Возвратимся к постановке задачи обнаружения сигнала на фоне помех. Будем полагать, что смесь сигнала и помехи (7.1) поступает на вход фильтра, согласованного с сигналом . Помеха представляет собой «белый шум» с двусторонним энергетическим спектром .

Как известно, сигнал на выходе линейной цепи с импульсной характеристикой определяется соотношением

,

где – переменная интегрирования.

Так как сигнал ограничен во времени интервалом , можно записать

. (7.16)

Подставляя сюда выражение (7.1) для входного сигнала, получим

. (7.17)

Из выражения (7.17) следует, что сигнал на выходе согласованного фильтра содержит полезную (сигнальную) составляющую

, (7.18)

и шумовую составляющую

. (7.19)

Для оценки качества работы согласованного фильтра необходимо найти отношение сигнал/помеха на его выходе как отношение средних мощностей сигнальной и шумовой составляющих.

Подставляя в (7.18) выражение для импульсной характеристики фильтра (7.13), получим

.

Но:

,

и сигнальная составляющая на выходе согласованного фильтра

,

пропорциональна автокорреляционной функции входного сигнала при . Так как АКФ достигает максимума при , или при , то

.

Иными словами сигнальная составляющая при пропорциональна энергии входного сигнала. Очевидно, максимальная мощность сигнальной составляющей на выходе согласованного фильтра будет равна

. (7.20)

Рассчитаем среднюю мощность помехи на выходе согласованного фильтра. Средняя мощность (дисперсия) помехи

, (7.21)

где – двусторонняя спектральная плотность мощности помехи на выходе фильтра.

С другой стороны, энергетический спектр

.

Подставляя в это выражение формулу (7.15), определяющую АЧХ фильтра, получим

. (7.22)

Тогда, с учетом (7.22) средняя мощность помехи (7.21) будет равна:

.

Но согласно равенству Парсеваля

.

Следовательно, средняя мощность помехи на выходе фильтра

. (7.23)

Отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра с учетом (7.6) определяется как

. (7.24)

Таким образом, отношение сигнал/помеха на выходе согласованного фильтра не зависит от формы сигнала (поскольку импульсная характеристика «согласована» с его формой) и определяется только его энергией и спектральной плотностью помехи вида «белого шума».

Возвратимся к выражению (7.16) и подставим в него выражение (7.11). Тогда в момент времени выходной сигнал будет иметь вид

.

Из этого выражения вытекает алгоритм обработки входного сигнала. Согласованный фильтр осуществляет перемножение входного колебания на «копию» полезного сигнала и интегрирование на интервале времени . При этом выходной отклик согласованного фильтра не зависит от времени прихода сигнала. Это свойство называется инвариантностью фильтра к моменту прихода сигнала в смеси с помехой. Если сигнал пришел в момент времени , то отклик появится в момент времени , если в момент времени – отклик появится в момент . Обнаружитель на базе согласованного фильтра содержит (рис. 7.2 а):

– собственно согласованный фильтр СФ;

– пороговое устройство с порогом срабатывания .

На выходе СФ формируется сигнал, достигающий максимального значения:

. (7.25)

Если , то принимается решение о том, что сигнал обнаружен и наоборот.

Операцию умножения и интегрирования можно осуществить и другим устройством, называемым коррелятором (рис. 7.2б). Коррелятор содержит перемножитель и интегратор. Нетрудно убедится, что выходной сигнал коррелятора также будет описываться (7.25). Однако, для реализации коррелятора необходимо знать момент прихода сигнала. Поэтому коррелятор неинвариантен к моменту прихода сигнала.