1.1. Формирование цифрового канального сигнала
1.1.1. Операция дискретизации, выбор частоты дискретизации
1.1. Формирование цифрового канального сигнала
1.1.1. Операция дискретизации, выбор частоты дискретизации
В зависимости от способа обработки и передачи сообщений системы передачи разделяются на аналоговые и цифровые. К аналоговым относятся системы передачи:
- с частотным разделением каналов (ЧРК), в которых для передачи сигналов по каждому каналу передачи в диапазоне частот линейного тракта отводится определенная полоса частот;
- с временным разделением каналов (ВРК), в которых для передачи сигналов по каждому каналу передачи в линейном тракте отводятся определенные интервалы времени.
К цифровым относятся системы передачи, в которых все виды сообщений передаются посредством цифровых сигналов.
Источники сообщений и соответствующие этим сообщениям сигналы подразделяются на непрерывные и дискретные. К непрерывным относятся такие сигналы, которые могут принимать в некоторых пределах любые значения и являются непрерывными функциями времени (сигналы телефонии, радиовещания и т. д.).
К дискретным относятся сигналы, которые состоят из отдельных (дискретных) элементов, имеющих конечное число различных значений (телеграфные сообщения, разовые команды и т. д.).
В аналоговых системах с ЧРК как непрерывные, так и дискретные сигналы с помощью различных видов модуляции AM, AM-ОБП, ЧМ преобразуются в групповой линейный сигнал, который является непрерывной функцией времени. Аналоговые дискретные сигналы можно получить из непрерывных, используя дискретизацию по времени, амплитуде, времени и амплитуде одновременно.
Рисунок 1.1. Сигнал, дискретный по времени.
При дискретизации непрерывного сигнала по времени (рисунок 1.1) передается не весь сигнал, а его амплитудные значения, взятые через промежутки времени, называемые периодом дискретизации Тд. При определенном выборе периода дискретизации непрерывный сигнал, передаваемый дискретными по времени отсчетами, может быть восстановлен в дальнейшем практически без искажений. Полученный сигнал дискретен по времени, но непрерывен по амплитуде, так как в пределах динамического диапазона непрерывного сигнала его временные отсчеты по амплитуде могут быть сколь угодно близки друг к другу.
Рисунок 1.2. Сигнал, дискретный но амплитуде.
При дискретизации непрерывного сигнала по амплитуде (рисунок 1.2) передаются только определенные заранее выбранные его амплитудные значения, отличающиеся друг от друга па постоянную величину, которую называют шагом квантования по уровню. Как видно, квантованный по амплитуде сигнал отличается от исходного непрерывного сигнала тем, что приводит к ошибке квантования, определяемой разностью между первоначальным и квантованным по уровню сигналами.
Рисунок 1.3. Сигнал, дискретный по времени и амплитуде.
Сигнал, дискретный по времени и амплитуде (рисунок 1.3), можно получить, осуществив квантование по уровню сигнала, дискретного по времени. Амплитудные отсчеты полученного сигнала отличаются от истинных значений дискретных отсчетов, что, как и в предыдущем случае, приводит к ошибке квантования по уровню (рисунок 1.4).
Рисунок 1.4. Метод получения цифрового сигнала.
При цифровом представлении сигнала, дискретного по времени и каждому из уровней квантования по амплитуде присваивается свой номер, а его величина из десятичной системы счисления преобразуется в двоичную. Поэтому в дальнейшем можно передавать не сами отсчеты сигнала с их амплитудой, а группу импульсов, соответствующих номеру уровня квантования, выраженного в двоичной системе счисления, т. е. цифровой сигнал, который состоит из последовательности импульсов, причем наличие импульса свидетельствует о передаче единицы, а его отсутствие о передаче нуля. Цифровые сигналы по сравнению с аналоговыми обладают высокой помехоустойчивостью, так как при их обнаружении на фоне шумов необходимо определить лишь наличие импульса или его отсутствие.
Таким образом, с точки зрения преобразования сигналов структурная схема цифровой системы передачи может быть представлена в виде (рисунок 1.5).
Рисунок 1.5. Структурная схема цифровой системы передачи.
Непрерывный аналоговый сигнал от источника информации (ИИ) поступает на дискретизатор (Д), в котором преобразуется в дискретные по времени отсчеты. В квантующем устройстве (КУ) осуществляется квантование временных отсчетов сигнала по амплитуде. Аналого-цифровой преобразователь (АЦП) осуществляет преобразование дискретного по времени и амплитуде аналогового сигнала в цифровой.
На приеме в цифро-аналоговом преобразователе (ЦАП) происходит обратное преобразование цифрового сигнала в дискретный по времени и амплитуде аналоговый сигнал, а устройство восстановления (УВ) восстанавливает непрерывный сигнал, поступающий в приемник информации (ПИ).
Преобразование непрерывных сигналов в цифровую форму и цифровых сигналов в непрерывные сопровождается искажениями передаваемых сообщений, возникающими при дискретизации непрерывных сигналов ошибок квантования в КУ и искажении УВ непрерывных сигналов.
1.1.2. Теорема Котельникова
Возможность передачи непрерывного сигнала его дискретными отсчетами была обоснована В. А. Котельниковым в 1933 г. В соответствии с его теоремой любой непрерывный сигнал, ограниченный по спектру верхней частотой Fв, полностью определяется последовательностью своих дискретных отсчетов, взятых через промежуток времени Тд≤1/2Fв.
Таким образом, если требуется передать непрерывный сигнал U(t) с ограниченным спектром, то не обязательно передавать весь сигнал, а достаточно передать лишь его мгновенные значения, отсчитанные через интервалы времени Тд (рисунок 1.1). В соответствии с этим частота следования дискретных отсчетов сигнала, т. е. частота дискретизации
2Fв≤ Fд. (1.1)
Для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов в пункте приема используется фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза, равной Fв.
Как известно, отклик идеального ФНЧ с граничной частотой среза Fв на очень короткий прямоугольный импульс, поданный на его вход, имеет вид, изображенный на рисунке 1.6.
Рисунок 1.6. Отклик ФНЧ на короткий прямоугольный импульс.
Если на вход такого фильтра поступает последовательность коротких импульсов, соответствующих дискретным отсчетам непрерывного сигнала (рисунок 1.7), то на выходе фильтра в результате суммирования отдельных откликов переданный непрерывный сигнал вновь восстанавливается.
Рисунок 1.7. Формирование непрерывного сигнала фильтром нижних частот.
1.1.3. Выбор частоты дискретизации
На основании теоремы Котельникова Fд >=2Fв. Если выбрать Fд = 2Fв, то, как видно из рисунка 1.8, нижняя боковая частота, определяемая из условия:
Fд –Fв=2Fв-Fв=Fв (1.2)
Рисунок 1.8. Выбор частоты дискретизации.
совпадает с верхней частотой спектра модулирующего сигнала и для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов необходимо использовать идеальный ФНЧ с частотой среза Fc=Fв. В реальных системах частоту дискретизации выбирают из условия Fд>2Fв. Обычно Fд=(2,3...2,4)Fв. Так, при дискретизации телефонных сигналов с диапазоном частот 0,3...3,4 кГц частота дискретизации равна 8 кГц (рисунок 1.9).
Рисунок 1.9. Выбор частоты дискретизации.
В данном случае упрощаются требования к параметрам ФНЧ, так как при этом образуется достаточно широкая (1,2 кГц) переходная полоса частот Δfппч для расфильтровки, которая позволяет использовать простые ФНЧ на приеме для восстановления непрерывного сигнала из последовательности его дискретных отсчетов.
Выбор частоты дискретизации группового сигнала. При построении систем ИКМ-ЧРК осуществляется дискретизация сигналов, диапазон частот которых соответствует диапазону частот стандартных групп в системах с ЧРК.
Рассмотрим вопросы выбора частоты дискретизации первичной стандартной 12-каналыюй группы со спектром частот 60...108 кГц. Диапазон частот группы ограничен не только сверху, но и снизу. Поэтому частоту дискретизации в этом случае выбирают так, чтобы в спектре АИМ сигнала спектр дискретизируемого сигнала не перекрывался с боковыми спектрами около частоты дискретизации и ее гармоник (рисунок 1.10).
Рисунок 1.10. Составляющие спектра сигнала при дискретизации первичной 12-канальной группы.
Для сигнала первичной стандартной 12-каналыюй группы при FД =110 кГц (рисунок 1.10) спектр АИМ сигнала содержит спектр дискретизируемого сигнала в диапазоне частот 60...108 кГц, нижнюю боковую полосу около частоты дискретизации, определяемую из условия:
ΔFнб1=Fд-(Fн…Fв)=110 кГц – (60…108) кГц,
верхнюю боковую полосу около частоты дискретизации ΔFнб1=Fд+(Fн…Fв)=110 кГц + (60…108) кГц = (170...218) кГц, нижнюю боковую полосу второй гармоники частоты дискретизации
ΔFнб2=2Fд-(Fн…Fв)=220 кГц – (60…108) кГц = (112..160) кГц,
верхнюю боковую полосу второй гармоники частоты дискретизации ΔFнб2=2Fд+(Fн…Fв)=220 кГц +(60…108) кГц = (280…328) кГц.
Как видно из рисунка 1.10, спектр полезного сигнала и спектры около частоты дискретизации и ее гармоник не перекрываются.
При таком выборе частоты дискретизации можно осуществить восстановление без искажений информационного сигнала из последовательности его отсчетов с помощью полосового фильтра (ПФ) с полосой пропускания 60...108 кГц.
Увеличение частоты дискретизации приводит к росту верхней частоты нижней боковой полосы (НБ1) и в пределе, при отсутствии перекрытия спектров НБ1 и информационного сигнала, верхняя частота нижней боковой полосы равна 60 кГц. Из этого следует, что при дискретизации групповых сигналов, ширина спектра которых ΔF<Fн (48<60 кГц для 12-канальной группы), частота дискретизации выбирается из условия Fв<Fд<2Fн. Для упрощения реализации ПФ, восстанавливающих непрерывный сигнал, Fд выбирается в середине диапазона 108...120 кГц для первичной стандартной 12-канальной группы.
Если ширина спектра группового сигнала ΔF<Fн, как, например, для третичной стандартной 300-канальной группы со спектром частот 812...2044 кГц, то частоту дискретизации можно выбрать из условия Fд>2 Fв, однако при этом не используется нижняя часть полосы частот до 812 кГц, что приводит к дополнительному расширению спектра АИМ сигнала. Для того чтобы исключить такое расширение спектра, вводят дополнительную ступень преобразования, с помощью которой спектр сигнала 300-канальной группы смещается вниз по оси частот в диапазон 60...1292 кГц. Это дает возможность снизить частоту дискретизации и выбрать ее из условия . Fд>2584 кГц.
1.1.4. Квантование по уровню
На рисунке 1.11 показаны отсчеты (дискреты) сигнала и их квантованные значения. В результате квантования передаются не истинные, а только разрешенные значения уровней.
Рисунок 1.11. Квантования сигнала.
На рисунке 1.11: Δ - шаг квантования;
E кв(t) - ошибка квантования.
Рисунок 1.12. Квантование.
Вместо a(pТд) передается aкв (i+1) или aкв i значения. Возникает ошибка квантования ?кв:
E кв i (pТд)= a(pТд) - aкв i (рисунок 1.12)
Квантование бывает:
- равномерное (Δ i = Δ i-1 = Δ i-2 =? );
- неравномерное.
В первом случае возможны два типа амплитудных характеристик (АХ) квантующих устройств. Они приведены на рисунке 1.13.
Рисунок 1.13. АХ квантующих устройств.
При АХ, изображенной на рисунке 1.13, а, возникают шумы в режиме молчания 
, а при АХ, изображенной на рисунке 1.13, б, не воспроизводятся малые сигналы 
.
Расчет мощности шумов квантования.
Ошибку квантования Eкв(t) можно рассматривать как некоторую помеху – шум квантования. Влияние его на качество связи можно оценить отношением:
(1.3)
где Rкв – коэффициент шума квантования;
Рср.с – средняя мощность сигнала;
Ркв – мощность шума квантования.
Eкв(t) – последовательность прямоугольных импульсов с частотой Fд и случайной высотой. Полагаем, что t<<Тд.
Eкв(t) – случайная величина с плотностью вероятности Wкв(х). Допустим, что известна плотность вероятности распределения мгновенных значений квантуемого сигнала W(U), которая приведена на рисунке 1.14.
Весь диапазон от -Uогр до +Uогр разбит на М шагов квантования, а в общем случае различных (Δ i не равно const). Ui - разрешенное значение сигнала. Вероятность появления сигнала с амплитудой Ui, лежащей в пределах i – того шага квантования может быть найдена:
Так как Δ i <<Uогр, можно считать, что в пределах шага квантования 
, то есть заменяем истинную площадь – площадью прямоугольника (заштрихованная зона). Тогда:
(1.4)
Рисунок 1.14. Плотность вероятности квантованного сигнала.
Определим мощность шума квантования – Ркв. Мощность шума квантования в пределах i-того шага равна дисперсии случайной величины (U-Ui), где Ui – разрешенное значение сигнала в пределах этого шага.
(1.5)
Общая мощность шума квантования от М шагов квантования:
(1.6)
При равномерном квантовании Δ=const. Так как 
, тогда:
(1.7)
Заметим, что при неравномерном квантовании Ркв можно уменьшить, если для больших рi выбирать меньшие Δi, то есть для тех шагов квантования, где вероятность появления сигнала больше, выбирать меньший шаг квантования. Таким образом, при равномерном квантовании Ркв зависит только от Δ. Поэтому Rкв зависит только от мощности отсчета сигнала. Для того, чтобы не возникали шумы ограничения Uогр=Umax, где Umax - пиковые значения сигнала.
Определение числа уровней квантования.
(в разах) – 
пик-фактор сигнала. Соответственно пик-фактор в дБм (децибелах по мощности): 
Зная Uогр и Δ можно найти число уровней квантования при равномерной шкале для:
- двухполярных сигналов:
(1.8)
- однополярных сигналов:
.
(1.9)
Отношение сигнал/шум квантования в полосе частот от 0 до 
:
(1.10)
Энергетический спектр шумов квантования, то есть последовательности импульсов случайной амплитуды, но детерминированной частоты Fд и длительности tи, примерно равномерен в очень широкой полосе частот, если t<<Тд, то мощность этих шумов пропорциональна полосе частот Δf, в которой она определяется.
На приеме исходный сигнал выделяется ФНЧ с граничной частотой Fв, который уменьшает мощность шума квантования Ркв в раз
, то есть:
(1.11)
(1.12)
Для речевых сигналов 
дБ. Однако, учитывая разную длину абонентских линий,
определяется как разность уровней мощности пиковых значений мощности на входе канала и средней мощности наиболее удаленного абонента. Тогда 
дБ.
Исходя из нормирования помех, можно определить необходимое число уровней квантования:
(1.13)
Защищенность от шумов квантования не должна быть меньше 25 дБ. Тогда . Подставив в формулу [1-14] Fд=8 кГц, Fв =3,4 кГц, дБ, получим 
, что существенно усложняет возможности передачи ИКМ-сигнала.
При неравномерном квантовании шаг квантования изменяется по определенному закону. Если уменьшать шаг квантования для более вероятных значений сигнала, то мощность шума квантования уменьшается. Однако, при этом вид АХ квантующего устройства зависит от закона распределения квантуемого сигнала. Поэтому обычно неравномерное квантование обеспечивает примерное постоянство Rкв для различных значений квантованных отсчетов сигнала.
Неравномерное квантование.
Неравномерное квантование можно обеспечить каскадным соединением компрессора с последующим равномерным квантователем. На приеме устанавливается экспандер. На рисунке 1.15 приведена схема с компрессором (К) и экспандером (Э), а так же равномерным квантующим устройством (КУ).
Рисунок 1.15. Нелинейное кодирование.
На рисунке 1.16 показаны АХ этих устройств.
Рисунок 1.16. АХ нелинейного квантующего устройства.
, 
. (1.14)
Величина Rкв будет постоянна, если Δкв линейно возрастает с ростом напряжения входного сигнала. Действительно 
, а мощность сигнала 
. Если 
, то Rкв - постоянная величина. В этом случае
. Отсюда, решая дифференциальное уравнение, получим:
,
где c, μ – постоянные интегрирования.
Эта зависимость не реализуема, так как при 
и 
, а из уравнения следует, что при , 
. Поэтому используют близкую к оптимальной зависимость [1]:
Обычно 
. Это так называемый закон компрессии или логарифмическая характеристика, где 
- коэффициент сжатия. На рисунке 1.17 приведены амплитудные характеристики квантователя при различных значениях.
Возможен и несколько другой закон компрессии. Это А - закон. Для него [1]:
(1.15)
Рисунок 1.17. АХ квантователя
А – закон несколько легче реализовать, хотя он дает меньшее Rкв. Очевидно, что компрессия уменьшает пик-фактор сигнала и, следовательно, позволяет уменьшить необходимое число уровней квантования. При μ –компрессии зависимость защищенности от шумов квантования от входного сигнала имеет вид, приведенный на рисунке 1.18.
Рисунок 1.18. Зависимость защищенности от шумов квантования.
Расчеты показывают, что введение компандирования уменьшает пик-фактор квантуемого сигнала приблизительно на 24 дБ, что позволяет вместо 2000 уровней применять М=128. В настоящее время используются цифровые методы реализации неравномерного квантования.
1.1.5. Кодирование
При цифровом представлении сигнала, дискретного по времени и амплитуде, каждому из уровней квантования по амплитуде присваивается свой номер, а его величина из десятичной системы счисления преобразуется в двоичную. Поэтому в дальнейшем можно передавать не сами отсчеты сигнала с их амплитудой, а группу импульсов, соответствующих номеру уровня квантования, выраженного в двоичной системе счисления, т. е. цифровой сигнал, который состоит из последовательности импульсов, причем наличие импульса свидетельствует о передаче единицы, а его отсутствие о передаче нуля. Цифровые сигналы по сравнению с аналоговыми обладают высокой помехоустойчивостью, так как при их обнаружении на фоне шумов необходимо определить лишь наличие импульса или его отсутствие.
При кодировании можно вместо значения сигнала передавать номер разрешенного уровня. Такой способ кодирования называется импульсно-кодовой модуляцией (ИКМ). В этом случае можно использовать двоичную систему счисления:
, (1.16)
где li –номер разрешенного уровня;
аi – принимает значения 0 или 1.
Общее количество уровней при m-разрядном кодировании:
. (1.17)
Чем больше разрядность кода, тем больше М и меньше шумы квантования. Используя формулу 1.14, защищенность от шумов квантования можно определить как:
(дБ), (1.18)
где 
.
Увеличение m на 1 увеличивает Акв на 6 дБ.
Для кодирования АИМ-отсчета, то есть для формирования кодовой группы, необходимо какое-то время, в течение которого величина АИМ-сигнала не должна изменяться. Другими словами, АИМ-сигнал должен иметь плоскую вершину. Такой сигнал называется АИМ-2 (второго рода). На рисунке 1.19 показаны сигналы АИМ-1 и АИМ-2.
Рисунок 1.19. Сигналы АИМ-1 и АИМ-2
Спектр АИМ-1 отличается от спектра АИМ-2. Если 
- спектральная плотность сигнала АИМ-1, то для сигнала АИМ-2 спектральная плотность составит
(рисунок 1.20):
Рисунок 1.20. Спектр АИМ-2.
Очевидно, что в этом случае боковые частоты несимметричны, а исходный сигнал выделяется ФНЧ с искажениями. Однако, если 
, то есть, то
эти искажения несущественны. Практически, если 
, то 
, для w не слишком большой величины. Таким образом, перед кодированием АИМ-1 преобразуется в АИМ-2. Кодовая m-разрядная группа содержит значения коэффициентов 
, соответствующий код называется простым или натуральным. Передается кодовая группа сочетанием импульсов и пробелов:
Использование натурального кода целесообразно при кодировании однополярного сигнала. При кодировании двухполярного сигнала используется симметричный код, где первый разряд знаковый:
0>(-); 1>(+).
Например, «-12» в 6-разрядном коде будет записано как 001100. Применение АИМ-2 необходимо и потому, что при АИМ-1 во время кодирования может произойти переход от одного разрешенного уровня к другому. В результате кодовая группа будет сильно отличаться от истинной. Кодирование осуществляется в кодерах. На приеме декодирование осуществляется в декодерах.