, как видно из уравнения (9.16). Аналогично на входе демодулятора отношение энергии символа к спектральной плотности мощности шума ES|N0 в (log2 M) больше Eb|N0, поскольку каждый символ состоит из (log2 M) бит. Поскольку ES|N0 больше Eb|N0 в столько же раз, во сколько RS меньше R, формулу (9.22) можно переписать следующим образом.
(9.24)
Рис.9.8. Схема простого модулятора/демодулятора (модема) без канального кодирования
За каждый интервал TS демодулятор принимает сигнал (в данном случае — один из М=8 возможных сдвигов фаз). Вероятность РE(М) возникновения в демодуляторе символьной ошибки довольно точно описывается следующим приближенным выражением [12].
(9.25)
Здесь Q(x) — это гауссов интеграл ошибок, который был определен в выражении (3.43).
На рис. 9.8 и на всех последующих рисунках для обозначения некоторой функциональной зависимости вероятности от х будет использоваться не явное выражение, а обобщенная запись f(x).
Как правило, для описания эффективности связи (по фактору мощности) или достоверности передачи в цифровых системах их выражают через Eb|N0 в децибелах. Такое употребление Eb|N0 является распространенной практикой. Тем не менее напомним, что на входе демодулятора/детектора нет битов, имеются только сигналы, которым присвоено битовое значение. Следовательно, принимаемое значение Eb|N0 представляет собой пропорциональное распределение энергии принимаемых битов по сигналам. Более точное (но громоздкое) название — энергия эффективного бита на N0 - Для выражения РE(М) из уравнения (9.25) сначала нужно получить выражение для отношения энергии символа к спектральной плотности мощности шума, Eb|N0. Поскольку (из выражения (9.23)) Eb|N0=13,2 дБ (или 20,89) и каждый символ образуется (log2 M) битами, при М=8 получаем следующее.
(9.26)
Подставляя выражение (9.26) в (9.25), получаем вероятность появления символьной ошибки РЕ=2,2
10-5. Чтобы этот результат перевести в вероятность появления битовой ошибки, нужно воспользоваться соотношением между вероятностью появления битовой ошибки РВи вероятностью появления символьной ошибки РЕдля многофазной передачи сигналов [10]. Итак,
(9.27)
Это является довольно хорошей аппроксимацией, если для отображения битов в символы применяется код Грея [12]. Последняя формула дает РВ=7,310-6, что вполне удовлетворяет требованиям к вероятности появления битовых ошибок. Таким образом, в приведенном примере кодирование с коррекцией ошибок не потребовалось и 8-уровневая PSK удовлетворяет требованиям канала ограниченной полосы пропускания (что и было предсказано при изучении значений Eb|N0 в табл. 9.1).
9.7.6. Система ограниченной мощности без кодирования
Рассмотрим теперь систему, где требуется такая же скорость передачи данных и такая же вероятность появления битовой ошибки, как и в случае, описанном в разделе 9.7.5. Однако в данном примере доступная полоса пропускания W пусть будет равна 45 кГц, а доступное Eb|N0 — 48 дБГц. Как и ранее, задача — выбор схемы модуляции или модуляции/кодирования, которая смогла бы удовлетворить техническим требованиям. В данном случае кодирования с коррекцией ошибок снова не потребуется.
Очевидно, что в этом примере канал не имеет ограничений на полосу пропускания, так как имеющихся 45 кГц полосы более чем достаточно для обеспечения требуемой скорости передачи данных 9600 бит/с. Из уравнения (9.23) получаем принимаемое Eb|N0.
(9.28)
Поскольку полоса пропускания избыточна, а для получения нужной вероятности битовой ошибки доступно сравнительно небольшое Eb|N0, канал можно назвать каналом ограниченной мощности. Следовательно, в качестве схемы модуляции выбирается MFSK. Для экономии мощности далее необходимо подобрать максимальное М, при котором минимальная полоса пропускания MFSK не будет превышать доступные 45 кГц. Следуя табл. 9.1, можно видеть, что это возможно при М=16. Следующая задача — выяснить, можно ли удовлетворить требованию РB
10-5 с помощью лишь 16-уровневой FSK, без привлечения какого-либо кодирования с коррекцией ошибок. Подобно рассмотренному ранее случаю, из табл. 9.1 видно, что 16-уровневая FSK может удовлетворить требованиям, поскольку требуемое Eb|N0, взятое для 16-уровневой FSK, меньше полученного из уравнения (9.28). Тем не менее мы получим данный результат, не обращаясь к табл. 9.1. Покажем, как определить, нужно ли кодирование с коррекцией ошибок.
Как и ранее, блочная диаграмма на рис. 9.8 отображает соотношение между скоростью передачи символов RS и скоростью передачи битов R и между ES|N0 и Eb|N0 эти соотношения аналогичны полученным в предыдущем примере системы ограниченной полосы. В данном случае демодулятор 16-уровневой схемы FSK принимает сигнал (одну из 16 возможных частот) за интервал TS. При некогерентной MFSK вероятность возникновения в демодуляторе символьной ошибки аппроксимируется следующим выражением [13].
(9.29)
Для вычисления PE(М) из формулы (9.29) требуется, как и в предыдущем примере, найти ES|N0. Подставляя выражение (9.28) в (9.26) при М=16, получаем следующее.
(9.30)
Далее формулу (9.30) подставляем в (9.29), что дает вероятность появления символьной ошибки РЕ=1,410-5. Для преобразования этой величины в вероятность появления битовой ошибки РB нужно воспользоваться соотношением между РB и РЕ для передачи ортогональных сигналов [13], которое имеет следующий вид.
(9.31)
Из последней формулы получаем, что РB=7,310-6; это вполне удовлетворяет требуемой вероятности появления битовых ошибок. Таким образом, с помощью 16-уровневой FSK можно удовлетворить требованиям спецификации данного канала ограниченной мощности, не используя дополнительно никакого кодирования с коррекцией ошибок (что и было предсказано при изучении значений Eb|N0 в табл. 9.1).
9.7.7. Система ограниченной мощности и полосы пропускания с кодированием
В этом примере начальные параметры будут такими же, как и в предыдущем примере системы ограниченной полосы пропускания (раздел 9.7.5), а именно W=4000 Гц, Pr|N0=53 дБГц и R=9600 бит/с, за одним исключением. В данном случае предполагается, что вероятность появления битовой ошибки должна быть не больше 10-9. Поскольку полоса пропускания составляет 4000 Гц, а из уравнения (9.23) находим Eb|N0=13,2 дБ, то из табл. 9.1 ясно, что данная система ограничена и по полосе пропускания и по доступной мощности (для удовлетворения требованиям к полосе пропускания можно использовать 8-уровневую схему PSK; но имеющихся 13,2 дБ отношения Eb|N0 совсем не достаточно для обеспечения требуемой вероятности появления битовой ошибки 10-9). При таких малых значениях РB, системы, изображенной на рис. 9.8, явно недостаточно, значит, надо посмотреть, какое повышение производительности сможет дать кодирование с коррекцией ошибок (в пределах доступной полосы пропускания). В общем случае можно использовать сверточный или блочный код. Для упрощения будем применять блочный код. Коды Боуза-Чоудхури-Хоквенгема (Bose, Chaudhuri, Hocquenghem — ВСН, БХЧ) образуют большой класс мощных циклических (блочных) кодов коррекции ошибок [14]. В данном примере выберем из семейства кодов один конкретный. Рассмотрим табл. 9.2, где приведены некоторые коды БХЧ, определяемые параметрами п, k и г. Здесь k — количество информационных битов, которые код преобразует в более длинные блоки из п кодовых битов (их также называют канальными битами или канальными символами), a t - максимальное число неправильных канальных битов, не поддающихся исправлению, в блоке размером и бит. Степень кодирования кода определяется как отношение k/n; а величина, обратная данной, является мерой избыточности кода.
Таблица 9.2. Коды БХЧ (неполный перечень)
|
n |
k |
t |
|
7 |
4 |
1 |
|
15 |
11 |
1 |
|
7 |
2 |
|
|
5 |
3 |
|
|
31 |
26 |
1 |
|
21 |
2 |
|
|
16 |
3 |
|
|
11 |
4 |
|
|
63 |
5 |
|
|
57 |
1 |
|
|
51 |
2 |
|
|
45 |
3 |
|
|
39 |
4 |
|
|
36 |
5 |
|
|
30 |
6 |
|
|
127 |
120 |
1 |
|
113 |
2 |
|
|
106 |
3 |
|
|
99 |
4 |
|
|
92 |
5 |
|
|
85 |
6 |
|
|
78 |
7 |
|
|
71 |
9 |
|
|
64 |
10 |
|
|
57 |
11 |
|
|
50 |
13 |
|
|
43 |
14 |
|
|
36 |
15 |
|
|
29 |
21 |
|
|
22 |
23 |
|
|
15 |
27 |
|
|
8 |
31 |
Поскольку ограничения системы аналогичны использованным в разделе 9.7.5, удовлетворить требования к полосе пропускания можно с помощью 8-уровневой схемы PSK. Тем не менее для снижения вероятности появления ошибки до РB 10-9 придется воспользоваться кодом коррекции ошибок. При выборе оптимального кода из табл. 9.2 нужно иметь в виду следующее.
1. Выходная вероятность появления битовой ошибки в комбинированной системе модуляции/кодирования должна удовлетворять системным требованиям достоверности передачи.
2. Степень кодирования кода не должна требовать увеличения полосы пропускания до значения, большего доступного.
3. Код должен быть максимально простым. Вообще, чем короче код, тем проще его реализовать.
Минимальная полоса пропускания для 8-уровневой схемы PSK без кодирования составляет 3200 Гц (см. табл. 9.1), а доступная полоса пропускания канала — 4000 Гц. Следовательно, полосу пропускания некодированного сигнала можно увеличить не более чем в 1,25 раза (или расширить на 25%). Таким образом, самым первым шагом в данном (упрощенном) примере выбора кода будет отбрасывание тех кодов из табл. 9.2, которые потребуют расширения полосы пропускания более чем на 25%. В результате мы получим набор кодов, "совместимых" с полосой пропускания (табл. 9.3). В этой таблице добавлены два столбца, которые обозначены как "эффективность кодирования", G, причем эта величина определяется следующим образом.
(9.32)
Таблица 9.3. Коды БЧХ, «совместимые» с полосой пропускания.
|
Эффективность кодирования, G(дБ) |
||||
|
n |
k |
t |
PB=10-5 |
PB=10-9 |
|
31 |
26 |
1 |
1,8 |
2,0 |
|
63 |
57 |
1 |
1,8 |
2,2 |
|
51 |
2 |
2,6 |
3,2 |
|
|
127 |
120 |
1 |
1,7 |
2,2 |
|
113 |
2 |
2,6 |
3,4 |
|
|
106 |
3 |
3,1 |
4,0 |
|
Из уравнения (9.32) эффективность кодирования можно описать как меру снижения величины требуемого Eb|N0 (в децибелах), которую нужно обеспечить с помощью свойств кода, касающихся обнаружения и исправления ошибок. Эффективность кодирования зависит от типа модуляции и вероятности возникновения битовых ошибок. В табл. 9.3 эффективность кодирования G рассчитана для значений РB=10-5 и РB=10-9. При модуляции MPSK, G относительно независима от значения М. Следовательно, при конкретной вероятности возникновения битовой ошибки данный код будет иметь приблизительно равную эффективность с любой модуляцией MPSK. Эффективность кодирования в табл. 9.3 рассчитана согласно процедуре, описываемой в разделе 9.7,7.1.
На рис. 9.9 изображена блочная диаграмма, включающая кодер и модулятор/демодулятор (модем). Если сравнить рис. 9.9 и 9.8, то видно, что введение блоков кодера/декодера влечет за собой дополнительные преобразования. На рис. 9.9 в блоке кодер/модулятор показано, как преобразовывается скорость передачи: из R (бит/с) в RC (канальных бит/с), а затем в RS (символ/с).
Рис. 9.9. Схема модема с канальным кодированием
Предполагается, что рассматриваемая система связи является системой реального времени, а значит, в ней недопустимы задержки при передаче сообщений. Следовательно, скорость передачи канальных битов RC должна превышать битовую скорость передачи данных R в n/k раз. Более того, каждый передаваемый символ образован (log2 M) канальными битами, так что символьная скорость передачи RS меньше RC в (log2 M) раз. Для систем с модуляцией и кодированием преобразования скорости имеют следующий вид.
(9.33)
(9.34)
В блоке демодулятор/декодер, показанном на рис. 9.9, преобразования энергии битов данных, энергии канальных битов и энергии символов связаны теми же множителями, что и преобразования скоростей, показанные в выражениях (9.33) и (9.34). Поскольку при преобразовании кодирования k информационных битов заменяются п канальными битами, отношение энергии канального бита к спектральной плотности мощности шума, Ec|N0, — это результат умножения Eb|N0 на коэффициент k/n. Кроме того, поскольку каждый передаваемый символ состоит из (log2M) канальных битов, ES|N0, необходимое в (9.25) для получения РЕ, вычисляется путем умножения Ec|N0 на коэффициент (log2M). Для систем, содержащих одновременно и модуляцию, и кодирование, преобразования отношений энергии к спектральной плотности мощности шума будут следующими.
(9.35)
(9.36)
Следовательно, исходя из уравнений (9.33)—(9.36), можно обобщить выражение для Pr|N0 в уравнении (9.24).
(9.37)
Как и ранее, канал связи описывается величиной Eb|N0, выражаемой в децибелах. Тем не менее на входе демодулятора/детектора нет ни информационных, ни канальных битов. Есть только сигналы (символы передачи), которым присваивается битовое значение, а следовательно, их можно описывать через пропорциональное распределение энергии по битам. Из формулы (9.37) видно, что додетекторная точка приемника — это удобная опорная точка, в которой можно соотнести эффективную энергию и эффективную скорость различных параметров. Слово "эффективный" используется потому, что единственные сигналы в додетекторной точке — это импульсы, которые мы называем символами. Конечно, эти символы связаны с канальными битами, которые, в свою очередь, связаны с информационными битами. Чтобы подчеркнуть тот момент, что уравнение (9.37) весьма удобно при учете системных ресурсов, рассмотрим систему, в которой поток некоторого числа битов, например 273 бит, настолько часто появляется в виде отдельного блока, что этой группе присваивается собственное имя; все это идет отдельной "порцией". Инженеры делают это постоянно, например восемь бит называют байтом. Как только мы определили новый объект, его сразу можно связать с параметрами уравнения (9.37), поскольку Pr|N0 — это теперь энергия блока на N0, умноженная на скорость передачи блока. Нечто такое будет использовано в главе 12, где подобное расширение формулы (9.37) будет применяться к элементарным сигналам расширенного спектра.
Поскольку значения Pr|N0 и R равны 53 дБГц и 9600 бит/с, (по аналогии с предыдущим случаем) из уравнения (9.23) находим, что принятое Eb|N0= 13,2 дБ. Отметим, что принимаемое Eb|N0 фиксированно и не зависит от параметров кода n и k, а также от параметра модуляции M. Как было установлено при изучении табл. 9.3, для идеального кода, удовлетворяющего всем требованиям, можно итеративно повторить расчеты, представленные на рис. 9.9. Полезно запрограммировать на ПК (или калькуляторе) следующие четыре шага как функцию от п, k и t. Шаг первый начинается с подстановки уравнения (9.35) в (9.36).
Шаг 1 
(9.38)
Шаг 2 
(9.39)
Выражение (9.39) — это аппроксимация (для М-арной PSK) вероятности символьной ошибки РЕ, которая уже приводилась в формуле (9.25). В каждый промежуток передачи символа демодулятор принимает решение относительно значения символа и подает на декодер последовательность канальных битов, представляющую этот символ. Если на демодуляторе канальные биты квантуются на два уровня, обозначаемых 1 и 0, говорят, что демодулятор принимает жесткое решение (hard decision). Если выход демодулятора квантуется более чем на два уровня — демодулятор принимает мягкое решение (soft decision). В этом разделе предполагается принятие жестких решений.
Теперь, когда в системе присутствует блок декодера, вероятность появления ошибки в канальном бите вне демодулятора и на декодере будем обозначать как pc а вероятность появления ошибки в бите вне декодера, как и ранее, будем обозначать через РВ(декодированная вероятность битовой ошибки). С помощью рсуравнение (9.27) можно переписать следующим образом.
Шаг 3 
(9.40)
Третий шаг связывает вероятность появления ошибки в канальном бите с вероятностью появления ошибки в символе вне демодулятора (предполагается использование кода Грея, как это было в уравнении (9.27)).
В системах связи реального времени, использующих традиционные схемы кодирования, при фиксированном значении Pr|N0 величина ES|N0 с кодированием всегда будет меньше величины ES|N0 без кодирования. Поскольку при кодировании демодулятор принимает сигнал с меньшим ES|N0, он делает больше ошибок! Тем не менее при использовании кодирования достоверность передачи зависит от характеристик не только демодулятора, но и декодера. Следовательно, для повышения достоверности передачи при кодировании декодер должен осуществлять коррекцию ошибок так, чтобы перекрывать слабую производительность демодулятора. Итоговая декодированная вероятность битовой ошибки РВна выходе зависит от конкретного кода, декодера и вероятности появления ошибки в канальном бите рс. Эту зависимость можно аппроксимировать следующим выражением [15].
Шаг 4 
(9.41)
На четвертом шаге t — это наибольшее число канальных битов, которые код способен исправить в блоке размером п бит. Исходя из уравнений (9.38)-(9.41), определяющих четыре упомянутых выше шага, декодированную вероятность появления битовой ошибки РB можно рассчитать как функцию п, k и t для всех кодов, представленных в табл. 9.3. Нужная позиция таблицы, удовлетворяющая установленным требованиям к вероятности возникновения ошибки с наибольшей возможной степенью кодирования и наименьшим п, — это код с коррекцией двойных ошибок (63, 51). Ниже приводятся соответствующие расчеты.
Шаг 1 
где М = 8, а принятое Eb|N0 = 13,2 дБ (или 20,89).
Шаг 2 
Шаг 3 
Шаг 4 
На четвертом шаге способность кода к исправлению битовых ошибок t=2. Для получения РB на четвертом шаге, учитываются только первые два члена суммы в уравнении (9.41), так как остальные слагаемые дают пренебрежимо малый вклад при малых значениях рсили при разумно большом Eb|N0. Важно отметить, что при выполнении этих расчетов на компьютере стоит (на всякий случай) всегда учитывать все слагаемые в формуле (9.41), так как приближенное решение может сильно отличаться от правильного при малых значениях Eb|N0. Теперь, когда мы выбрали код (63, 51), рассчитаем скорость передачи данных в канальных битах Rc и скорость передачи символов RS с помощью уравнений (9.33) и (9.34), при М = 8.
9.7.7.1. Расчет эффективности кодирования
Более прямой способ поиска простейшего кода, удовлетворяющего требованиям, указанным в разделе 9.7.7, состоит в следующем. Вначале для схемы 8-PSK без кодированиярассчитывается, насколько большее (относительно доступных 13,2 дБ) значение Eb|N0 требуется для получения РВ=10-4. Это дополнительное Eb|N0 является требуемой эффективностью кодирования. Используя формулы (9.27) и (9.39), находим ES|N0 без использования кодирования, которое даст вероятность появления ошибки РВ=10-9.
(9.42)
При таком низком значении вероятности битовой ошибки, правомерно использовать приведенную в (3.44) аппроксимацию Q(x). Методом проб и ошибок (с помощью программируемого калькулятора) находим, что Eb|N0 без кодирования равно 120,67 (20,8 дБ), и поскольку каждый символ состоит из (1оg2 8)=3 бит, требуемое (Eb|N0) (без кодирования)= 120,67/3=40,22=16дБ. Из параметров примера и уравнения (9.23) мы знаем, что (E,JN0) (с кодированием) = 13,2 дБ. Следовательно, используя формулу (9.32), видим, что эффективность кодирования, удовлетворяющая условию РB = 10-9, равна следующему.
Чтобы приведенный выше расчет был точным, все значения Eb|N0 должны точно соответствовать одинаковым значениям вероятности битовой ошибки. В нашей ситуации это не совсем так: два значения Eb|N0 соответствуют РB =10-9 и РB=1,210-10. Тем не менее при таких низких значениях вероятности (даже при таком отличии) расчеты дают хорошее приближенное значение требуемой эффективности кодирования. Изучая табл. 9.3 на предмет выбора простейшего кода, дающего эффективность кодирования не меньше 2,8 дБ, видим, что это код (63, 51); тот же, что и был выбран ранее. Отметим, что эффективность кодирования нужно всегда определять для конкретной вероятности появления ошибки и типа модуляции, как в табл. 9.3.
9.7.7.2. Выбор кода
Рассмотрим систему связи реального времени, которая, согласно спецификации, относится к системам ограниченной мощности, но в то же время обладает достаточной полосой пропускания и должна иметь очень низкую вероятность возникновения ошибки. В данной ситуации необходимо кодирование с коррекцией ошибок. Пусть для кодирования нужно выбрать один из кодов БХЧ, которые представлены в табл. 9.2. Поскольку система имеет достаточную полосу пропускания, а требования относительно вероятности ошибок довольно строги, может возникнуть соблазн выбора самого мощного кода, из указанных в табл. 9.2, а именно — кода (127, 8), способного исправлять комбинации до 31 искаженных бит в блоке размером 127 кодовых бит. Будет ли кто-либо использовать такой код в системе связи реального времени? Конечно же, нет. Объясним, почему такой выбор неразумен.
Если в системе связи реального времени применяется код коррекции ошибок, то на достоверность передачи оказывают влияние два фактора. Один вызывает улучшение достоверности передачи, а другой — снижение. Первый фактор — это кодирование; чем больше избыточность кода, тем выше способность кода к коррекции ошибок. Второй фактор — это уменьшение энергии, приходящейся на канальный символ или кодовый бит (по сравнению с информационным битом). Такое уменьшение энергии вызвано повышением избыточности (что влечет за собой увеличение скорости передачи в системе связи реального времени). Меньшая энергия символа — это большее число ошибок. В конце концов, второй фактор подавляет первый, и при очень низких степенях кодирования резко возрастает вероятность появления ошибки. (Эти рассуждения иллюстрируются ниже, в примере 9.4.) Следует отметить, что сказанное справедливо только для систем связи реального времени, где задержки передачи сообщения недопустимы. В иных системах можно "играть на компромиссах" между задержкой при передаче сообщения и избыточностью кода (не снижая энергию, приходящуюся на символ).
Пример 9.4. Выбор кода, удовлетворяющего требованиям спецификации
Даны следующие параметры системы: Pr|N0=67дБГц, скорость передачи данных R=106 бит/с, доступная полоса пропускания W=20 МГц, декодированная вероятность битовой ошибки PB10-7, модуляция BPSK. Выберите из табл. 9.2 код, удовлетворяющий этим требованиям. Рассмотрение начать с кода (127, 8). Привлекательность этого кода объясняется наивысшей (из представленных кодов) способностью к коррекции ошибок.
Решение
Код (127,8) расширяет полосу пропускания в 127/8=15,875 раз. Следовательно, при использовании этого кода скорость передачи 1 Мбит/с (определяющая номинальную полосу пропускания в 1 МГц) возрастает до 15,875 МГц. Таким образом, передаваемый сигнал находится в пределах полосы 20 МГц, что позволяет увеличение полосы еше на 25% для целей фильтрации. После выбора кода оценим вероятность ошибки, использовав шаги, описанные в разделе 9.7.7.
Поскольку применяется двоичная модуляция, рс=РЕ, так что имеем следующее.
Код (127,8) способен исправлять последовательности до t=31 ошибочных бит, поэтому, используя формулу (9.41), получаем следующую вероятность появления ошибки в декодированном бите.
При очень малом рсдостаточно взять лишь первые несколько членов суммы. Но если рс большое, как в данном случае, то помощь компьютера будет очень кстати. После выполнения расчетов с рс=0,2156 вероятность появления ошибки в декодированном бите РB получаем равной 0,05, что очень сильно отличается от требуемых 10-7. Возьмем теперь код, степень кодирования которого близка к очень популярному значению 1/2, т.е. код (127, 64). Возможности этого кода не столь значительны, как у первого кода. Он может исправить 10 искаженных битов в блоке из 127 кодовых битов. Впрочем, исследуем этот код. Выполняя те же шаги, что и выше, получаем следующее.
Отметив, насколько большее ES|N0 получено, по сравнению с кодом (127, 8), продолжим вычисление.
В итоге, РB=5,610-8, что удовлетворяет системным требованиям. Из этого примера можно видеть, что выбор кода нужно делать, рассматривая тип модуляции и имеющееся Eb|N0 . При выборе можно руководствоваться тем, что очень высокие и очень низкие степени кодирования, в основном, оказываются малоэффективными в системах связи реального времени, что ясно видно из поведения кривых на рис. 8.6 (глава 8).
9.8. Модуляция с эффективным использованием полосы частот
Основной задачей спектрально эффективных модуляций является максимизация эффективности использования полосы частот. Увеличение спроса на цифровые каналы передачи привело к исследованиям спектрально эффективных методов модуляции [8, 16], направленных на максимально эффективное использование полосы частот и, следовательно, призванных ослабить проблему спектральной перегрузки каналов связи.
В некоторых системах, помимо требования эффективности использования спектра, имеются и другие. Например, в спутниковых системах с сильно нелинейными транс-пондерами требуется модуляция с постоянной огибающей. Это связано с тем, что при прохождении сигнала с большими флуктуациями амплитуды нелинейные транспондеры создают паразитные боковые полосы (причина — механизм, называемый преобразованием амплитудной модуляции в фазовую). Эти боковые полосы отбирают у информационного сигнала часть мощности транспондера, а также могут интерферировать с сигналами соседних каналов (помеха соседнего канала) или других систем связи (внутриканальная помеха). Двумя примерами модуляций с постоянной огибающей, подходящими для систем с нелинейными транспондерами, являются квадратурная фазовая манипуляция со сдвигом (Offset QPSK — OQPSK) и манипуляция с минимальным сдвигом (minimum shift keying — MSK).
9.8.1. Передача сигналов с модуляцией QPSK и OQPSK
На рис. 9.10 показано разбиение типичного потока импульсов при модуляции QPSK. На рис. 9.10, а представлен исходный поток данных dk(t)=d0,d1,d2, ..., состоящий из биполярных импульсов, т.е. dk принимают значения +1 или -1, представляющие двоичную единицу и двоичный нуль. Этот поток импульсов разделяется на синфазный поток, dI(t), и квадратурный, dQ(t), как показано на рис. 9.10, б.
dI(t) = d0, d2, d4, ... (четные биты)
dQ(t) = d1, d3, d5, ... (нечетные биты)
Отметим, что скорости потоков dI(t) и dQ(t) равны половине скорости передачи потока dk(t). Удобную ортогональную реализацию сигнала QPSK, s(t), можно получить, используя амплитудную модуляцию синфазного и квадратурного потоков на синусной и косинусной функциях от несущей.
(9.44)
С помощью тригонометрических тождеств (Г.5) и (Г.6) уравнение (9.44) можно представить в следующем виде.
(9.45)
Рис.9.10. Модуляция QPSK
Модулятор QPSK, показанный на рис. 9.10, в, использует сумму синусоидального и косинусоидального слагаемых, тогда как аналогичное устройство, описанное в разделе 4.6, применяет разность таких слагаемых. Материл данного раздела представлен так, как это сделано в работе [17]. Поскольку когерентный приемник должен разрешать любую неопределенность фазы, использование в передатчике иного формата фазы можно рассматривать как часть подобной неопределенности. Поток импульсов dI(t) используется для амплитудной модуляции (с амплитудой +1 или -1) косинусоиды. Это равноценно сдвигу фазы косинусоиды на 0 или 
; следовательно, в результате получаем сигнал BPSK. Аналогично поток импульсов dQ(t) модулирует синусоиду, что дает сигнал BPSK, ортогональный предыдущему. При суммировании этих двух ортогог нальных компонентов несущей получается сигнал QPSK. Величина 
будет соответствовать одному из четырех возможных сочетаний dI(t) и dQ(t) в уравнении (9.44): = 0°, ±90° или 180°; результирующие векторы сигналов показаны в сигнальном пространстве на рис. 9.11. Так как cos(
) и sin() ортогональны, два сигнала BPSK можно обнаруживать раздельно.
Рис. 9.11. Сигнальное пространство для схем QPSK и OQPSK
Передачу сигналов OQPSK также можно представить формулами (9.44) и (9.45); различие между двумя схемами модуляции, QPSK и OQPSK, состоит только в ориентации двух модулированных сигналов. Как показано на рис. 9.10, длительность каждого исходного импульса равна Т (рис.9.10, а); следовательно, в потоках на рис. 9.10, б длительность каждого импульса равна 2T. В обычной QPSK потоки четных и нечетных импульсов передаются со скоростью 1/(2T) бит/с, причем они синхронизированы так, что их переходы совпадают, как показано на рис. 9.10, б. В OQPSK, которую иногда называют QPSK с разнесением (staggered QPSK — SQPSK), используется также разделение потока данных и ортогональная передача; разница в том, что потоки dI(t) и dQ(t) синхронизированы со сдвигом на Т. Этот сдвиг показан на рис. 9.12.
Рис. 9.12. Потоки данных при модуляции OQPSK
При стандартной QPSK из-за синхронизации dI(t) и dQ(t) за промежуток 2Т фаза несущей может изменяться только раз. В зависимости от значений dI(t) и dQ(t) в любом промежутке 2Т, фаза несущей на этом промежутке может принимать одно из четырех значений, показанных на рис. 9.11. В течение следующего интервала 2T фаза несущей остается такой же, если ни один из потоков не меняет знака. Если только один из потоков импульсов изменит знак, происходит сдвиг фазы на ±90°. Изменение знака у обоих потоков приводит к сдвигу фазы на 180°. На- рис. 9.13, а изображен типичный сигнал QPSK для последовательности dI(t) и dQ(t), показанной на рис. 9.10.
Рис. 9.13. Сигналы: a) QPSK; 6) OQPSK. (Перепечатано с разрешения автора из работы Pasupathy S. "Minimum Shift Keying: A Spectrally Efficient Modulation," IEEE Commun. Mag., July, 1979, Fig. 4, p. 17. © 1979, IEEE.)
Если сигнал, модулированный QPSK, подвергается фильтрации для уменьшения побочных максимумов спектра, результирующий сигнал больше не будет иметь постоянной огибающей и, фактически, случайный фазовый сдвиг на 180° вызовет моментальное обращение огибающей в нуль (рис. 9.13, а). Если эти сигналы применяются в спутниковых каналах, где используются нелинейные усилители, постоянная огибающая будет восстанавливаться. Однако в то же время восстанавливаться будут и все нежелательные частотные боковые максимумы, которые могут интерферировать с сигналами соседних каналов и других систем связи.
При модуляции QPSK потоки импульсов dI(t) и dQ(t) разнесены и, следовательно, не могут одновременно изменить состояние. Несущая не может изменять фазу на 180°, поскольку за один раз переход может сделать только один из компонентов. За каждые Т секунд фаза может измениться только на 0° или ±90°. На рис. 9.13, б показан типичный сигнал OQPSK для последовательности, представленной на рис. 9.12. Если сигнал OQPSK становится сигналом с ограниченной полосой, возникающая межсимвольная интерференция приводит к легкому спаду огибающей в области переходов фазы на ±90°, но поскольку переходов на 180° при OQPSK нет, огибающая не обращается в нуль, как это происходит при QPSK. Если сигнал OQPSK с ограниченной полосой проходит через нелинейный транспондер, спад огибающей устраняется; в то же время высокочастотные компоненты, связанные с исчезновением огибающей, не усиливаются. Таким образом, отсутствует внеполосная интерференция [17].
9.8.2. Манипуляция с минимальным сдвигом
Главное преимущество OQPSK перед QPSK. (устранение внеполосной интерференции) наводит на мысль, что можно дополнительно усилить формат OQPSK, устранив разрывные переходы фазы. Это стало мотивацией разработки схем модуляции без разрыва фазы (continuous phase modulation — СРМ). Одной из таких схем является манипуляция с минимальным сдвигом (minimum shift keying — MSK) [17, 20]. MSK можно рассматривать как частный случай частотной манипуляции без разрыва фазы (continuous-phase frequency shift keying — CPFSK) или как частный случай OQPSK с синусоидальным взвешиванием символов. В первом случае сигнал MSK можно представить следующим образом [18].
(9.46)
Здесь f0— несущая частота, dk=±1 представляет биполярные данные,* которые передаются со скоростью R = 1|T, a xk — это фазовая постоянная для k-го интервала передачи двоичных данных. Отметим, что при dk=1 передаваемая частота — это f0+1/4T, а при dk=-1 — этоf0-1/4T. Следовательно, разнесение тонов в MSK составляет половину от используемого при ортогональной FSK с некогерентной демодуляцией, откуда и название — манипуляция с минимальным сдвигом. В течение каждого Т-секундного интервала передачи данных значение xk постоянно, т.е. xk=0 или , что диктуется требованием непрерывности фазы сигнала в моменты t=kT. Это требование накладывает ограничение на фазу, которое можно представить следующим рекурсивным соотношением для xk.
(9.47)
С помощью тождеств (Г.5) и (Г.6) уравнение (9.46) можно переписать в квадратурном представлении.
(9.48)
где
(9.49)
Синфазный компонент обозначается как 
, где 
- несущая, 
- синусоидальное взвешивание символов, ak — информационно-зависимый член. Подобным образом квадратурный компонент — это
, где
— квадратурное слагаемое несущей, 
— такое же синусоидальное взвешивание символов, a bk — информационно-зависимый член. Может показаться, что величины ak и bk могут изменять свое значение каждые Т секунд. Однако из-за требования непрерывности фазы величина ak может измениться лишь при переходе функции через нуль; - a bk — только при переходе через нуль . Следовательно, взвешивание символов в синфазном или квадратурном канале — это синусоидальный импульс с периодом 2Т и переменным знаком. Как и в случае OQPSK, синфазный и квадратурный компоненты сдвинуты относительно друг друга на Т секунд.
Отметим, что xk в уравнении (9.46) — это функция разности между прежним и текущим информационными битами (дифференциальное кодирование). Таким образом, величины ak и bk в уравнении (9.48) можно рассматривать как дифференциально кодированные компоненты исходных данных dk - Однако чтобы биты данных dk были независимы между собой, знаки последовательных импульсов квадратурного и синфазного каналов различных интервалов, длительностью, 2Т секунд, должны быть случайными импульсами. Таким образом, если уравнение (9.48) рассматривать как частный случай модуляции OQPSK, его можно переписать в иной (недифференциальной) форме [18].
(9.50)
Здесь dI(t) и dQ(t) имеют такой же смысл синфазного и квадратурного потоков данных, как и в уравнении (9.43). Схема MSK, записанная в форме (9.50), иногда называется MSK с предварительным кодированием (preceded MSK). Графическое представление уравнения (9.50) дано на рис. 9.14. На рис. 9.14, а и в показано синусоидальное взвешивание импульсов синфазного и квадратурного каналов. Эти последовательности представляют собой те же информационные последовательности, что и на рис. 9.12, но здесь умножение на синусоиду дает более плавные переходы фазы, чем в исходном представлении данных. На рис. 9.14, б и г показана модуляция ортогональных компонентов 
и 
синусоидальными потоками данных. На рис. 9.14, д представлено суммирование ортогональных компонентов, изображенных на рис. 9.14, б и г. Итак, из уравнения (9.50) и рис. 9.14 можно заключить следующее: 1) сигнал s(t) имеет постоянную огибающую; 2) фаза радиочастотной несущей непрерывна при битовых переходах; 3) сигнал s(t) можно рассматривать как сигнал, модулированный FSK, с частотами передачи f0+1/4T и f0-1/4T. Таким образом, минимальное разнесение тонов, требуемое при модуляции MSK, можно записать следующим образом.
. (9.51)
что равно половине скорости передачи битов. Отметим, что разнесение тонов, требуемое для MSK, — это половина (1/T) разнесения, необходимого при некогерентном обнаружении сигналов, модулированных FSK (см. раздел 4.5.4). Это объясняется тем, что фаза несущей известна и непрерывна, что позволяет осуществить когерентную демодуляцию сигнала.
Спектральная плотность мощности G(f) дляQPSK и OQPSK имеет следующий вид [18].
(9.52)
где Р — средняя мощность модулированного сигнала. При MSK G(f) будет иметь следующий вид [18].
(9.53)
Рис. 9.14. Манипуляция с минимальным сдвигом (minimum shift keying — MSK): а) модифицированный синфазный поток битов; 6) произведение синфазного потока битов и несущей; в) модифицированный квадратурный поток битов; г) произведение квадратурного потока битов и несущей; д) сигнал MSK. (Перепечатано с разрешения автора из работы Pasupathy S. "Minimum Shift Keying: A Spectrally Efficient Modulation," IEEE Common. Mag., July, 1979, Fig. 5, p. 18. © 1979, IEEE.)
Нормированная спектральная плотность мощности (P=1Вт) для QPSK, OQPSK и MSK изображена на рис. 9.15. Для сравнения здесь же приводится спектральный график BPSK. Не должно удивлять, что BPSK требует большей полосы пропускания, чем другие типы модуляции, при том же уровне спектральной плотности. В разделе 9.5.1 и на рис. 9.6 было показано, что теоретическая эффективность использования полосы частот схемы BPSK вдвое меньше, чем схемы QPSK. Из рис. 9.15 видно, что боковые максимумы графика MSK ниже, чем графика QPSK или OQPSK. Это является следствием умножения потока данных на синусоиду и дает большое количество плавных фазовых переходов. Чем плавнее переход, тем быстрее спектральные хвосты стремятся к нулю. Модуляция MSK спектрально эффективнее QPSK или OQPSK; тем не менее, как видно из рис. 9.15, спектр MSK имеет более широкий основной максимум, чем спектр QPSK или OQPSK. Следовательно, MSK нельзя назвать удачным выбором при наличии узкополосных линий связи. В то же время MSK стоит использовать в системах с несколькими несущими, поскольку ее относительно малые побочные максимумы спектра позволяют избежать значительных помех соседних каналов (adjacent channel interference — ACI). To, что спектр QPSK имеет более узкий основной максимум, чем MSK, объясняется тем, что при данной скорости передачи битов скорость передачи символов QPSK вдвое меньше скорости передачи символов MSK.
Рис. 9.15. Нормированная спектральная плотность мощности для BPSK, QPSK, OQPSK и MSK. (Перепечатано с разрешения автора из работы Amoroso F. "The Bandwidth of Digital Data Signals, " IEEE Commun. Mag., vol. 18, n. 6, November, 1980, Fig. 24, p. 16. © 1980, IEEE.)
9.8.2.1. Вероятность ошибки при модуляциях OQPSK и MSK
Ранее говорилось, что BPSK и QPSK имеют одинаковую вероятность появления битовой ошибки, поскольку QPSK сконфигурирована как два сигнала BPSK на ортогональных компонентах несущей. Так как разнесение потоков данных не меняет ортогональности несущих, схема OQPSK имеет ту же теоретическую вероятность появления битовой ошибки, что и BPSK и QPSK.
Для модуляции двух квадратурных компонентов несущей манипуляция с минимальным сдвигом использует сигналы антиподной формы, 
и 
, с периодом 2Т. Следовательно, если для независимого восстановления данных из каждого ортогонального компонента используются согласованные фильтры, то модуляция MSK, определенная в формуле (9.50), имеет ту же вероятность появления ошибки, что и BPSK, QPSK и OQPSK [17]. Однако если сигнал, модулированный MSK, когерентно обнаруживается в интервале Т секунд как сигнал, модулированный FSK, то эта вероятность будет ниже, чем у BPSK, на 3дБ [17]. У MSK с дифференциально кодированными данными, определенной в выражении (9.46), вероятность появления ошибки будет такой же, как и при когерентном обнаружении дифференциально кодированных данных в модуляции PSK. Сигналы MSK также можно обнаруживать некогерентно [19]. Это позволяет осуществлять дешевую демодуляцию (если это позволяет величина принятого Eb/N0).
9.8.3. Квадратурная амплитудная модуляция
Когерентная М-арная фазовая манипуляция (M-ary phase shift keying — MPSK) — Это хорошо известный метод, позволяющий сузить полосу пропускания. Здесь используется не бинарный алфавит с передачей одного информационного бита за период передачи канального символа, а алфавит из М символов, что позволяет передавать k=log2M битов за каждый символьный интервал. Поскольку использование M-арных символов в k раз повышает скорость передачи информации при той же полосе пропускания, то при фиксированной скорости применение М-арной PSK сужает необходимую полосу пропускания в k раз (см. раздел 4.8.3).
Из уравнения (9.44) можно видеть, что модуляция QPSK состоит из двух независимых потоков. Один поток модулирует амплитуду косинусоидальной функции несущей на уровни +1 и -1, а другой — аналогичным образом синусоидальную функцию. Результирующий сигнал называется двухполосным сигналом с подавлением несущей (double-sideband suppressed-carrier — DSB-SC), поскольку полоса радиочастот вдвое больше полосы немодулированного сигнала (см. раздел 1.7.1) и не содержит выделенной несущей. Квадратурную амплитудную модуляцию (quadrature amplitude modulation — QAM) можно считать логическим продолжением QPSK, поскольку сигнал QAM также состоит из двух независимых амплитудно-модулированных несущих. Каждый блок из k бит (k полагается четным) можно разделить на два блока из k/2 бит, подаваемых на цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП), которые обеспечивают требующее модулирующее напряжение для несущих. В приемнике оба сигнала обнаруживаются независимо с помощью согласованных фильтров. Передачу сигналов, модулированных QAM, можно также рассматривать как комбинацию амплитудной (amplitude shift keying — ASK) и фазовой (phase shift keying — PSK) манипуляций, откуда альтернативное название амплитудно-фазовая манипуляция (amplitude phase keying — АРК). И наконец, ее можно считать двухмерной амплитудной манипуляцией, откуда еще одно название — квадратурная амплитудная манипуляция (quadrature amplitude shift keying — QASK).
На рис. 9.16, а показано двухмерное пространство сигналов и набор векторов сигналов, модулированных 16-ричной QAM и изображенных точками, которые расположены в виде прямоугольной совокупности. На рис. 9.16, б показан канонический модулятор QAM. На рис. 9.16, в изображен пример модели канала, в которой предполагается наличие лишь гауссова шума. Сигналы передаются в виде пары (x, у). На модели показано, что координаты сигнальной точки (x, у) передаются по раздельным каналам и независимо возмущаются переменными гауссова шума (пx,nу), каждый компонент которого имеет нулевое среднее и дисперсию N. Можно также сказать, что двухмерная точка сигнала возмущается двухмерной переменной гауссова шума. Если средняя энергия сигнала (среднеквадратическое значение координат сигнала) равна S, тогда отношение сигнал/шум равно S/N. Простейший метод цифровой передачи сигналов через подобные системы — это применение одномерной амплитудно-импульсной модуляции (pulse amplitude modulation — РАМ) независимо к каждой координате сигнала. При модуляции РАМ для передачи k битов/размерность по гауссову каналу каждая точка сигнала принимает значение одной из 2k равновероятных эквидистантных амплитуд. Точки сигналов принято группировать в окрестности пространства на амплитудах ±1, ±3, ..., ±(2k - 1).
Рис. 9.16. Схема модуляции QAM: а) 16-ричное пространство сигналов; б) канонический модулятор QAM; в) модель канала QAM
9.8.3.1. Вероятность битовой ошибки при модуляции QAM
Для прямоугольной совокупности, гауссова канала и приема с помощью согласованных фильтров, вероятность появления битовой ошибки выражается следующим образом [12].
(9.54)
Здесь Q(x) определено в формуле (3.43), a L представляет количество уровней амплитуды в одном измерении. Предполагается, что при отображении последовательности log2 L бит в L-арный символ используется код Грея (см. раздел 4.9.4).
9.8.3.2. Компромисс между полосой пропускания и мощностью
На рис. 9.6 представлена плоскость эффективности использования полосы частот, на которой показан компромисс между полосой пропускания и мощностью при Л/арной модуляции QAM, если вероятность битовой ошибки равна 10-5, а значения на оси абсцисс измеряются в среднем отношении Eb/N0. Предполагается, что немодулированные импульсы фильтруются по Найквисту, так что двусторонняя полоса пропускания на промежуточной частоте (Intermediate Frequency — IF) равна WIF =1/Т, где Т — длительность передачи символа. Следовательно, эффективность использования полосы частот равна R/W= log2 М, где М — размер набора символов. Для реальных каналов и сигналов достоверность передачи ниже указанной, поскольку для реализации реальных фильтров требуется большая полоса пропускания. Из рис. 9.6 видно, что QAM — это метод снижения требований к полосе пропускания при передаче цифровых данных. Как и при M-арной PSK, за счет снижения эффективности использования полосы частот можно получить выигрыш в мощности или Eb/N0; однако при QAM можно реализовать более выгодный компромисс, чем при М-арной PSK.
Пример 9.5. Выбор схемы модуляции
Пусть поток данных со скоростью R=144 Мбит/с передается по радиочастотному каналу с использованием двухполосной схемы модуляции. Предполагается фильтрация по Найквисту и наличие двусторонней полосы 36 МГц. Какую модуляцию стоит выбрать при данных требованиях? Если доступное Eb/N0, равно 20, какой будет вероятность битовой ошибки?
Решение
Запишем требуемую спектральную эффективность.
Из рис. 9.6 видно, что 16-ричная QAM с теоретической спектральной эффективностью 4 бит/с/Гц требует более низкого значения Eb|N0, чем 16-арная PSK, при том же значении рв . Исходя из этого выбираем модем QAM.
Считая Eb|N0 равным 20 и используя формулу (9.54), вычисляем ожидаемую вероятность битовой ошибки.
Пример 9.6. Спектральная эффективность
а) Объясните схему расчета спектральной эффективности схемы QAM в примере 9.5, считая что сигнал, модулированный QAM, передается на ортогональных компонентах несущей.
б) Поскольку двусторонняя полоса пропускания в примере 9.5 равна 36 МГц, рассмотрим использование половины этого значения для передачи потока данных со скоростью 144 Мбит/с при многоуровневой схеме РАМ. Какая спектральная эффективность нужна для осуществления этого и какое количество уровней необходимо в схеме РАМ? Предполагается фильтрация по Найквисту.
Решение
а) Полосовой канал с использованием схемы QAM: поток данных со скоростью 144 Мбит/с разделяется на синфазный поток со скоростью 72 Мбит/с и квадратурный поток с такой же скоростью (72 Мбит/с); один поток модулирует амплитуду косинусоидальной функции несущей в полосе пропускания 36 МГц, а другой поток аналогичным образом модулирует синусоидальную функцию. Поскольку каждый поток со скоростью 72 Мбит/с модулирует ортогональный компонент несущей, 36 МГц достаточно для обоих потоков или для передачи со скоростью 144 Мбит/с. Следовательно, спектральная эффективность равна (144 Мбит/с)/36 МГц =4 бит/с/Гц.
б) Требуемая спектральная эффективность при узкополосной передаче равна следующему.
Если предполагается фильтрация по Найквисту, полоса пропускания 18 МГц поддерживает максимальную скорость передачи символов RS=2W=3106 символ/с (см. уравнение (3.80)). Следовательно, каждый импульс, модулированный РАМ, должен иметь l-битовое значение.
Откуда
.
где l = log2 L, a L=16 уровней.
9.9. Модуляция и кодирование в каналах ограниченной полосы
Методы канального кодирования, описанные в главах 6-8, обычно не применяются в телефонных каналах (хотя первые испытания последовательного декодирования сверточных кодов проводились именно по телефонной линии). Недавно, однако, возник существенный интерес к методам, которые могут обеспечить эффективное кодирование в узкополосных каналах. Это связано с желанием получить надежную передачу по телефонным линиям при высоких скоростях передачи данных. Потенциальная эффективность составляет порядка 3 бит/символ (при данном отношении сигнал/шум) или, что то же самое, при данной вероятности ошибки можно достичь экономии мощности до 9 дБ [21].
Наибольший интерес представляют следующие три отдельные области исследования кодирования.
1. Оптимальные границы совокупностей сигналов (выбор наиболее плотно упакованного подмножества сигналов из любого регулярного массива или решетки возможных точек).
2. Структуры решеток с высокой плотностью (улучшение выбора подмножества сигналов за счет начала рассмотрения с наиболее плотной из возможных решеток пространства).
3. Решетчатое кодирование (комбинация методов модуляции и кодирования для получения эффективного кодирования в узкополосных каналах).
Первые две области не являются "истинными" схемами кодирования с защитой от ошибок. Под словами "истинная схема кодирования с защитой от ошибок" подразумевается метод, использующий некоторую структурную избыточность для снижения вероятности ошибки. Избыточность включает лишь третья позиция списка, решетчатое кодирование. Перечисленные области исследования кодирования и ожидаемые от них улучшения производительности обсуждаются ниже.
9.9.1. Коммерческие модемы
В использовании эффективных методов модуляции традиционно заинтересована телекоммуникационная индустрия, поскольку основные ресурсы телефонных компаний — это жестко ограниченные речевые (телефонные) каналы. Типичный телефонный канал характеризуется высоким отношением сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) порядка 30 дБ и полосой пропускания порядка 3 кГц. В табл. 9.4 представлена эволюция некоммутируемых телефонных модемов, и в табл. 9.5 — эволюция стандартов коммутируемых телефонных модемов.
9.9.2. Границы совокупности сигналов
Исследователи [22-26] изучили большое количество возможных совокупностей сигналов QAM, пытаясь найти структуру, которая снизит вероятность появления ошибок при данном среднем отношении сигнал/шум. На рис. 9.17 показано несколько примеров совокупностей символов для М = 4, 8 и 16, которые рассматривались в [22]. Циклические наборы обозначаются как (а, b, ...), где а — количество сигналов во внутреннем круге, b — сигналы следующего круга и т.д. В общем, правило совокупности, известное как правило построения Кампопьяно-Глейзера (Campopiano-Glazer) [24], которое дает оптимальные характеристики множества сигналов, можно сформулировать так: из бесконечного массива точек, плотно упакованных в регулярный массив или решетку, в качестве совокупности сигналов выбрать плотно упакованное подмножество 2k точек. В данном случае "оптимальный" означает среднюю минимальную среднюю или пиковую мощность при данной вероятности ошибки. В двухмерном пространстве сигналов оптимальная граница, окружающая массив точек, стремится к окружности. На рис. 9.18 показаны примеры 64-арной (k = 6) и 128-арной (fc = 7) совокупностей сигналов из прямоугольного массива. Крестообразные границы — это компромиссное представление оптимальной окружности. Совокупность k = 6 использована в модеме Paradyne 14,4 Кбит/с. По сравнению с квадратной, кольцевая граница дает улучшение характеристик всего на 0,2 дБ [21].
Таблица 9.4. Эволюция некоммутируемых телефонных модемов
|
Год |
Название |
Максимальная скорость передачи битов (бит/с) |
Скорость передачи сигналов (символов/с) |
Метод модуляции |
Эффективность передачи сигналов(бит/символ) |
|
1962 |
Bell 201 |
2400 |
1200 |
4-PSK |
2 |
|
1967 |
Milgo 4400/48 |
4800 |
1600 |
8-PSK |
3 |
|
1971 |
Codex 9600C |
9600 |
2400 |
16-QAM |
4 |
|
1980 |
Paradyne MP14400 |
14400 |
2400 |
64-QAM |
6 |
|
1981 |
Codex SP14.4 |
14400 |
2400 |
64-QAM |
6 |
|
1984 |
Codex 2660 |
16 800 |
2400 |
Решетчатая 256-QAM |
7 |
|
1985 |
Codex 2680 |
19200_ |
2743 |
8-D решетчатая 160-QAM |
7_ |
Таблица 9.5. Эволюция стандартов коммутируемых телефонных модемов
|
Год |
Название |
Максимальная скорость передачи битов (бит/с) |
Скорость передачи сигналов (символов/с) |
Метод модуляции |
Эффективность передачи сигналов(бит/символ) |
|
1984 |
V.32 |
9600 |
2400 |
2-D решетчатая 32-QAM |
4 |
|
1991 |
V.32bis |
14400 |
2400 |
2-D решетчатая 128-QAM |
6 |
|
1994 |
V.34 |
28 800 |
2400,2743,2800,3000,3200,3429 |
4-D решетчатая 960-QAM |
=9 |
|
1996 |
V.34 |
33 600 |
2400,2743,2800,3000,3200, 3429 |
4-D решетчатая 1664-QAM |
=10 |
|
1998 |
4.90 |
по направлению основного потока: - 56 000 против направления основного потока: - 33 600 |
8000 как в V.34 |
РСМ'(М-РАМ) как в V.34 |
7 =10 |
|
2000 |
V.92 |
по направлению основного потока: - 56 000 против направления основного потока: - 48 000 |
8000 8000 |
РСМ'(М-РАМ) Решетчатая РСМ |
7 6 |
Рис. 9.17. Совокупности М-арных символов. (Перепечатано с разрешения авторов из работы Thomas С. М., Weidner M. Y. and Durrani S. N. "Digital Amplitude-Phase Shift Keying with M-ary Alphabets," IEEE Trans. Commun., vol. COM22, n. 2, February, 1974, Figs. 2 and 3, p. 170. © 1974, IEEE.)
Рис. 9.18 Примеры М-арных совокупностей, использующих прямоугольную решетку.
9.9.3. Совокупности сигналов высших размерностей
Для любой скорости передачи информации и шумового процесса в канале, который независимо и одинаково распределен в двух измерениях, передача сигнала в двухмерном пространстве может дать такую же вероятность ошибки при меньшей средней (или пиковой) мощности, как и передача сигналов в одномерном импульсно-амплитудном (pulse-amplitude — РАМ) пространстве. Это выполняется посредством выбора точек сигналов на двухмерной решетке в пределах кольцевой, а не квадратной границы. Аналогичным образом, переходя к измерению высшей размерности N и выбирая точки на n-мерной решетке в пределах не N-мерного куба, а N-мерной сферы, можно еще больше сэкономить энергию [27-30]. Задачей подобного формирования совокупности является снижение требуемой средней энергии точек сигнала, расположенных внутри N-мерной сферы, по сравнению с энергией точек, расположенных внутри N-мерного куба. Такое снижение требуемой энергии при данной вероятности ошибки называется эффективностью выбора формы (shaping gain) [16]. В табл. 9.6 показано, как можно сэкономить энергию в N измерениях. Если устремить N к бесконечности, эффективность будет стремиться к 1,53 дБ; как правило, эффективность порядка 1 дБ получить нетрудно [16, 21].
Таблица 9.6. Экономия энергии при замене N-мерного куба N-мерной сферой (эффективность выбора формы)
|
Размерность (N) |
Эффективность (дБ) |
|
2 |
0,20 |
|
4 |
0,45 |
|
8 |
0,73 |
|
16 |
0,98 |
|
24 |
1,01 |
|
32 |
1,17 |
|
48 |
1,26 |
|
64 |
1,31 |
Источник: G. D. Forney, Jr., et. al. "Efficient Modulation for Bandlimited Channels," IEEE J. Set. Areas Commun., vol. SAC2, n. 5, September, 1984, pp. 632-647.
Канал, по сути, является двухмерным, поскольку символы, представленные на двухмерной плоскости в виде точек, передаются квадратурным образом. Многомерная передача сигналов обычно означает передачу с использованием двух или большего числа таких плоскостей. Для передачи п бит/символ при N-мерной (N четное и большее 2) передаче входящие биты группируются в блоки размером nN/2. Затем требуется выполнить отображение, при котором значения информационных битов присваиваются 2nN/2 N-мерным векторам, имеющим минимальную энергию среди всех векторов пространства. Соответствующее обратное отображение производится приемником.
Рассмотрим пример отображения сигналов из двухмерного пространства в четырехмерное. Сначала имеется двухмерная M-арная совокупность сигналов, например, M-QAM с М=16. Здесь переданный символ, рассматриваемый как точка на плоскости, представляется n=4 бит (две квадратурные амплитуды, по два бита на амплитуду). Каждая передача символа состоит из передачи вектора, принадлежащего пространству из 16 возможных векторов. При четырехмерной передаче сигналов переданный символ (рассматриваемый как две точки, по одной на каждой из двух плоскостей) представляется 8 бит. Тогда, каждая (двухточечная) передача состоит из передачи вектора из пространства 16 х 16 = 256 векторов. Вообще, исходные биты данных группируются в блоки размером nN/2 бит. В данном примере четырехмерной передачи сигналов информационные биты группируются в блоки из 8 бит (2 плоскости п= 4 бит/плоскость). Такую 8-битовую передачу можно рассматривать как отображение из пространства 2n двухмерных векторов в пространство 2nN/2 четырехмерных векторов. Для четырехмерной системы, изображенной на рис. 9.19, данный источник производит один из 256 четырехмерных векторов mi (i= 1, 2, ..., 256) путем группирования двух 16-ричных символов (двух плоскостей) за раз и передает сигналы аj х(t), bj s(t), Cj s(t), dj s(t), где j = 1, ..., 4 представляет одно 4-ричное значение амплитуды. Эти узкополосные или полосовые сигналы передаются по раздельным неинтерферирующим каналам. В каждом канале сигналы независимо искажаются AWGN, и в приемнике они демодулируются с помощью согласованных фильтров. Передавать УУ-мерный сигнал можно посредством следующих способов.
Рис. 9.19. Конфигурация четырехмерной системы
1. С помощью четырех отдельных проводников, представляющих четыре узкополосных канала.
2. С использованием двух полосовых каналов, в каждом из которых раздельно модулированы синфазный и квадратурный компоненты.
3. Путем уплотнения с частотным и временным разделением для создания нескольких узкополосных или полосовых каналов в общей линии передачи.
4. При помощи ортогональной поляризации электромагнитных волн.
Таким образом, если пример на рис. 9.19 представляет радиосистему, можно следовать методу 2 и квадратурным образом модулировать сигналы ajs(t) и bjs(t) на одной несущей, а сигналы сjs(t) и djs(t) — на другой. Таким образом, в течение каждого интервала, длительностью 2Т секунд, можно передать четыре 4-ричных числа, представляющих 8 бит или вектор из 256-ричного пространства. Дополнительной эффективности выбора формы можно достичь аналогичным образом при использовании 16-ричных символов на плоскости с шестимерной передачей сигналов, если передача 16-ричного символа со всех трех плоскостей происходит каждые ЗТ секунд. Таким образом, каждый шестимерный сигнал содержит три 16-ричные величины, представляющие 12 бит или точку в пространстве 4096 сигналов. Важно подчеркнуть, что это — не просто эффективная группировка 16-ричных символов. Эффективность проявляется вследствие того, что обнаружение, выполняемое в большем пространстве сигналов, может дать нужную достоверность передачи при более низком значении Eb|N0. При передаче 16-ричных символов с помощью шестимерной передачи сигналов каждые 3T секунд обнаруживается последовательность из 12 бит (не 4 бит за Т секунд!). Обнаружение в пространстве большей размерности требует более сложной реализации. В основном, уменьшение сложности отображения происходит за счет снижения эффективности использования энергии.
9.9.4. Решетчатые структуры высокой плотности
В разделе 9.9.3 описывался выбор плотно упакованного подмножества точек из регулярного массива или решетки. Здесь будет рассмотрено дополнительное улучшение, поэтому мы начнем с наиболее плотной решетки пространства. В двухмерном пространстве сигналов наиболее плотной решеткой является гексагональная (проверьте, пытаясь наиболее плотно уложить монеты на столе!). Результатом замены прямоугольной решетки, подобной показанным на рис. 9.18, на гексагональную является экономия средней энергии до 0,6 дБ. На рис. 9.20 показано несколько примеров гексагональной упаковки. Представленная на рис. 9.20, а совокупность была открыта Фоскини (Foschini) и др. [26] и является самым лучшим методом из известных 16-ричных размещений. Расположение точек, показанное на рис. 9.20, б, было использовано в модеме Codex SP14.4.
Рис. 9.20. Пример М-арных совокупностей с гексагональным расположением элементов
Гексагональная решетка является оптимальной для двух измерений. В пространствах более высоких размерностей имеются другие решетчатые структуры, которые дают наиболее плотную упаковку. В табл. 9.7 приводится улучшение (в децибелах), возникающее при переходе от применения прямоугольных решеток к лучшим из известных на настоящее время способам плотной упаковки.
Таблица 9.7. Экономия энергии при плотной решетке по сравнению с прямоугольной
|
Размерность (N) |
Эффективность плотной решетки (дБ) |
|
2 |
0,62 |
|
4 |
1,51 |
|
8 |
3,01 |
|
16 |
4,52 |
|
24 |
6,02 |
|
32 |
6,02 |
|
48 |
7,78 |
|
64 |
8,09 |
Источник: G. D. Forney, Jr., et. al. "Efficient Modulation for Bandlimited Channels," IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. SAC2, n. 5, September, 1984, pp. 632-647.
9.9.5. Комбинированная эффективность: отображение на N-мерную сферу и плотная решетка
Преимущества границы Кампопьяно-Глейзера в N измерениях можно объединить с преимуществами наиболее плотной решетки в N-мерном пространстве. Суммарный выигрыш — это комбинация выигрыша N -мерной сферы по сравнению с N -мерным кубом (табл. 9.6) и преимущества плотной упаковки решетки (табл. 9.7). Экономия энергии, получаемая в результате такого объединения, представлена в табл. 9.8.
Таблица 9.8. Суммарная экономия энергии при использовании максимально плотной решетки и замене N -мерного куба N-мерной сферой
|
Размерность (N) |
Экономия энергии (дБ) |
|
2 |
0,82 |
|
4 |
1,96 |
|
8 |
3,74 |
|
16 |
5,50 |
|
24 |
7,12 |
|
32 |
7,19 |
|
48 |
9,04 |
|
64 |
9,40 |
Источник: G. D. Forney, Jr., et. al. "Efficient Modulation for Bandlimited Channels," IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. SAC2, n. 5, September, 1984, pp. 632-647.
9.10. Решетчатое кодирование
При использовании в системах связи реального времени кодов коррекции ошибок, описанных в главах 6—8, достоверность передачи улучшается за счет расширения полосы частот. Как для блочных, так и для сверточных кодов преобразование каждого n-кортежа входных данных в более длинный n-кортеж кодового слова требует дополнительного расширения полосы пропускания. Вследствие этого в прошлом кодирование не было особенно популярно в узкополосных каналах (таких, как телефонные), в которых расширять полосу частот сигнала было нецелесообразно. Однако приблизительно с 1984 года возникает активный интерес к схемам, где модуляция объединяется с кодированием; такие схемы называются решетчатым кодированием (trellis-coded modulation — ТСМ). Эти схемы позволяют повысить достоверность передачи, не расширяя при этом полосу частот сигнала. Схемы ТСМ используют избыточную небинарную модуляцию плюс конечный автомат (кодер). Что такое "конечный автомат" (finite-state machine) и какой смысл имеют его состояния? Конечный автомат (или автомат с конечным числом состояний) — это общее название устройств, обладающих памятью о прошлых сигналах; прилагательное конечный подчеркивает то, что существует ограниченное число однозначных состояний, которые может принимать система. Какой смысл заложен в понятие состояние конечного автомата? В наиболее общем смысле, состояние состоит из минимального объема информации, который, совместно с текущими данными на входе, может предсказывать данные на выходе системы. Состояние несет информацию о прошлых событиях и ограниченном наборе возможных данных на выходе в будущем. Будущие состояния ограничиваются прошлыми состояниями.
Кодер ТСМ с конечным числом состояний для каждого символьного интервала из набора сигналов выбирает один, формируя, таким образом, передаваемую последовательность кодированных сигналов. Полученный зашумленный сигнал обнаруживается и декодируется детектором/декодером, работающим согласно принципу максимального правдоподобия на основе мягкой схемы принятия решений. В стандартных системах, включающих модуляцию и кодирование, обычно принято отдельно описывать и реализовать детектор и декодер. Однако в системах ТСМ эти функции должны рассматриваться совместно. Можно добиться эффективного кодирования, не жертвуя скоростью передачи данных или не увеличивая ни ширину полосы частот, ни мощность [6, 31]. Вначале может показаться, что это утверждение нарушает некоторые основные принципы компромисса между мощностью или шириной полосы частот и вероятностью ошибки. Отметим, что компромисс здесь все же присутствует, поскольку ТСМ позволяет достичь эффективности кодирования за счет усложнения декодера.
При решетчатом кодировании набор сигналов многоуровневой/фазовой модуляции комбинируется со схемой решетчатого кодирования. Термин "схема решетчатого кодирования" применим к любой кодовой системе, которая обладает памятью (конечный автомат), такой например, как сверточный код. Сигналы многоуровневой/фазовой модуляции имеют совокупности, содержащие множественные амплитуды, множественные фазы или комбинации этих амплитуд и фаз. Иными словами, набор сигналов ТСМ наилучшим образом представляется любым набором сигналов (более чем двоичным), векторное представление которого может быть отображено на плоскости, подобной показанной на рис. 9.16, а для сигналов QAM. Схема решетчатого кодирования — это схема, которую можно охарактеризовать (решетчатой) диаграммой состояния, подобной решетчатым диаграммам, описывающим сверточные коды. Отметим, что хотя сверточные коды, представленные в главе 7, линейны, в общем случае решетчатые коды линейными быть не обязаны. Эффективность кодирования можно получить с помощью блочных или решетчатых кодов, однако здесь будут рассматриваться только решетчатые коды, поскольку наличие алгоритма декодирования Витерби делает решетчатое кодирование простым и эффективным. Унгербоек (Ungerboeck) показал, что при наличии шума AWGN схема ТСМ довольно просто может дать суммарную эффективность кодирования порядка 3 дБ по сравнению с некодированной системой, а при увеличении сложности можно получить эффективность порядка 6 дБ.
9.10.1. Истоки решетчатого кодирования
При ТСМ канальное кодирование и модуляция осуществляются вместе; невозможно просто определить, где начинается одно и заканчивается другое. Что же могло натолкнуть на разработку ТСМ? Возможно, все началось с мысли о том, что "не все подмножества сигналов (в совокупности) имеют равные пространственные свойства". Другими словами, для неортогонального множества сигналов, такого как MPSK, антиподные сигналы будут иметь наилучшие пространственные характеристики с точки зрения различения сигналов, в то время как ближайшие соседние сигналы будут иметь относительно плохие пространственные характеристики. Возможно, изначально идея кодовой модуляции возникла именно при попытке использовать эти различия.
Понять общие задачи ТСМ может помочь простая аналогия. Пусть в передатчике есть всезнающий волшебник. Как только биты сообщения попадают в систему, волшебник обнаруживает, что некоторые биты наиболее уязвимы к искажению, вызываемому каналом; следовательно, им присваиваются модулирующие сигналы, имеющие наилучшие пространственные характеристики. Подобным образом другие биты признаются весьма устойчивыми, поэтому они передаются с использованием сигналов с худшими пространственными характеристиками. Модуляция и кодирование осуществляются одновременно. Волшебник присваивает сигналы битам (модуляция), однако присвоение выполняется согласно критерию лучших или худших пространственных характеристик (канальное кодирование).
9.10.1.1. Увеличение избыточности сигнала
Схему ТСМ можно реализовать с помощью сверточного кодера, где k текущих битов и К-1 предыдущих битов используются для получения n=k+p кодовых битов, где К — длина кодового ограничения кодера (см. главу 7), а р — число битов четности. Отметим, что кодирование увеличивает размер множества сигнала с 2k до 2k+p. Унгербоек [31] исследовал повышение пропускной способности, достигаемое благодаря увеличению набора сигналов, и пришел к заключению, что максимальную эффективность кодирования при обычной многоуровневой модуляции без кодирования можно реализовать, удваивая передаваемый некодированный набор (р=1). Этого можно достичь путем кодирования со степенью kl(k+1) с последующим отображением групп из (k+ 1) бит в набор из 2k+1 сигналов. На рис. 9.21, а показан набор сигналов, модулированных 4-РАМ, до и после кодирования кодом со степенью кодирования 2/3 (после кодирования получаются 8-ричные сигналы РАМ). Аналогично на рис. 9.21, б показан набор сигналов с 4-ричной модуляцией PSK (QPSK) до и после перекодирования кодом со степенью кодирования 2/3 в 8-ричные сигналы PSK. Подобным образом на рис. 9.21, в показаны некодированные 16-ричные сигналы QAM до и после перекодирования кодом со степенью кодирования 4/5 в 32-ричные сигналы QAM. В каждом из случаев, показанных на рис. 9.21, система сконфигурирована таким образом, чтобы до и после кодирования средняя мощность сигнала была одинаковой. Кроме того, для обеспечения необходимой избыточности при кодировании размер набора сигналов увеличивается с M = 2k до M'=2k+1. Таким образом, М'=2М; однако увеличение размера алфавита не приводит к увеличению требуемой ширины полосы частот. Напомним из раздела 9.7.2, что ширина полосы пропускания при неортогональной передаче сигнала не зависит от плотности точек сигналов в совокупности; она зависит только от скорости передачи сигнала. Расширенный набор сигнала приводит к уменьшению расстояния между соседними точками символов (для наборов сигналов с постоянной средней мощностью), как видно из рис. 9.21. В некодированной системе такое уменьшение расстояния снижает достоверность передачи. Однако вследствие избыточности, вносимой кодом, это уменьшение расстояния уже не сильно влияет на вероятность ошибки. Напротив, достоверность определяет просвет — минимальное расстояние между членами набора разрешенных кодовых последовательностей. Просвет описывает "наиболее простой способ совершения ошибки декодером (см. раздел 9.10.3.1). Независимо от используемого кода, пространство сигналов — это не самое удобное место для изучения улучшения достоверности, которое можно получить за счет кодирования. Это объясняется тем, что код определяется правилами и ограничениями, которые не видны в пространстве сигналов. Когда два сигнала находятся в непосредственной близости друг от друга в сигнальном пространстве кодовой системы, их близость может и не иметь существенного значения (с точки зрения вероятности ошибки), поскольку правила кода могут не допускать перехода между двумя такими якобы уязвимыми точками сигналов. Что же нужно для определения допустимых кодовых последовательностей и пространственных характеристик? Решетчатые диаграммы! При их использовании задача ТСМ — присвоение сигналов переходам в решетке, чтобы увеличить просвет между теми сигналами, которые вероятнее всего могут быть спутаны.
Рис. 9.21. Увеличение размера множества сигнала для решетчатого кодирования.
9.10.2. Кодирование ТСМ
9.10.2.1. Разбиение Унгербоека
Пусть приемник использует мягкую схему принятия решений, так что подходящей будет евклидова метрика расстояния. Для максимизации просвета (измеряемого по Евклиду) Унгербоек [31] предложил отображение кода в сигнал, следующее из последовательнЪго разбиения совокупности модулирующих сигналов на подмножества с возрастающими минимальными расстояниями d0< d1< d2... между элементами подмножеств. Эта идея продемонстрирована на рис. 9.22 для сигнального множества 8-PSK. На рис. 9.22 исходная совокупность сигнала обозначена через А0, а отдельные сигналы последовательно пронумерованы от 0 до 7. Если средняя мощность сигнала (квадрат амплитуды) выбрана равной единице, то расстояние d0 между любыми двумя соседними сигналами, очевидно, равно 2sin (/8)=0,765. На первом уровне разбиения получаются подмножества В0и В1; где расстояние между соседними сигналами равно 
. На следующем уровне образуются подмножества с С0по С3, где расстояние между соседними сигналами равно уже d2=2. Структуру простых кодов (до восьми состояний) можно определить эвристически. В первую очередь выбирается подходящая решетчатая структура, что можно сделать, не задумываясь о конкретном кодере. ТСМ относится к классу методов кодирования формой сигнала, поскольку для описания этой концепции требуется только подходящая решетка и набор модулирующих сигналов; даже не нужно вводить понятие битов. Сигналы из расширенного множества М'=2k+1 сигналов присваиваются переходам в. решетке таким образом, чтобы максимизировать просвет (напомним, используется евклидово расстояние). При рассмотрении сверточных кодов в главе 7, переходы в решетке кодера (отражающие поведение цепи кодирования) помечались кодовыми битами. Для схемы ТСМ переходы в решетке помечаются модулирующими сигналами. Некодированный набор сигналов 4-PSK будет служить эталоном для кодированного набора 8-PSK. Этот эталонный набор, как показано на рис. 9.23, имеет тривиальную решетчатую диаграмму с одним состоянием и четырьмя параллельными переходами. Эта решетка тривиальна, поскольку решетка с одним состоянием означает, что в системе отсутствует память. Нет никаких ограничений или препятствий, чтобы в течение любого промежутка времени могли быть переданы сигналы 4-PSK; поэтому для такого некодированного случая оптимальный детектор просто независимо принимает ближайшие решения для каждого полученного зашумленного сигнала 4-PSK.
9.10.2.2. Отображение сигналов на переходы решетки
Унгербоек разработал эвристический набор правил [31] присвоения сигналам ветвей переходов решетки для получения эффективности кодирования, который позволяет сделать адекватный выбор состояний решетки. Правила построения решетки и разбиения множества сигнала (для модуляции 8-PSK) можно кратко изложить следующим образом.
1. Если за один интервал модуляции кодируется k бит, решетка должна разрешать для каждого состояния 2k возможных перехода в последующее состояние.
2. Между парой состояний может существовать более одного перехода.
3. Все сигналы должны появляться с равной частотой и обладать высокой регулярностью и симметрией.
4. Переходы с одинаковым исходным состоянием присваиваются сигналам либо из подмножества В0 , либо В1— их смешение недопустимо.
5. Переходы с одинаковым конечным состоянием присваиваются сигналам либо из подмножества В0 , либо В1 — их смешение недопустимо.
6. Параллельные переходы присваиваются сигналам либо из подмножества С0 , либо С1 либо С2, либо С3 — их смешение недопустимо.
Рис.9.22. Разбиение Унгербоека набора сигналов 8-PSK
Рис. 9.23. Некодированное множество сигналов 4-PSK и его решетчатая диаграмма с одним состоянием.
Правила гарантируют, что код, построенный таким образом, будет иметь регулярную структуру и просвет, всегда превышающий минимальное расстояние между точками сигнала исходной некодированной модуляции. На рис. 9.24 показано возможное отображение кода в сигнал с использованием решетки с четырьмя состояниями с параллельными путями. Присвоение сигналу кода производится посредством изучения разбитого пространства сигналов (рис. 9.22), решетчатой диаграммы, показанной на рис. 9.24, и правил, перечисленных выше. На переходах решетки написаны номера сигналов, присвоенных этим переходам согласно правилам разбиения. Отметим, что для модуляции 8-PSK присвоение сигнала осуществлялось согласно правилу 1: имеется k+1=3 кодовых бита, следовательно k=2 информационных бита, а на входе и выходе каждого состояния имеется 22 = 4 перехода. Присвоение сигналов осуществлялось согласно правилу 6, поскольку каждой паре параллельных переходов был присвоен сигнал одного из наборов С0, С1, С2 или С3. Кроме того, присвоение согласуется с правилами 4 и 5, поскольку четырем ветвям, выходящим в состояние (или покидающим состояние), были присвоены сигналы из набора В0или B1. На рис. 9.24 состояния решетки различаются согласно типам сигналов, которые могут появиться на переходах, покидающих это состояние. Таким образом, состояния можно обозначить с помощью подмножеств сигнала как состояние C0C1 или С2С3 либо (другой возможный способ обозначения с помощью номеров сигнала) как состояние 0426, 1537 и т.д. На рис. 9.24 показаны обе системы обозначений. Из этого присвоения модулирующих сигналов переходам в решетке согласно правилам разбиения следует спецификация решетчатого кодера. Отметим, что окончательное присвоение битов кода сигналу (отображение кодового слова в переход) можно теперь выполнить произвольно. Хотя может показаться несколько странным, что теперь можно безнаказанно присваивать биты переходам в решетке и сигналам, стоит напомнить, что схемы кодера еще не существует. Следовательно, еще нет битов и переходы в решетке могут иметь только тот смысл, который для них выберем мы. Каковы же последствия такого произвольного присвоения? Выбор различных отображений кодовых слов в переходы отразится на структуре кодера. Следовательно, если повезет, будет реализована схема кодера, выходные биты которого будут соответствовать способу, которым осуществлялось их присваивание переходам между состояниями. В противном случае такое конструктивное решение реализовать будет сложно. При некотором выборе способа присвоения кодовых слов конструкция кодера будет проще, в то время как другой выбор может обусловить громоздкость его конструкции.
Рис. 9.24. Решетка с четырьмя состояниями с параллельными путями.
Решетка, аналогичная показанной на рис. 9.24, вскоре будет исследована в контексте обнаружения и декодирования, чтобы проверить, обеспечивается ли эффективность кодирования при учете в процессе кодирования правил Унгербоека.
9.10.3. Декодирование ТСМ
9.10.3.1. Ошибочное событие и просвет
Задача сверточного декодера заключается в определении пути, пройденного сообщением в кодирующей решетке. Если все входящие последовательности сообщений равновероятны, декодером с минимальной вероятностью появления ошибки будет декодер, сравнивающий условные вероятности P(Z|U(m)) (где Z — полученная последовательность сигналов, a U(m) — одна из возможных переданных последовательностей сигналов) и выбирающий максимальную. Этот критерий принятия решений, известный как критерий максимального правдоподобия, описан в разделе 7.3.1. Нахождение последовательности U(m), которая максимизирует P(Z|U(m)), эквивалентно нахождению последовательности U(m), которая наиболее похожа на Z. Поскольку декодер, работающий по принципу максимального правдоподобия, выберет такой путь по решетке, которому будет соответствовать последовательность U(m’), находящаяся на минимальном расстоянии от полученной последовательности Z, задача определения максимального правдоподобия будет идентична задаче нахождения самого короткого расстояния по решетчатой диаграмме.
Поскольку сверточный код — это групповой (или линейный) код, набор расстояний, которые нужно проверить, не зависит от того, какая последовательность выбрана в качестве проверочной. Вследствие этого, не теряя общности, в качестве проверочной можно выбрать последовательность, целиком состоящую из нулей, показанную на рис. 9.25 пунктирной линией. В предположении, что была передана нулевая последовательность, ошибочное событие определяется как отклонение от нулевого пути с последующим возвратом на этот путь. Ошибочные события начинаются и заканчиваются состоянием a и не возвращаются в это состояние нигде в промежуточной области. На рис. 9.25 показано ошибочное сообщение в решетчатом коде, т.е. на рисунке изображена переданная нулевая последовательность, помеченная как U=...,U1 ,U2, U3,..., и альтернативная последовательность, помеченная как V=..., V1, V2, V3,... . Видно, что альтернативная последовательность сначала отклоняется, а затем снова сливается с переданной последовательностью. Если предположить, что осуществляется мягкое декодирование, сообщение принимается ошибочно тогда, когда полученные символы ближе (евклидово расстояние) к некоторой возможной последовательности V, чем к реальной переданной последовательности U. Из этого следует, что коды для сигналов многоуровневой/фазовой модуляции должны строиться таким образом, чтобы достигать максимального евклидова просвета; чем больше просвет, тем меньше вероятность ошибки. Следовательно, присвоение сигналов переходам решетки в кодере таким образом, чтобы максимизировать евклидов просвет (см. раздел 9.10.2), — это ключ к оптимизации решетчатых кодов.
9.10.3.2. Эффективность кодирования
Рассмотрим мягкую схему принятия решений, декодирование по принципу максимального правдоподобия, единичную среднюю мощность сигнала и гауссово распределение шума с дисперсией 
2 на размерность. В этом случае нижний предел вероятности ошибочного события можно выразить через просвет df [32].
(9.55)
где Q(•) — гауссов интеграл ошибок, определенный в формуле (3.43). Использование термина "ошибочное событие" (error event) вместо "битовая ошибка" (bit-error) объясняется тем, что ошибка может распространяться на более чем один бит. При большом значении отношения сигнал/шум (signal-to-noise ratio — SNR) предел в уравнении (9.55) асимптотически точен. Асимптотическая эффективность кодирования G в децибелах относительно некоторой некодированной эталонной системы с аналогичными средней мощностью сигнала и дисперсией шума выражается как отношение расстояний или квадратов расстояний и записывается в следующем виде.
Рис. 9.25. Пример ошибочного события
(9.56)
где df и (dэт — евклидов просвет кодированной системы и некодированной эталонной системы. Отметим, что для больших значений SNR и данной вероятности появления ошибки формула (9.56) дает те же результаты, что и выражение для эффективности кодирования (6.19), повторно приведенное ниже.
(9.57)
Здесь (Eb/N0)u и (Eb/N0)с являются требуемыми (Eb/N0) (в децибелах) для некодированной и кодированной систем. Следует помнить, что эффективность кодирования, выраженная в виде (9.56), дает ту же информацию (при больших значениях SNR), что и более привычное выражение для повышения достоверности передачи (9.57). По сути, формула (9.56) резюмирует основную задачу кода ТСМ. Эта задача — добиться просвета, превышающего минимальное расстояние между некодированными модулирующими сигналами (при той же скорости передачи информации, ширине полосы частот и мощности).
9.10.3.3. Эффективность кодирования для схемы 8-PSK при использовании решетки с четырьмя состояниями
Вычислим теперь эффективность кодирования для решетки с четырьмя состояниями в схеме 8-PSK, разработанной согласно правилам кодирования из раздела 9.10.2.2. Решетка на рис. 9.24 теперь будет исследоваться в контексте процедуры декодирования. Сначала в качестве настроечной выбирается нулевая последовательность. Иными словами, предполагается, что передатчик отправил последовательность, содержащую только копии сигнала номер 0. Чтобы продемонстрировать преимущества такой системы ТСМ (используя алгоритм декодирования Витерби), нужно показать, что самый простой способ совершения ошибки в кодированной системе сложнее самого простого способа совершения ошибки в некодированной системе. Необходимо изучить всевозможные отклонения от верного пути с последующим слиянием с верным путем (нулевой последовательностью) и найти тот, который имеет минимальное евклидово расстояние до правильного пути. Рассмотрим сначала возможный путь ошибочного события (рис. 9.24), который затемнен и помечен номерами сигнала 2, 1, 2. Квадрат расстояния до нулевого пути вычисляется как сумма квадратов отдельных расстояний между сигналами 2 и 0; 1 и 0; и 2 и 0. Отдельные расстояния берутся из диаграммы разбиения на рис. 9.22, в результате чего получаем следующее.
или
(9.58)
В уравнении (9.58) евклидово расстояние d получается точно так же, как и результирующий вектор в евклидовом пространстве, т.е. как квадратный корень из суммы квадратов отдельных компонентов (расстояний). На рис. 9.24 есть путь с отклонением и повторным слиянием, который имеет евклидово расстояние, меньшее d = 2,2. Это затененное ошибочное событие (помеченное как сигнал 4) происходит, если (при использовании декодирования Витерби) вместо правильного пути, связанного с сигналом 0, выживает параллельный. Может возникнуть вопрос: если декодер выбирает параллельный путь (т.е. последующее состояние одинаково в обоих случаях), будет ли это в действительности серьезной ошибкой. Если параллельный путь — это неправильно выбранный путь (это все-таки путь с отклонением и повторным слиянием, даже если он занимает только один промежуток времени), то позже, когда будут введены схемы кодеров и биты, выживший сигнал 4 даст в результате неверное значение бита. Расстояние от пути сигнала 4 до пути сигнала 0 равно, как видно из рис. 9.22, d=2. Это расстояние меньше, чем расстояние для любого другого ошибочного события (можете проверить!); поэтому евклидов просвет для этой кодированной системы равен df=2. Минимальное евклидово расстояние для набора некодированных эталонных сигналов на рис. 9.23 равно 
. Теперь для вычисления асимптотической эффективности кодирования следует воспользоваться уравнением (9.56), что даст следующее.
(9.59)
9.10.4. Другие решетчатые коды
9.10.4.1. Параллельные пути
Если число состояний меньше размера набора кодированных сигналов M' решетчатая диаграмма требует параллельных путей. Следовательно, решетка с четырьмя состояниями для модуляции 8-PSK требует наличия параллельных путей. Чтобы лучше понять причины этого, обратимся еще раз к первому правилу Унгербоека: если за один интервал модуляции кодируется k бит, решетка должна разрешать для каждого состояния 2k возможных перехода в последующее состояние. Для рассматриваемого случая 8-PSK каждый сигнал представляет k+1=3 кодовых бит или k=2 бит данных. Поэтому из первого правила следует наличие 2k = 22 = 4 переходов в каждое последующее состояние. На первый взгляд решетка с четырьмя состояниями без параллельных путей может удовлетворить такому условию, если реализовать полностью замкнутую решетку (каждое состояние связано со всеми последующими состояниями). Однако попробуйте нарисовать полностью замкнутую решетку с четырьмя состояниями без параллельных путей, удовлетворяя при этом правилам 4 и 5 для системы 8-PSK. Это невозможно! Нарушение правил приведет к результатам, близким к оптимальным. В следующем разделе показана решетка с восемью состояниями для схемы 8-PSK (количество состояний уже не меньше M'), где могут быть соблюдены все правила разбиения без требования наличия параллельных путей.
9.10.4.2. Решетка с восемью состояниями
После экспериментирования с использованием различных структур решетки и присвоением канальных сигналов, в качестве оптимального для восьми состояний был выбран код 8-PSK, показанный на рис. 9.26 [31]. Путь ошибочного события с минимальным расстоянием до нулевого пути помечен номерами сигналов 6, 7, 6. Поскольку здесь отсутствуют параллельные пути, ограничивающие евклидов просвет, квадрат этого просвета равен 
, где расстояния d0 и d1, получены из рис. 9.22. Асимптотическая эффективность кодирования системы ТСМ с восемью состояниями относительно эталонной системы 4-PSK равна следующему.
(9.60)
Подобным образом можно показать, что решетчатая структура с шестнадцатью состояниями для кодированной совокупности 8-PSK дает эффективность кодирования 4,1 дБ, по сравнению с некодированной схемой 4-PSK [31]. Если состояний меньше восьми, дополнительная эффективность кодирования может быть получена путем введения асимметрии в совокупность модулирующих сигналов [33].
Рис. 9.26. Решетчатая диаграмма с восьмью состояниями для кода 8-PSK
9.10.4.3. Решетчатое кодирование для схемы QAM
Метод разбиения набора сигналов можно применять и к другим типам модуляции. Рассмотрим использование кодированной схемы 16-QAM с тремя информационными битами на интервал модуляции, где в качестве эталонной системы выбрана некодированная 8-PSK. Для нормированное пространства 16-QAM выберем среднее значение квадрата амплитуды набора сигналов, равное единице, что дает rf0 = 2/VlO. На рис. 9.27 показано разбиение сигналов 16-QAM на подмножества с возрастающими расстояниями между элементами (d0 < d{ < d-i <'d3). Кодовая система 16-QAM с восемью состояниями, полученная путем разбиения набора согласно описанной ранее процедуре, показана на рис. 9.28 [31]. Путь ошибочной комбинации с минимальным расстоянием обозначен как D6, D5, D2. Хотя при использовании схемы ТСМ имеется эффективность кодирования, при декодировании расширенного пространства сигнала существует потенциальная неопределенность фазы, которая может серьезно ухудшить достоверность передачи. Вей (Wei) [34] применил концепцию дифференциального кодирования к методам ТСМ; полученные при этом коды не зависят от поворотов элементарных сигналов на углы 90°, 180° и 270°.
Рис. 9.27. Разбиение Унгербоека сигналов 16-QAM
Рис. 9.28. Решетчатая диаграмма с восемью состояниями для передачи сигнала 16-QAM
Вкратце можно сказать, что решетчатое кодирование в узкополосных каналах включает больший алфавит сигналов (т.е. M-арные схемы РАМ, PSK или QAM) для компенсации избыточности, которая вводится при кодировании; таким образом, ширина полосы частот канала не возрастает. Даже если увеличение размера набора сигналов уменьшает минимальное расстояние между сигналами, евклидов просвет между разрешенными кодовыми последовательностями превышает величину, необходимую для компенсации этого уменьшения. В результате полная эффективность кодирования равна от 3 до 6 дБ без какого-либо расширения полосы частот [6, 31]. В следующем разделе эти идеи будут дополнительно проиллюстрированы на примере.
9.10.5. Пример решетчатого кодирования
В предыдущем разделе обсуждалось отображение сигналов в переходы решетки безотносительно к конечному отображению канальных символов (кодовых битов или кодовых слов) в переходы решетки. В этом разделе пример решетчатого кодирования начнется с рассмотрения точного определения структуры кодера. Структура кодера автоматически определяет решетчатую диаграмму и присвоение кодовых слов переходам решетки. Следовательно, в этом примере, если сигналы присвоены переходам решетки (а значит, подразумевающимся кодовым словам), уже нет возможности произвольно присваивать кодовые слова сигналам, как это делалось ранее при отсутствии схемы кодера.
Рассмотрим кодер, использующий сверточный код со степенью кодирования 2/3 для передачи двух бит информации за один интервал модуляции. Пример подобного кодера показан на рис. 9.29. Степень кодирования 2/3 достигается путем передачи без изменения одного бита из каждой пары битов исходной последовательности и кодирования второго бита двумя кодовыми битами (выполняется кодером со степенью кодирования 1/2 и длиной кодового ограничения К=3). Как показано на рисунке, биты из входящей последовательности попадают в сдвиговый регистр только через один (m2,m4,...). Может возникнуть вопрос: насколько может быть хорошей такая система, если преимущества, определяемые избыточностью, получают только 50% бит. Напомним пример с волшебником, который определял, что некоторые биты довольно уязвимы и поэтому они присваивались модулирующим сигналам с наилучшими пространственными характеристиками, в то время как другие считались устойчивыми и присваивались сигналам с худшими пространственными характеристиками. Модуляция и кодирование происходят одновременно; якобы "некодированные" не будут забыты, они выиграют от присвоения наилучших сигналов. Следует подчеркнуть, что кодирование и декодирование в схеме ТСМ происходит преимущественно на сигнальном уровне (в нашем первом описании ТСМ о каком-либо кодере не упоминалось), тогда как в традиционном коде с исправлением ошибок кодирование и декодирование происходит только на битовом уровне.
Решетчатая диаграмма на рис. 9.30 описывает схему кодера с рис. 9.29. Как и в главе 7, названия состояний соответствуют содержимому крайних правых К-1=2 разрядов регистра сдвига. Параллельные переходы на решетке (рис. 9.30) обусловлены некодированными битами; некодированный бит представляется крайним левым битом каждого перехода решетки. В каждом состоянии начинается четыре перехода. Для каждого состояния имеется два верхних перехода — от пары входных информационных битов (m1m2 равны 00 и 10); два нижних перехода проистекают от пары 01 и 11. На рис. 9.30 показана решетчатая структура, подобная показанной на рис. 9.24, за исключением того, что каждый переход на рис. 9.30 обозначен назначенным ему кодовым словом. Стоит повторить, что схема кодера определяет, какие кодовые слова появляются на переходах решетки; разработчик системы только присваивает сигналы переходам. Следовательно, когда уже имеется схема (поведение которой описывается решеткой), любой сигнал, присвоенный переходу в решетке, автоматически становится носителем кодового слова, которое соответствует этому переходу.
Рис. 9.29. Сверточный кодер со степенью кодирования 2/3.
Рис. 9.30. решетчатая диаграмма для кода со степенью кодирования 2/3.
Пусть кодовая модуляция — это 8-ричная амплитудно-импульсная модуляция (8-ary pulse amplitude modulation — 8-РАМ), как показано на рис. 9.31. На рис. 9.31, а показан кодированный набор сигналов, где для каждого сигнала евклидово расстояние до центра пространства сигналов показано в некоторых произвольных единицах, причем сигналы расположены на равных расстояниях один от другого и симметрично относительно нуля. На рис. 9.31, б показан эталонный набор 4-ричной схемы РАМ, в котором точки сигнала и расстояния помечены аналогичным образом. Важным этапом в разработке кодера является присвоение 8-ричных сигналов РАМ переходам решетки согласно правилам разбиения Унгербоека (рис. 9.32). Изучение этих правил может привести к такому же присвоению номеров сигналов переходам решетки, как показано на рис. 9.24. Подобное присвоение сигналов, а также кодовые слова, присвоенные схемой кодера, показаны на рис. 9.30. Наиболее несопоставимая пара сигналов (с расстоянием d2=8) была присвоена наиболее уязвимым (в плане появления ошибок) параллельным переходам. Кроме того, как следует из правил Унгербоека, сигналы со следующим наибольшим расстоянием (d1=4) были присвоены переходам, выходящим или входящим в одно и то же состояние. Для удобства на рис. 9.31, а показано также присвоение кодовых слов сигналам (результат отображения сигналов в переходы решетки).
Рис. 9.31. Множество сигналов: а) кодированная 8-ричная PAM, б) некодированная 4-ричная PAM.
Рис. 9.32. Разбиение Унгербоека сигналов 8-PAM
На рис. 9.24 путь ошибочного события, помеченный номерами сигналов 2, 1,2, — это путь с минимальным расстоянием для нашего примера модуляции 8-РАМ. Расстояние до нулевого пути вычисляется с использованием формулы (9.58). В этом примере, если взять отдельные расстояния с рис. 9.32, df вычисляется следующим образом.
или (9.61)
Можно легко убедиться, что для такого типа модуляции параллельный путь (с d=8) не будет ошибочным путем с минимальным расстоянием (как это было для 8-PSK). Далее для нахождения эталонного расстояния для 4-РАМ из рис. 9.31, б находим, что 
=2. Теперь для этого примера можем вычислить асимптотическую эффективность кодирования, сравнивая квадрат евклидова просвета кодированной системы с евклидовым просветом эталонной системы. Однако тут необходимо убедиться в том, что средняя мощность сигналов в каждом наборе одинакова. В предыдущем примере схемы 8-PSK выбор единичной окружности для кодированной и некодированной систем означал, что средняя мощность сигнала была одинакова в обоих наборах. Однако в этом примере ситуация несколько иная. Следовательно, для вычисления асимптотической эффективности кодирования требуется нормировать следствие неравенства средней мощности набора сигналов, т.е. видоизменить выражение (9.56) [35]. Соответственно записываем
(9.62)
где Sср, и 
— средняя мощность сигналов в кодированном и эталонном наборах. Расстояние соответствует амплитуде сигнала или напряжению; таким образом, квадрат расстояния соответствует квадрату напряжения, или мощности. Следовательно, средняя мощность сигнала из совокупности вычисляется как
(9.63)
где di — евклидово расстояние от центра пространства доi-гo сигнала, а М — количество кодовых символов в этом множестве. Для набора сигналов 8-РАМ, показанного на рис. 9.31, а, уравнение (9.63) дает значение 
=21. Для эталонного набора сигналов 4-РАМ, показанного на рис. 9.31, б, уравнение (9.63) дает значение S'cp = 5.
При использовании уравнения (9.62) асимптотическая эффективность кодирования для системы 8-РАМ будет иметь следующий вид.
(9.64)
Увеличивая количество состояний решетки (большая длина кодового ограничения) за счет возрастающей сложности декодирования, можно добиться большей эффективности кодирования. При кодировании сигналов 8-РАМ со степенью кодирования 2/3 решетка с 256 состояниями даст эффективность кодирования, на 5,83 дБ большую относительно набора сигналов 4-РАМ [9]. В этом случае вследствие использования решетчатого кодирования будет иметь место только незначительное увеличение сложности передатчика. Задача декодирования в приемнике становится более сложной, однако использование больших интегральных схем (large scale integrated — LSI, БИС) и сверхскоростных интегральных схем (high-speed integrated circuit — VHSIC, ССИС). делает такой метод кодирования чрезвычайно привлекательным для достижения значительной эффективности кодирования без расширения полосы пропускания.
9.10.6. Многомерное решетчатое кодирование
В разделе 9.9.3 подчеркивалось, что при данной скорости передачи данных передача сигналов в двухмерном пространстве может давать ту же достоверность, что и передача в одномерном пространстве РАМ, но при меньшей средней мощности. Это достигается путем выбора точек сигналов на двухмерной решетке из области с кольцевой, а не прямоугольной границей. Выполняя подобное при более высоких размерностях, можем видеть, что потенциальная экономия энергии приближается к 1,53 дБ при N, стремящемся к бесконечности. В реальных системах при такой многомерной передаче сигналов можно достичь экономии энергии (эффективность выбора формы) порядка 1 дБ относительно одномерной передачи [21, 36, 37]. В стандарте высокоскоростных модемов V.34 определена 16-мерная модуляция QAM; используемый метод отображения битов в точки пространства высшей размерности называется отображением оболочки (shell mapping); соответствующая эффективность выбора формы равна 0,8 дБ [16]. Используя четырех-, восьми- и шестнадцатимерную совокупности сигналов, можно получить некоторые преимущества по сравнению с обычными двухмерными схемами — меньшие двухмерные блоки совокупности, повышение устойчивости к неопределенности фазы, более выгодные компромиссы между эффективностью кодирования и сложностью реализации. Множество подобных систем представлено и охарактеризовано в работе [36]. (Читателям, заинтересованным в дальнейшем изучении кодовой модуляции, в частности решетчатого кодирования, рекомендуется обратиться к работам [38—46].)
Литература
1. IEEE Personal Communications. Special Issue on Software Radio, vol. 6, n. 4, August, 1999.
2. Nyquist H. Certain Topic on Telegraph Transmission Theory. Trans. AIEE, vol. 47, April, 19, pp. 617-644.
3. Shannon С. Е. A Mathematical Theory of Communication. BSTJ, vol. 27, 1948, pp. 379-423, 623-65
4. Shannon C. E. Communication in the Presence of Noise. Proc. IRE, vol. 37, n. 1, January, 19' pp. 10-21.
5. Bedrosian E. Spectrum Conservation by Efficient Channel Utilization. Rand Corp., Report WN-927 ARPA, Contract DAHC-15-73-C-0181, Santa Monica, California, October, 1975.
6. Ungerboeck G. Trellis-Coded Modulation with Redundant Signal Sets. Part I and Part II. IE1 Comunications Magazine, vol. 25, February, 1987, pp. 5—21.
7. Hodges M. R. L. The GSM Radio Interface. British Telecom Tech. J., vol. 8, n. 1, January, 19$ pp. 31-43.
8. Anderson J. B. and Sundberg C-E. W. Advances in Constant Envelope Coded Modulation. IE! Commun., Mag., vol. 29, n. 12, December, 1991, pp. 36-45.
9. Clark G. C. Jr. and Cain J. B. Error Correction Coding for Digital Communications. Plenum Pres New York, 1981.
10. Lindsey W. C. and Simon M. K. Telecommunication Systems Engineering. Prentice-Hall, Englwo< Cliffs, NJ, 1973.
11. Sklar B. Defining, Designing, and Evaluating Digital Communication Systems. IEEE Commun. Maj vol. 31, n. 11, November, 1993, pp. 92-101.
12. Korn I. Digital Communications. Van Nostrand Reinhold Co., New York, 1985.
13. Viterbi A. J. Principles of Coherent Communications. McGraw-Hill Book Co., New York, 1966.
14. Lin S. and Costello D. J., Jr. Error Control Coding: Fundamental and Applications. Prentice-Hal Englwood Cliffs, NJ, 1983.
15. Odenwalder J. P. Error Control Coding Handbook. Linkabit Corporation, San Diego, Californii July, 15, 1976.
16. Forney G. D., Jr., et. al. The V.34 High-Speed Modem Standard. IEEE Communications Magazin December, 1996.
17. Pasupathy S. Minimum Shift Keying: A Spectrally Efficient Modulation. IEEE Commun. Mag., Juh 1979, pp.14-22.
18. Gronemeyer S. A. and McBride A. L. MSK and Offset QPSK Modulation. IEEE Trans. Commun vol. COM-24, August, 1976, pp. 809-820.
19. Simon M. K. A Generalization of Minimum Shift Keying (MSK) Type Signaling Based Upon Inpi Data Symbol Pulse Shaping. IEEE Trans. Commun., vol. COM-24, August, 1976, pp. 845-857.
20. Leib H. and Pasupathy S. Inherent Error Control Properties of Minimum Shift Keying. IEE1 Communications Mag., vol. 31, n. 1, January, 1993, pp. 52-61.
22. Thomas С. M., Weidner M. Y. and Durrani S. H. Digital Amplitude-Phase Keying with M-ary Alphabets. IEEE Trans. Commun., vol. COM-22, n. 2, Febraary, 1974, pp. 168-180.
23. Lucky R. W. and Hancock J. C. On the Optimum Performance of N-ary Systems Having Two Degrees of Freedom. IRE Trans, on Commun. Sys., vol. CS-10, June, 1962, pp. 185-192.
24. Campopiano C. N. and Glazer B. G. A Coherent Digital Amplitude and Phase Modulation Scheme. IRE Trans, on Commun. Sys., vol. CS-10, June, 1962, pp. 90-95.
25. Cahn C. R. Combined Digital Phase and Amplitude Modulation Communication Systems. IRE Trans, on Commun. Tech., September, 1960.
26. Foschini G. J. and Gltlin R. D. Optimization of Two Dimensional Signal Constellations in the Presence of Gaussian Noise. IEEE Trans. Commun., vol. COM-22, n. 1, January, 1974, pp. 23-38.
27. Welti G. R. and Jhong S. L. Digital Transmission with Coherent Four-Dimensional Modulation. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-20, n. 4, July, 1974, pp. 497-502.
28. Gersho A. and Lawrence V. B. Multidimensional Signal Constellations for Voice-band Data Transmission. IEEE J. Selected Areas in Commun., vol. SAC-2, n. 5, September, 1984, pp. 687-702.
29. Zetterberg L. H. and Brandstrom H. Codes for Combined Phase and Amplitude Modulated Signals in a Four-Dimensional Space. IEEE Trans. Commun., vol. COM-25, n. 9, September, 1977, pp. 943-950.
30. Wilon S. G., Sleeper H. A. and Stinath N. K. Four-Dimensional Modulation and Coding: An Alternative to Frequency Reuse. IEEE 1984 Int'l. Commun. Conf., pp. 919-923.
31. Ungerboeck G. Channel Coding with Multilevel/Phase Signals. IEEE Trans. Inform. Theory, vol. IT-28, January, 1982, pp. 55-67.
32. Forney G. D. The Veterbi Algorithm. Proceedings of the IEEE, vol. 61, n. 3, March, 1978, pp. 268-278.
33. Divsalar D., Simon M. K. and Yuen J. H. Trellis Coding with Asymmetric Modulations. IEEE Trans. Commun., vol. COM-35, n. 2, February, 1987.
34. Wei J.-F. Rotationally Invariant Convolutional Channel Coding with Expanded Signal Space — Parts I and II. IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. SAC-2, no. 5, September, 1984, pp. 659-686.
35. Thapar H. K. Real-Time Application of Trellis Coding to Highspeed Voiceband Data Transmission. IEEE J. Sel. Areas Commun., vol. SAC-2, n. 5, September, 1984, pp. 648-658.
36. Wei J.-F. Trellis-Coded Modulation with Multidimensional Constellations. IEEE Trans. Inforantion Theory, vol. IT-33, n. 4, July, 1987, pp. 483-501.
37. Tretter S. A. An Eight-Dimensional 64-State Trellis code for Transmitting 4 Bits Per 2-D Symbol. IEEE J. on Sel. Areas of Commun., vol. 7, n. 9, December, 1989, pp. 1392-1395.
38. Kato S., Morikura M. and Kubota S. Implementation of Coded Modems. IEEE Communications Magazine, vol. 29, n. 12, December, 1991, pp. 88-97.
39. Special Issue on Coded Modulation. IEEE Communication Magazine, vol. 29, n. 12, December, 1991.
40. Biglieri E., et. al. Introduction to Trellis-Coded Modulation with Applicatin. MacMillan, New York, NY, 1991.
41. Edbauer F. Performance of Interleaved Trellis-Code Differential 8-PSK Modulation over Fading Channels. IEEE J. on Selected Areas in Commun., vol. 7, n. 9, December, 1989, pp. 1340-1346.
42. Rimoldi B. Design of Coded CPFSK Modulation Systems for Bandwidth and Energy Efficiency. IEEE Transactions on Communications, vol. 37, n. 9, September, 1989, pp. 897—905.
43. Viterbi A. J., et. al. A Pragmatic Approach to Trellis-Coded Modulation. IEEE Communications Magazine, vol. 27, n. 7, July, 1989, pp. 11-19.
44. Divsalar D. and Simon M. K. The Design of Trellis Coded MPSKfor Fading Channels: Performance Criteria. IEEE Trans, on Comm., vol. 36, n. 9, September, 1988, pp. 1004-1012.
45. Divsalar D. and Simon M. K. The Design of Trellis Coded MPSK for Fading Channels: Set Partitioning for Optimum Code Design. IEEE Trans, on Comm., vol. 36, n. 9, September, 1988, pp. 1013-1021.
46. Divsalar D. and Simon M. K. Multiple Trellis Coded Modulation (MTCM). IEEE Trans, on Commun., vol. 36, n. 4, April, 1988, pp. 410-419.
Задачи
9.1. Рассмотрим телефонный канал связи с полосой пропускания 3 кГц. Пусть данный канал можно смоделировать как канал AWGN.
а) Чему равна пропускная способность такой схемы, если SNR равно 30 дБ?
б) Какое минимальное значение SNR требуется для получения скорости передачи данных 4800 бит/с?
в) Повторить расчеты п. б для скорости передачи информации 19 200 бит/с.
9.2. Рассмотрим передачу по телефонному каналу потока данных со скоростью 100 Кбит/с (при полосе пропускания 3 кГц). Можно ли получить безошибочную передачу при SNR, равном 10 дБ? Ответ обоснуйте. Если это невозможно, предложите модификацию системы, которая бы это позволила.
9.3. Рассмотрим источник, который производит шесть сообщений с вероятностями 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и 1/32. Определите среднее информационное содержание сообщения (в битах).
9.4. Данный исходный алфавит состоит из 300 слов, из которых 15 появляются с вероятностью 0,06 каждое, а остальные 285 слов — с вероятностью 0,00035 каждое. Если в секунду передается 1000 слов, то какова средняя скорость передачи информации?
9.5. а) Найдите среднюю пропускную способность (в битах за секунду), которая требуется
для передачи черно-белого телевизионного сигнала высокого разрешения со скоростью 32 кадра в секунду, если каждый кадр состоит из 2106 элементов изображения и 16 градаций уровня яркости. Все элементы изображения считаются независимыми, и все уровни яркости появляются с одинаковой вероятностью.
б) Для цветного телевидения в описанной выше системе дополнительно вводится 64 оттенка цвета. Какая дополнительная пропускная способность потребуется в цветной системе по сравнению с черно-белой?
в) Определите требуемую пропускную способность, если 100 возможных комбинаций цвета и яркости появляются с вероятностью 0,003 каждая, 300 комбинаций — с вероятностью 0,001 и 624 комбинации — с вероятностью 0,00064.
9.6. Докажите, что энтропия максимальна, когда все выходы источника имеют равную вероятность.
9.7. Рассчитайте неопределенность или неоднозначность сообщения в битах на знак для текстовой передачи с использованием 7-битового кода ASCII. Считайте, что все знаки равновероятны и что вследствие шума в канале вероятность ошибки равна 0,01.
9.8. Предполагается, что линия связи с некогерентной FSK имеет максимальную скорость передачи данных 2,4 Кбит/с без ISI в канале с номинальной полосой пропускания 2,4 кГц. Предложите способы повышения скорости передачи данных при следующих системных ограничениях.
а) Ограничена мощность.
б) Ограничена полоса пропускания.
в) Одновременно ограничены и полоса пропускания, и мощность.
9.9. В табл. 39.1 описаны четыре разные линии связи "спутник/наземный терминал". Для каждой линии связи потери в пространстве составляют 196 дБ, резерв — 0 дБ, случайные потери отсутствуют. Для каждой линии связи укажите рабочую точку на плоскости эффективности использования полосы частот, зависимости R/W от Eb /N0 и охарактеризуйте линию согласно одному из следующих описаний: ограниченная полоса пропускания, строго ограниченная полоса пропускания, ограниченная мощность и строго ограниченная мощность. Ответ обоснуйте.
Таблица 39.1. Пропускная способность линии связи для четырех спутниковых линий связи
|
Спутник |
Принимающий терминал |
Максимальная скорость передачи данных |
|
INTELSAT IV EIRP = 22,5 дБВт Полоса пропускания = 36 МГц |
Большая стационарная станция диаметр антенны = 30 м G/T=40.7 дБ/К |
165 Мбит/с |
|
DSCS II EIRP = 28 дБВт Полоса пропускания = 50 МГц |
Корабль, диаметр антенны = 4 фута G/T= 10 дБ/К |
100 Мбит/с |
|
DSCSII EIRP = 28 дБВт Полоса пропускания = 50 МГц |
Большая стационарная станция, диаметр антенны = 60 футов G/T= 39 дБ/К |
72 Мбит/с |
|
GAPSAT/MARISAT EIRP = 28 дБВт Полосапропускания = 500 кГц |
Самолет, коэффициент усиления антенны = 0 дБ G/T=-30 дБ/К |
500 Мбит/с |
9.10. Нужно выбрать модуляцию и код коррекции ошибок для системы связи реального времени, работающей с каналом AWGN при доступной полосе пропускания 2400 Гц. Eb/N0 = 14 дБ. Требуемая скорость передачи информации и вероятность битовой ошибки равны 9600 бит/с и 10-5. Выбирать можно из двух типов модуляции — некогерентные ортогональные 8-FSK или 16-QAM при обнаружении с использованием согласованных фильтров. При выборе кода также возможны две альтернативы — код БХЧ (127, 92) или сверточный код со степенью кодирования 1/2, дающие эффективность кодирования 5 дБ при вероятности битовой ошибки 10-5. Предполагая идеальную фильтрацию, докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки.
9.11. В условиях задачи 9.10 полоса пропускания расширена до 40 кГц, а доступное Eb/N0 снижено до 7,3 дБ. Выберите подходящие схемы модуляции и кодирования и докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки.
9.12. В условиях задачи 9.10 в канале AWGN теперь возможно исчезновение сигнала, которое длится до 1000 мс. Доступная полоса пропускания равна 3400 Гц, a Eb/N0 равно 10 дБ. Помимо выбора схем модуляции и кодирования теперь требуется разработать устройство чередования (см. раздел 8.2) для борьбы с проблемой исчезновения сигнала. Возможны две альтернативы — блочное устройство чередования 1632 и сверточное 150300. Докажите, что сделанный выбор удовлетворяет желаемым требованиям относительно полосы пропускания и вероятности ошибки, и продумайте способ борьбы с более длительными исчезновениями сигнала.
9.13. а) Рассмотрим систему связи реального времени, работающую с каналом AWGN, в которой применяется модуляция 8-PSK и код Грея. Выберите код коррекции ошибок, который сможет дать вероятность ошибки в декодированном бите не больше 10-7, если принимаемое Pr/N0 равно 70 дБГц, а скорость передачи информации равна 1 Мбит/с. Выбирать можно из следующих кодов: расширенный код Голея (24, 12), код БХЧ (127, 64) или код БХЧ (127, 36). Передаточные функции этих кодов показаны на рис. 6.21. Для облегчения процесса выбора считайте, что РB = 10-7, а передаточная функция пересекается с осью абсцисс в таких точках: для кода (24, 12)— в точке 310-3, для кода (127,64)— в точке 1,310-2, для кода (127, 36) — в точке 310-2.
б) С помощью внешнего вида передаточной функции кода можно интуитивно представить, какой код является лучшим при установленных технических требованиях. Совпадает ли ваш конечный выбор с первоначальной гипотезой? Не удивил ли вас ответ на п. а? Объясните полученные результаты в контексте двух механизмов, которые проявляются при использовании кодирования с коррекцией ошибок в системе связи реального времени.
в) Какую эффективность кодирования в децибелах обеспечивает код, выбранный вами в п. а?
9.14. Рассмотрим спутниковую систему связи реального времени, работающую с каналом AWGN (возмущаемую периодическим исчезновением сигнала). Вся линия связи описывается следующими требованиями для мобильного передатчика и спутникового приемника на низкой околоземной орбите.
Скорость передачи данных R = 9600 бит/с Доступная полоса пропускания W= 3000 Гц
Энергетический резерв линии связи М = 0 дБ (см. раздел 5.6)
Несущая частота fc= 1,5 ГГц
EIRP = 6 дБ
Расстояние между передатчиком и приемником d= 1000 км
Добротность спутникового приемника С/Т= 30 дБ[i]
Температура принимающей антенны 
= 290 К
Потери в линии связи между принимающей антенной и приемником L = 3 дБ Коэффициент шума приемника F= 10 дБ
Потери вследствие замирания Lf= 20 дБ
Прочие потери L0 = 6 дБ
Нужно так выбрать одну из двух схем модуляции (MPSK с применением кода Грея или некогерентную ортогональную MFSK), чтобы не было превышения имеющейся полосы пропускания и сохранялась мощность. Для кодирования с коррекцией ошибок выбирается один из кодов БХЧ (127, k), представленных в табл. 9.2, обеспечивающий наибольшую избыточность и при этом удовлетворяющий ограничениям на полосу пропускания. Рассчитайте вероятность появления ошибки в декодированном бите. Какая эффективность кодирования (если таковая имеется) соответствует предложенному выбору. Подсказка: параметры стоит вычислять в следующем порядке: Eb/N0, Ex/N0, PE(M), pc, РB. При использовании уравнения (9.41) для расчета декодированной вероятности появления битовой ошибки низкое значение Eb/N0 вынуждает учитывать большое количество слагаемых в сумме. Следовательно, очень кстати будет помощь компьютера.
9.15. Требуется, чтобы система связи реального времени поддерживала скорость передачи данных 9600 бит/с при вероятности появления битовой ошибки, не превышающей 10-5 с полосой пропускания 2700 Гц. Pr/N0 до детектирования составляет 54,8 дБГц. Выберите одну из двух схем модуляции (MPSK с применением кода Грея или некогерентную ортогональную MFSK) так, чтобы не было превышения имеющейся полосы пропускания и сохранялась мощность. Если необходимо применить кодирование с коррекцией ошибок, выбирайте самый простой (самый короткий) код из представленных в табл. 9.3, обеспечивающий требуемую достоверность передачи без превышений необходимой полосы пропускания. Докажите, что ваш выбор удовлетворяет системным требованиям.
9.16. а) При фиксированной вероятности появления ошибок покажите, что связь между размером
алфавита М и требуемой средней мощностью для MPSK и QAM можно представить следующим образом.
б) Обсудите преимущества одного типа передачи сигналов перед другим.
9.17. Рассмотрим телефонный модем, работающий со скоростью 28,8 Кбит/с и использующий решетчатое кодирование QAM.
а) Рассчитайте эффективность использования полосы частот, считая, что полоса пропускания канала равна 3429 Гц.
б) Предполагая, что Eb/N0=10 дБ и в канале присутствует шум AWGN, рассчитайте теоретическую доступную пропускную способность в полосе частот 3429 Гц.
в) Какое значение Eb/N0 необходимо для получения в полосе 3429 Гц скорости передачи 28,8 Кбит/с?
9.18. На рис. 9.17 показано несколько совокупностей 16-ричных символов.
а) Для кольцевой совокупности (5, 11) рассчитайте минимальные радиальные расстояния r1 и r2, если минимальное расстояние между символами должно быть 1.
б) Рассчитайте среднюю мощность сигнала для кольцевой совокупности (5, 11) и сравните ее со средней мощностью квадратной совокупности 44 (М = 16) (при том же минимальном расстоянии между символами).
в) Почему квадратный набор может оказаться/более практичным?
9.19. Рассмотрим систему решетчатого кодирований со степенью 2/3 из раздела 9.10.5, которая используется в двоичном симметричном канале (binary symmetric channel — BSC). Исходное состояние кодера предполагается равным 00. На выходе BSC принимается последовательность Z = (111001101011 остальные все 0).
а) Найдите максимально правдоподобный путь по решетчатой диаграмме и определите первые 6 декодированных информационных битов. Если появляется петля между двумя сливающимися путями, выбирайте верхнюю ветвь, входящую в определенное состояние.
б) Определите, были ли изменены в канале какие-либо биты Z, и если это так, определите, какие именно.
в) Объясните, как вы решите задачу, если вместо канала BSC дан гауссов канал.
9.20. Найдите асимптотическую эффективность кодирования для схемы решетчатого кодирования (trellis-coded modulation — ТСМ) с 4 состояниями. Степень кодирования 2/3 получается с помощью кодера, конфигурация которого показана на рис. 9.29, где 50% информационных бит поданы на вход сверточного кодера со степенью кодирования 1/2, а оставшиеся 50% — непосредственно на выход. Кодовая модуляция — 8-РАМ, как показано на верхней части рис. 9.31. Эталонным служит набор сигналов 4-РАМ с амплитудами -16, -1, +1, +16. Не кажется ли вам, что полученный ответ не согласуется с теоремой Шеннона, которая предсказывает предел эффективности кодирования порядка 11—12 дБ? Будет ли кто-либо использовать эталонный набор, который был предложен здесь? Можно заметить, что эффективность кодирования для комбинированной схемы модуляции/кодирования слегка отличается от той, которая имеется в случае одного лишь кодирования. Объясните ваши результаты в этом контексте.
9.21. Найдите асимптотическую эффективность кодирования для схемы решетчатого кодирования с 8 состояниями. Кодовая модуляция — 8-PSK, а некодированный эталон — 4-PSK. Решетчатая структура между моментами tk и tk+1 строится следующим образом: все состояния (от верхнего до нижнего) произвольно обозначаются от 1 до 8. Затем состояния 1, 3, 5 и 7 в момент tk соединяются с состояниями 1—4 в момент tk+1. Аналогично состояния 2, 4, 6 и 8 в момент tk соединяются с состояниями 5—8 в момент tk+1. Нарисуйте три секции (три интервала времени) решетчатой структуры. Сопоставьте ветви и сигналы и найдите кратчайший ошибочный путь.
Вопросы
9.1. Почему связь ширины полосы с эффективностью ее использования одинакова для ортогональных двоичной и четверичной частотных манипуляций (см. раздел 9.5.1)?
9.2. В схеме модуляции MPSK, Эффективность использования полосы частот растет при увеличении размерности, а в схеме MFSK, наоборот, снижается. Объясните, почему так происходит (см. разделы 9.7.2 и 9.7.3).
9.3. Опишите преобразования скрытой энергии и скоростей при преобразовании информационных битов в канальные биты, затем — в символы и элементарные сигналы (см. раздел 9.7.7).
9.4. Резкое увеличение боковых максимумов в спектре MSK на рис. 9.15 показывает, почему схема MSK считается более спектрально эффективной, чем QPSK. Как в таком случае можно объяснить тот факт, что спектр QPSK имеет более узкий основной максимум, чем спектр MSK (см. раздел 9.8.2)?
9.5. В главе 4 было сказано, что двоичная фазовая манипуляция (binary phase shift keying — BPSK) и квадратичная фазовая манипуляция (quaternary phase shift keying — QPSK) имеют одинаковые соотношения для вероятности возникновения битовой ошибки (см. раздел 4.8.4). Можно ли утверждать то же самое для М-арной амплитудно-импульсной модуляции (M-ary pulse amplitude modulation — М-РАМ) и 
-арной квадратурной амплитудной модуляции (-QAM), т.е. будут ли эти схемы иметь одинаковую вероятность возникновения битовой ошибки (см раздел 9.8.3.1)
9.6. Хотя схемы решетчатого кодирования (trellis-coded modulation — ТСМ) не требуют дополнительной полосы пропускания или мощности, в них все равно присутствует некоторый компромисс. За счет чего достигается эффективное кодирование в ТСМ (см. раздел 9.10)?
9.7. В чем смысл состояния в системе с конечным числом состояний (см. раздел 9.10)?
9.8. Какой избыточности сигнала при применении схемы ТСМ достаточно для получения выгод кодирования (снижение вероятности появления ошибки или повышение пропускной способности) (см. раздел 9.10.1.1)?
9.9. Для схем ТСМ дайте определение понятию асимптотическая эффективность кодирования, и из этого определения объясните, к чему нужно стремиться при построении кода ТСМ (см. раздел 9.10.3.2).
9.10. Когда на решетчатой диаграмме ТСМ нужны параллельные пути для удовлетворения правил разбиения Унгербоека? Чем грозит нарушение этих правил (см. раздел 9.10.4.1)?