6.1. Пассивные апериодические цепи

6.2. Преобразование периодических сигналов линейными цепями

6.3. Преобразование узкополосных сигналов частотно-избирательными цепями

Рассмотренные выше математические модели различных сигналов и линейных цепей позволяют перейти к рассмотрению задач прохождения сигналов через линейные цепи. При этом, целесообразно все многообразие задач разделить на две группы. К первой группе следует отнести задачи преобразования первичных, т.е. видеосигналов, как одиночных, так и периодических. Вторая группа объединяет задачи анализа прохождения модулированных сигналов через линейные цепи.

В общем случае задача анализа прохождения сигналов через линейные цепи формулируется следующим образом. Задан входной сигнал и его характеристики (временные, спектральные, операторные). Входной сигнал поступает на линейную цепь (рис. 5.) с известными характеристиками (временными, спектральными, операторными). Необходимо найти соответствующие характеристики входного сигнала. При этом в соответствии с целями анализа в большинстве случаев нет необходимости находить все характеристики выходного сигнала, а ограничиться некоторыми из них, например, формой выходного сигнала или его спектром . Это в свою очередь, определяет выбор метода анализа.

Ввиду многообразия задач преобразования детерминированных сигналов линейными цепями ниже будут рассмотрены некоторые из них, освоение методики решения которых позволит решать и более сложные задачи.

6.1. Пассивные апериодические цепи

Рассмотрим задачу прохождения прямоугольного видеоимпульса через интегрирующую цепь. Если целью анализа является определение анализа целесообразно выбрать временной метод.

Как известно, в основе временного метода лежит интеграл Дюамеля

,

где – импульсная характеристика цепи.

Представим прямоугольный импульс с амплитудой и длительностью в виде

, (6.1)

где – единичная функция.

Рис.6.1

На рис. 6.1 изображен прямоугольный импульс в виде комбинации двух ступенчатых функций вида . Импульсная характеристика интегрирующей цепи приведена в таблице 5. Тогда, подставляя (6.1) и выражение для импульсной характеристики в выражение для интеграла Дюамеля, можно вычислить . Вместе с тем, так как в качестве сигналов, формирующих прямоугольный импульс выступают единичные функции, а реакция линейной цепи на единичную функцию представляет собой переходную характеристику, то выходной сигнал в рассматриваемом случае можно представить в виде

. (6.2)

Так как для интегрирующей цепи переходная характеристика

,

то подстановка этого выражения в (6.2) после преобразований приводит к виду

. (6.3)

На рис. 6.1 (нижняя диаграмма) показана форма импульса на выходе интегрирующей цепи.

Как следует из рисунка, инерционность цепи проявляется в искажении переднего и заднего фронтов. Скорость нарастания и убывания фронтов зависит от постоянной времени цепи . Количественно величину искажений можно оценить, например, временем нарастания и временем спада соответственно переднего и заднего фронтов до заданного уровня (рис. 6.1).

Время нарастания определяется как время в течение, которого передний фронт импульса достигает значения , т.е. выходной сигнал

, (6.4)

где – наперед заданное значение (обычно в пределах ).

Тогда из (6.3) и (6.4) при следует уравнение

,

решение, которого дает выражение

. (6.5)

Время спада определяется как время, в течение которого задний фронт импульса достигает значения , т.е.

, (6.6)

где – наперед заданное значение (обычно в пределах ),

, (6.7)

– значение сигнала на выходе цепи при .

Подстановка (6.6) и (6.7) в нижнее выражение (6.3) после преобразований дает

,

откуда следует

. (6.8)

Знание и важно с практической точки зрения. На интервале времени от до вершину импульса можно считать плоской, что позволяет с минимальными ошибками регистрировать импульсы при передаче цифровых сообщений. Значение же позволяет оценить влияние данного сигнала на соседние (так называемые межсимвольные искажения) и принять меры к их уменьшению.

Кратко остановимся на задаче прохождения прямоугольного импульса через дифференцирующую цепь. Воспользовавшись выражением (6.2) с учетом того, что переходная характеристика дифференцирующего звена

,

получим

. (6.9)

Рис.6.2

Из выражения (6.9) следует, что на интервале времени от до значение выходного сигнала уменьшается по экспоненте с до . В момент времени выходной сигнал скачком изменяется до величины

. (6.10)

Очевидно, форма сигнала на выходе существенно зависит от соотношения между длительностью импульса и постоянной времени цепи . Как правило, при решении практических задач радиотехники выбирают .

В этом выражении (6.10) слагаемое и значение сигнала в момент времени можно полагать равным

.

Таким образом, при выходной сигнал представляет собой совокупность двух остроконечных разнополярных импульсов экспоненциальной формы (рис. 6.2).

Длительность импульсов определяется из условия

,

где – наперед заданный коэффициент (обычно ). Тогда из верхнего уравнения (6.9) при следует

. (6.11)

При указанном соотношении между и длительность выходных импульсов оказывается гораздо меньше длительности входного импульса. Поэтому дифференцирующую цепь называют укорачивающей цепью. Выходные импульсы такой цепи используются для формирования последовательности коротких импульсов, для запуска импульсных устройств и при решении ряда других задач радиотехники.

6.2. Преобразование периодических сигналов линейными цепями

Рассмотрим теперь задачу прохождения периодического сигнала через линейные цепи. С подобными задачами приходится сталкиваться. Например, при анализе импульсных радиотехнических систем, в которых в качестве несущего колебания при модуляции используется периодическая последовательность импульсов. В этом случае входной сигнал описывается выражением

, (6.12)

где – импульс произвольной формы,

T – период следования импульсов.

При использовании временного метода сигнал на выходе линейной цепи

. (6.13)

Изменяя порядок суммирования и интегрирования, из (6.13) получим

(6.14)

Таким образом, задача преобразования периодической последовательности импульсов сводится к задаче преобразования линейной цепью одиночного импульса. Эти задачи были рассмотрены выше.

В ряде радиотехнических задач необходимо найти спектр сигнала на выходе цепи при поступлении на её вход периодической последовательности импульсов. Воспользуемся спектральным методом решения таких задач.

Как известно, в общем случае спектральное представление сигнала на выходе линейной цепи имеет вид:

,

При изучении спектральных характеристик периодических сигналов было установлено, что их спектр носит линейчатый характер. Тогда спектр входного сигнала, представленный в комплексной форме в соответствии с (2.16) можно описать следующим образом:

.

Очевидно, и спектр выходного сигнала будет линейчатым:

. (6.15)

где - значение комплексного коэффициента передачи цепи на частоте .

С учётом того, что

и ,

где - амплитудный спектр и - фазовый спектр входного сигнала,

- амплитудно-частотная и – фазочастотная характеристики линейной цепи, выражение (6.15) можно представить в следующем виде

, (6.16)

где ; – значения фазовых величин на частоте , откуда следует, что соответствующие амплитудного и фазового спектров выходного сигнала описываются выражениями

, (6.17)

, (6.18)

которые позволяют вычислить и построить соответствующие спектральные диаграммы.

Если входной периодический сигнал представлен тригонометрическим рядом Фурье (2.8), то выходной сигнал цепи описывается выражением:

. (6.19)

Обычно, спектральные диаграммы удобно представлять в координатах циклических частот. В этом случае (6.19) принимает вид:

.

Спектральные составляющие рассчитываются в соответствии с (6.17) и (6.18).

6.3. Преобразование узкополосных сигналов частотно-избирательными цепями

Выше были рассмотрены некоторые виды модуляции, определяющие тот или иной радиосигнал. В самом общем виде радиосигнал может быть представлен в виде квазигармонического сигнала:

. (6.20)

Как правило, спектр такого сигнала сосредоточен вокруг частоты , а его ширина . В этом смысле сигнал (6.20) считается узкополосным.

При преобразовании узкополосного сигнала радиотехническими цепями необходимо сохранить закон изменения того параметра сигнала, в котором заложена передаваемая информация. В частном случае это может быть изменение амплитуды(амплитудная модуляция) или частоты(частотная модуляция). Следует отметить, что эти изменения происходят гораздо медленнее изменения несущей частоты. Это особенность радиосигналов позволяет существенно упростить решения задач их преобразования различными узкополосными частотно-избирательными цепями, к которым относятся рассмотренные выше простейшие колебательные контура и активная цепь в виде резонансного усилителя.

Представим огибающую и текущую фазу сигнала (6.20) следующим образом

, (6.21)

. (6.22)

При анализе преобразования сигнала вида (6.20) частотно-избирательной цепью в качестве и обычно выступают сигналы, связанные преобразованием Гильберта

; . (6.23)

Сигнал называется сопряжённым по Гильберту с сигналом , а преобразование Гильберта физически означает фазовый сдвиг всех составляющих сигнала на угол в области положительных и на угол в области отрицательных частот. Очевидно, спектры сигналов и связаны соотношением

(6.24)

Возвратимся к выражениям (6.21) и (6.22). Эти выражения можно представить как модуль и аргумент некоторого комплексного сигнала

, (6.25)

который называется аналитическим сигналом, соответствующим физическому сигналу . Очевидно, физический сигнал представляет собой вещественную часть аналитического сигнала, т.е. .

Так как аналитический сигнал является комплексным, его можно представить в следующем виде

,

или с учётом (6.21) и (6.22) в виде выражения

, (6.26)

где

(6.27)

называется комплексной огибающей аналитического сигнала.

Найден спектр аналитического сигнала. Применив к (6.25) прямое преобразование Фурье, получим:

, (6.28)

или с учётом соотношения (6.24)

. (6.29)

С другой стороны, преобразование Фурье выражения (6.26) даст

. (6.30)

Сопоставление (6.29) и (6.30) показывает, что

или что то же самое

. (6.31)

Таким образом, с одной стороны, спектральная плотность комплексной огибающей равна удвоенной спектральной плотности физического сигнала, а с другой стороны – сосредоточена в низкочастотной области положительных частот (рис. 6.3). Это позволяет заменить задачу анализа преобразования узкополосного сигнала частотно-избиратель-ной цепью задачей анализа преобразования комплексной огибающей аналитического сигнала некоторой эквивалентной цепью, частотные характеристики которой также располагаются в низкочастотной области. Такая цепь получила название низкочастотного

Рис. 6.3 эквивалента частотно-избирательной цепи.

Найдём характеристики низкочастотного эквивалента резонансного усилителя малых сигналов, рассмотренного в 5.5.3. Представим комплексный коэффициент передачи (5.73) с учётом (5.49) в виде

. (6.32)

Введем обозначения

и .

Тогда (6.32) можно представить следующим образом

. (6.33)

Но (6.33) представляет собой комплексный коэффициент передачи интегрирующей цепи. Таким образом, низкочастотным эквивалентом резонансного усилителя, т.е. цепи второго порядка, является интегрирующая цепь, т.е. цепь первого порядка. Это существенно упрощает определения комплексной огибающей на выходе низкочастотного эквивалента.

На рис. 6.4. изображены графики АЧХ и ФЧХ частотно-избирательной цепи и её низкочастотного эквивалента (сплошные кривые в низкочастотной области). Очевидно, что импульсная характеристика низкочастотного эквивалента

. (6.34)

Перейдём к рассмотрению задачи преобразования узкополосного сигнала частотно-избирательной цепью. Пусть на вход цепи с резонансной частотой поступает сигнал

.

В общем случае частота несущего колебания не совпадает с резонансной частотой цепи, т.е. имеет место расстройка

.

Тогда входной сигнал можно записать следующим образом

. (6.35)

где

. (6.36)

Поскольку частотно-избирательная цепь является избирательной цепью, на её выходе также будет иметь место квазигармонический сигнал вида

. (6.37)

Аналитические сигналы, соответствующие входному и выходному сигналам

,

, (6.38)

где и - комплексные огибающие.

Ввиду того, что физический сигнал (6.37) представляет вещественную часть аналитического сигнала (6.38), т.е.

, (6.39)

то для его нахождения необходимо определить комплексную амплитуду . Комплексная огибающая, как подчёркивалось выше, представляет собой реакцию низкочастотного эквивалента цепи на комплексную огибающую входного аналитического сигнала. Эту задачу можно решить либо спектральным методом, либо методом интеграла наложения.

В соответствии со спектральным методом

.

С другой стороны, с учётом (6.30) и (6.32), имеем

. (6.40)

Применяя к (6.40) обратное преобразование Фурье, можно найти и, в соответствии с (6.39), - физический выходной сигнал .

Что касается метода интеграла наложения, то комплексная огибающая выходного аналитического сигнала определяется следующим образом

, (6.41)

где – импульсная характеристика низкочастотного эквивалента цепи.