13.3.1. Одноотводное предсказание

13.3.2. N-отводное предсказание

13.3.3. Дельта-модуляция

13.3.4. Сигма-дельта-модуляция

13.3.4.1. Шум Шум Z-Д-модулятора

13.3.5. Сигма-дельта-аналого-цифровой преобразователь

13.3.6. Сигма-дельта-цифро-аналоговый преобразователь

Используя прошлые данные для измерения (т.е. квантования) новых переходим от обычной импульсно-кодовой модуляции (pulse-code modulation — PCM) к дифференциальной (differential PCM — DPCM). В DPCM предсказание следующего выборочного значения формируется на основании предыдущих значений. Для квантующего устройства это предсказание можно рассматривать в качестве инструкции по руководству при поиске следующего выборочного значения в конкретном интервале. Если для предсказания используется избыточность сигнала, область неопределенности сокращается и квантование можно проводить с уменьшенным числом решений (или бит) для данного уровня квантования или с уменьшенным числом уровней квантования для данного числа решений (или бит). Сокращение избыточности реализуется путем вычитания предсказания из следующего выборочного значения. Эта разность называется ошибкой предсказания (prediction error).

Устройства квантования, описанные в разделе 13.2, называются мгновенными устройствами квантования или устройствами квантования без памяти, так как цифровые преобразования основаны на единичной (текущей) входной выборке. В разделе 13.1 были определены свойства источников, которые допускают сокращение интенсивности источника. Этими свойствами были неравновероятные уровни источника и зависимые выборочные значения. Мгновенные квантующие устройства кодируют источник, принимая во внимание плотность вероятности, сопоставленную с каждой выборкой. Методы квантования, которые принимают во внимание корреляцию между выборками, являются квантующими устройствами с памятью. Эти квантующие устройства уменьшают избыточность источника сначала посредством превращения коррелированной входной последовательности в связанную последовательность с уменьшенной корреляцией, уменьшенной дисперсией и уменьшенной полосой частот. Затем эта новая последовательность квантуется с использованием меньшего количества бит.

Корреляционные характеристики источника можно представить во временной области с помощью выборки его автокорреляционной функции и в частотной области — его спектром мощности. Если изучается спектр мощности G_x(f) кратковременного речевого сигнала, как изображено на рис. 13.18, то видим, что спектр имеет глобальный максимум в окрестности от 300 до 800 Гц и убывает со скоростью от 6 до 12 дБ/октаву. Изучая этот спектр, можно взглянуть на определенные свойства временной функции, из которой он получен. Видим, что большие изменения сигнала происходят медленно (низкая частота), а быстрые (высокая частота) должны иметь малую амплитуду. Эквивалентная интерпретация может быть дана в терминах автокорреляционной функции сигнала R_x(T), как изображено на рис. 13.19. Здесь широкая, медленно меняющаяся автокорреляционная функция свидетельствует о том, что при переходе от выборки к выборке будет только слабое изменение и что для полного изменения амплитуды требуется временной интервал, превышающий интервал корреляции. Интервал (или радиус) корреляции, рассмотренный на рис. 13.19, является временной разностью между максимальной и первой нулевой корреляцией. В частности, значение корреляции для типичного единичного выборочного запаздывания лежит в диапазоне примерно от 0,79 до 0,87, а радиус корреляции имеет порядок от 4 до 6 выборочных интервалов, равных Т секунд на интервал.

Поскольку разность между соседними временными выборками для речи мала, используемый метод кодирования базируется на передаче от выборки к выборке разностей, а не действительных выборочных значений. В действительности, последовательные разности представляют собой частный случай класса преобразователей с памятью, называемых N-отводными линейными кодерами с предсказанием. Эти кодеры, иногда именуемые кодерами с предсказаниями и поправками, предсказывают следующее входное выборочное значение на основании предыдущих входных выборочных значений. Эта структура показана на рис. 13.20. В этом типе преобразователя передатчик и приемник имеют одинаковую модель предсказания, которая получена из корреляционных характеристик сигнала. Кодер дает ошибку предсказания (или остаток) как разность между следующим измеренным и предсказанным выборочными значениями. Математически контур предсказания описывается следующим образом.

Рис. 13.18. Типичный спектр мощности для речевых сигналов

Рис. 13.19. Автокорреляционная функция для типичных речевых сигналов

Рис. 13.20. N-отводный дифференциальный импульсно-кодовый модулятор с предсказанием

где х(п) — n-я входная выборка, (п) — предсказанное значение выборки, a d(n) — соответствующая ошибка предсказания. Эта операция производится в контуре предсказания и сравнения, верхний контур кодера изображен на рис. 13.20. Кодер корректирует свои предсказания, составляя сумму предсказанного значения и ошибки предсказания. Математически контур коррекции описывается следующим образом.

Здесь quant() представляет операцию квантования, d(n) — квантованная версия ошибки предсказания, а (п) — скорректированная и квантованная версия входной выборки. Это делается в контуре предсказания и поправок, в нижнем цикле кодера и в единственном контуре декодера на рис. 13.20. Декодер должен быть также проинформирован об ошибках предсказания, чтобы использовать свой контур коррекции для поправки своего предсказания. Декодер "повторяет" обратный цикл кодера. Задача связи состоит в передаче разности (ошибки сигнала) между предсказанными и действительными выборочными данными. По этой причине описанный класс кодеров часто называется дифференциальным импульсно-кодовым модулятором (differential pulse code modulator — DPCM). Если модель предсказания дает предсказания, близкие к действительным выборочным значениям, для остатков будет характерна уменьшающаяся дисперсия (по отношению к исходному сигналу). Из раздела 13.2 известно, что число бит, которое требуется для перемещения данных через канал с заданной точностью, связано с дисперсией сигнала. Следовательно, уменьшенная последовательность остатков может быть передана через канал с уменьшенной скоростью.

Преобразователи с предсказанием должны иметь кратковременную память, которая поддерживает проводимые в реальном времени операции, требуемые для алгоритма предсказания. Кроме того, они часто будут иметь долгосрочную память, которая поддерживает медленные, зависимые от данных операции, такие как автоматическая регулировка усиления, коррекция коэффициентов фильтра. Предсказатели, которые включают медленные, зависимые от данных регулирующие алгоритмы, называются адаптивными.

13.3.1. Одноотводное предсказание

Одноотводный линейный кодирующий фильтр с предсказанием (linear prediction coding filter — фильтр LPC) в процессе модуляции DPCM предсказывает последующее входное выборочное значение, основываясь на предшествующем входном выборочном значении. Уравнение предсказания имеет следующий вид.

(13.44)

Здесь х(п|т) — оценка х в момент п при данных всех выборках, собранных за время т и а — параметр, используемый для минимизации ошибки предсказания. Полученная после измерений ошибка предсказания имеет следующий вид.

(13.45,а)

(13.45,б)

Среднеквадратическая ошибка имеет следующий вид.

(13.46)

Если является несмещенной оценкой х(п-1), равенство (13.46) может быть записано следующим образом.

(13.47,а)

(13.47,б)

В данном случае R_d(n) и R_x(n) являются автокорреляционными функциями ошибки предсказания и входного сигнала. R_d(0) — мощность ошибки, R_x(0) — мощность сигнала, а С_х(п) = R_x(n)/R_x(0) — нормированная автокорреляционная функция. Параметр а можно выбрать так, чтоб он минимизировал мощность ошибки предсказания, указанную в формуле (13.47). Для этого нужно частную производную по а от R_d(0) положить равной нулю.

(13.48)

Решая данное уравнение, получим оптимальное значение .

(13.49)

Подставляя a^opt в уравнение (13.47), получим следующее.

(13.50,а)

(13.50,б)

(13.50,в)

Усиление предсказания (prediction gain) кодера можно определить как отношение входной и выходной дисперсий, Для фиксированной частоты передачи бит этот коэффициент представляет собой увеличение в выходном SNR, а для фиксированного выходного SNR — сокращение описания скорости передачи бит. Отметим, что, как использовалось в равенстве (13.50,6), усиление предсказания для оптимального предсказателя всегда больше единицы для любого значения корреляции сигнала R_x(0). С другой стороны, как использовалось в равенстве (13.47,6), оно больше единицы для неоптимального одноотводного единичного предсказателя, только если корреляция сигнала превышает 0,5.

Пример 13.7. Усиление предсказания для одноотводного фильтра LPC

Сигнал с коэффициентом корреляции С_x(1), равным 0,8, должен квантоваться одноотводным фильтром LPC. Определите усиление предсказания, если коэффициент предсказания 1) оптимизирован по отношению к минимальной ошибке предсказания; 2) положен равным единице.

Решение

а) Из уравнения (13.50,в) имеем следующее.

(13.51,а)

Усиление предсказания = 1/(0,36) = 2,78 или 4,44 дБ (13.51,б)

б) Из уравнения (13.47,6) имеем

(13.51,в)

Усиление предсказания = 1/(0,40) = 2,50 или 3,98 дБ (13.51,г)

13.3.2. N-отводное предсказание

N-отводный фильтр LPC предсказывает последующее выборочное значение на основании линейной комбинации предшествующих N выборочных значений. Будем предполагать, что квантованные оценки, которые используются предсказывающими фильтрами, являются несмещенными и безошибочными. Приняв это предположение, можно опустить двойные индексы (использованные в разделе 13.3.1) для данных в фильтре, но использовать их для предсказания. Тогда уравнение N-отводного предсказания принимает следующий вид.

(13.52)

Ошибка предсказания принимает следующий вид.

(13.53.а)

(13.53.б)

Среднеквадратическая ошибка предсказания имеет вид

(13.54)

Ясно, что Среднеквадратическая ошибка предсказания выражается через квадрат коэффициентов фильтра a_j. Можно образовать частные производные от среднеквадратических ошибок по каждому коэффициенту, как это делалось в разделе 13.3.1, и найти коэффициенты, которые обращают частные производные в нуль. Формально, вычисляя частные производные по j-му коэффициенту (до раскрытия х(п|п -1)), получим следующее.

(13.55,а)

(13.55,б)

(13.55,в)

(13.55,г)

Эта система уравнений (по одному для каждого j) может быть записана в матричной форме, и тогда она будет называться нормальными уравнениями.

(13.56.a)

Нормальные уравнения могут быть записаны более компактно.

(13.56,б)

где — это корреляционный вектор задержек от 1 до N, R_xx — корреляционная матрица (предполагается процесс с нулевым среднем), a a^opt — вектор оптимальных весовых коэффициентов фильтра.

Чтобы изучить решения нормальных уравнений, запишем уравнение (13.54) для среднеквадратической ошибки в матричной форме.

(13.57,а)

(13.57,б)

где — транспонированная матрица для матрицы к. Замена a^opt на а в равенстве (13.57,б) с последующей заменой на дает следующее.

(13.58,а)

(13.58,б)

Теперь можем перенести правую часть уравнения (13.56) в левую и использовать уравнение (13.58,б) для дополнения верхней строки матрицы, чтобы получить "чистый" вид оптимального предсказателя.

(13.59)

В этой форме ненулевой выход матричного произведения имеет место только в момент нуль, что подобно выходному импульсу.

Верхняя строка уравнения (13.59) свидетельствует о том, что мощность ошибки предсказания имеет следующий вид.

(13.60)

Сравните это равенство с (13.50,6). Интересное свойство оптимального N-отводного фильтра с предсказанием состоит в том, что множество коэффициентов, которое задает минимальную среднеквадратическую ошибку предсказания, с нулевой ошибкой предсказывает также последующие N-1 корреляционных выборок на основании предшествующих N-1 корреляционных выборок. Для фиксированных коэффициентов фильтра кодер DPCM может давать усиление предсказания относительно линейного квантования от 6 до 8 дБ [9, 10]. Это усиление, по сути, независимо от длины фильтра, если длина превосходит три или четыре отвода. Дополнительное усиление имеет место, если кодер обладает медленными адаптивными свойствами.

13.3.3. Дельта-модуляция

Дельта-модуляция, часто обозначаемая как Δ-модуляция, представляет собой процесс внедрения низкой разрешающей способности аналого-цифрового преобразователя в контур обратной связи дискретных данных, работающий со скоростью, значительно превышающей частоту Найквиста. Причиной возникновения этой технологии стало то, что в процессе преобразования скорость — это менее дорогой ресурс, чем точность, и разумнее будет использовать более быстрые процессы обработки сигналов для получения более высокой точности.

Из равенства (13.50,в) следует, что усиление предсказания для одноотводного предсказателя могло бы быть большим, если бы нормированный коэффициент корреляции С_x(1) был близок к единице. Для того чтобы увеличить корреляцию выборок, фильтр с предсказанием обычно работает со скоростью, которая далеко превосходит частоту Найквиста. Например, частота произведения выборок может быть выбрана в 64 раза большей, чем частота Найквиста. Тогда для полосы частот в 20 кГц с номинальной частотой выборки 48 кГц фильтр с сильно корреляционным предсказанием будет работать с частотой 3 072 МГц. Причина выбора такой высокой частоты дискретизации заключается в следующем: необходимо убедиться, что выборочные данные имеют высокую корреляцию, так что простой одноотводный предсказатель будет давать малую ошибку предсказания, которая, в свою очередь, допускает работу устройства квантования с очень малым количеством бит в контуре коррекции ошибок. Простейшей формой устройства квантования является однобитовый преобразователь; по сути, это просто компаратор, который обнаруживает и сообщает знак разности сигнала. Как следствие, ошибкой предсказания сигнала является 1-битовое слово, которое имеет интересное преимущество — оно не требует следить за порядком слов при последовательной обработке.

Блок-схема одноотводного линейного предсказателя, изображенного на рис. 13.20, с небольшой модификацией показана на рис. 13.21. Отметим, что одноотводный контур предсказания-коррекции является сейчас просто интегратором и в декодере за контуром предсказания-коррекции следует восстанавливающий фильтр нижних частот. Этот фильтр устраняет выходящий за полосу частот шум квантования, который генерируется двухуровневым кодированием и распространяется за пределы информационной полосы частот этого кодирующего процесса. Кодер полностью описывается частотой дискретизации, размером шага квантования (для разрешения ошибки предсказания или допустимой ошибки контура) и восстанавливающим фильтром. Уравнения для предсказания и остаточной ошибки модулятора имеют следующий вид.

(13.61,а)

(13.61,6)

где п — выборочный индекс. Эта структура, иногда называемая дельта-модулятором, представляет собой процесс DPCM, при котором контур предсказания-коррекции состоит из цифрового аккумулятора.

13.3.4. Сигма-дельта-модуляция

Структура -Δ-модулятора может быть изучена с помощью различных средств; наиболее привлекательными являются модифицированный одноотводный преобразователь DPCM, а также преобразователь с обратной связью по ошибке. Начнем с модифицированного одноотводного преобразователя DPCM. Как указывалось ранее, контур зависит от высокой корреляции последовательных выборок, чего можно достичь за счет передискретизации.

Рис. 13.21. Одноотводный, однобитовый кодер DPCM (дельта-модулятор)

Корреляцию поступающих на модулятор выборочных данных можно усилить посредством предварительной фильтрации данных интегратором и компенсации этой фильтрации с помощью выходного фильтра-дифференциатора. Эта структура изображена на рис. 13.22, где интеграторы, дифференциатор и задержка выражены в терминах z-преобразования (см. приложение Д). Затем для получения выигрыша от реализации можно перегруппировать блоки прохождения сигнала. На вход кодера поступают сигналы с выходов двух цифровых интеграторов, которые затем суммируются и вводятся в контур квантования. Первая модификация состоит в том, чтобы использовать один цифровой интегратор, сдвигая два интегратора через суммирующее устройство в кодер. Вторая модификация состоит в том, что выходной фильтр-дифференциатор может быть сдвинут в декодер, что делает ненужным цифровой интегратор на входе в декодер. Все, что остается от декодера, — это восстанавливающий фильтр нижних частот. Полученная упрощенная форма модифицированной системы DPCM изображена на рис. 13.23. Эта форма, названная сигма-дельта-модулятором, содержит интегратор (сигма) и модулятор DPCM (дельта) [11].

Рис. 13.22. Однобитовый дельта-модулятор

Понять -Δ-модулятор можно путем рассмотрения контура обратной связи по шуму. Понятно, что устройство квантования для получения выходного сигнала добавляет ошибку к своему входному сигналу. Когда выборки образовываются со значительным запасом, то высоко коррелируют не только выборки, но и ошибки. Когда ошибки высоко коррелируют, они предсказуемы, и, таким образом, они могут быть вычтены из сигнала, отправленного на устройство квантования прежде, чем произойдет процесс квантования. Когда сигнал и ошибка представляются передискретизованными выборками, предшествующая ошибка квантования может быть использована как хорошая оценка текущей ошибки.

Рис. 13.23. -Δ -модулятор как перегруппированный Δ-модулятор

Предшествующая ошибка, образованная как разность между входом и выходом устройства квантования, помещается в регистр запаздывания для использования в качестве оценки следующей ошибки квантования. Эта структура изображена на рис. 13.24. Схему прохождения сигнала на рис. 13.24 можно перерисовать так, чтобы акцентировать внимание на двух входах (сигнал и шум квантования) и на двух контурах (включающий устройство квантования и не включающий его). Эта форма изображена на рис. 13.25 и является общепринятой для точного изображения участка обратной связи цифрового интегратора. Эта схема имеет ту же структуру, что и представленная на рис. 13.23. Из рис. 13.25 видно, что выход -Δ-модулятора и его z-преобразование (см. приложение Д) могут быть записаны в следующем виде.

Рис. 13.24. -Δ-модулятор как процесс обратной связи по шуму

Рис. 13.25. Устройство квантования с обратной связью по шуму, изображенное как -Δ -модулятор

(13.62)

(13.63)

Равенство (13.63) свидетельствует о том, что контур не влияет на входной сигнал, поскольку в контуре циркулирует только шум, и только шум испытывает влияние контура. Интегратор в обратной связи по шумовому сигналу превращается (с помощью контура обратной связи единичного усиления) в дифференциатор источника шума.

Удобный механизм отображения частотной передаточной функции предлагает z-плоскость (подобно своему эквиваленту, j-плоскости) (см. приложение Д). Такая функция обычно описывается как дробь, числитель и знаменатель которой имеют форму полиномов, причем корни последних считаются, соответственно, нулями и полюсами передаточной функции. Эти нули и полюсы могут рассматриваться как поверхность над плоскостью, представляющей модуль передаточной функции. Эту поверхность можно представить в виде резинового полотна, натянутого относительно земли на столбики, расположенные в полюсах, и притянутого к земле в нулевых положениях. Модуль частотной характеристики представляет собой уровень этой поверхности при обходе единичной окружности в z-плоскости (или ось iω в s-плоскости). Отметим, что передаточная функция шума (noise transfer function — NTF), которая представляет собой функцию преобразования частоты контура, примененную к шуму, имеет полюс в начале координат и переходит через нуль в точке постоянной составляющей (z = e, = 0, так что z = 1). График, изображающий полюс и нуль функции NTF, спектральную характеристику NTF, а также типичный спектр входного сигнала представлены на рис. 13.26. Отметим, что нуль функции NTF расположен на постоянной составляющей, в окрестности которой шум квантования подавляется NTF. Таким образом, благодаря NTF возле постоянной составляющей нет значительного шума, и при этом спектр сигнала ограничен значительной передискретизацией, выполненной для того, чтобы спектр принадлежал малой окрестности вокруг постоянной составляющей с шириной примерно в 1,5% частоты дискретизации. Функцией восстанавливающего фильтра является подавление шума квантования вне полосы частот сигнала. Частота дискретизации на выходе фильтра теперь снижена для согласования с сокращенной полосой частот сигнала, практически свободного от шума. Дополнительное подавление шума может быть получено с помощью повышения порядка нуля функции NTF. Многие -Δ-модуляторы созданы с функциями NTF, которые имеют нули второго или третьего порядка. Поскольку нули NTF обращают мощность выходного шума в нуль, вряд ли имеет значение, какой уровень мощности шума подан в контур обратной связи. Следовательно, большинство -Δ-модуляторов создается для работы в системах, состоящих из 1-битовых преобразователей плюс несколько высокоточных модуляторов, каждый из которых работает с 4-битовыми преобразователями.

13.3.4.1. Шум Z-Д-модулятора

В предыдущем разделе упоминалось, что с помощью Z-Д-модулятора можно добиться улучшения SNR в квантованных данных за счет передискретизации. Рассмотрим, как это происходит при передискретизованных фильтрованных данных с шумом AWGN, а затем изучим тот же процесс со сформированным шумом.

Рис. 13.26. Передаточная функция шума в z-плоскости, спектр мощности сигнала и сформированный шум -Δ-модулятора

Если шум квантования белый, а сигнал дискретизуется с частотой, превосходящей частоту Найквиста, белый шум равномерно распределен в спектральном интервале, равном частоте дискретизации. Этот интервал называется первой зоной Найквиста, или основной полосой. Поскольку энергия шума квантования зафиксирована на величине q²/12 (см. формулу (13.12)), спектральная плотность мощности шума квантования для сигнала, дискретизованного с частотой fx, должна быть q²/(12fx) Вт/Гц. Работа устройства квантования с повышенной частотой дискретизации уменьшает спектральную плотность мощности шума квантующего устройства в полосе частот сигнала. Передискретизованные данные могут численно фильтроваться с целью отсечения выходящего за полосу шума квантования, после чего можно снизить частоту дискретизации до частоты Найквиста. Если сигнал выбирается с частотой, вдвое превышающей частоту Найквиста, фильтрация отбросит половину мощности шума. Отсечение половины мощности шума сокращает среднеквадратическоезначение амплитуды квантованного шума в раз или мощности на 3 дБ. Чтобы уменьшить мощность шума на 6 дБ и таким образом улучшить шум квантования на 1 бит (см. формулу (13.24)), необходимо осуществить выборку с четырехкратной частотой и отсечь фильтром три четверти шума квантования. Итак, каждое удвоение частоты произведения выборки относительно частоты Найквиста приводит к улучшению SNR преобразователя белого шума на 3 дБ (или половину бита).

Рассмотрим частоту, на которой можно улучшить SNR уже сформированного шума преобразователя, производящего выборку с повышенной частотой. Передаточная функция шума формирующего -Δ-фильтра имеет нуль на постоянной составляющей, что приводит к нулю второго порядка в спектральной характеристике мощности фильтра. Если разложить спектральную характеристику фильтра в ряд Тейлора и отбросить все члены после первого ненулевого слагаемого, получим следующую простую аппроксимацию зависимости фильтра, справедливую в окрестности спектра сигнала.

(13.64)

Здесь fs— частота дискретизации модулятора.

Мощность сформированного шума, "выжившая" после прохождения фильтра нижних частот, который следует за -Δ-модулятором, имеет следующий вид.

(13.65)

Отношение слагаемого шума для сигнала, выбранного с частотой fs к слагаемому шума для сигнала, выбранного с частотой 2 fs ,с последующей фильтрацией до той же выходной полосы частот сигнала fBW равно порядка 8-9 дБ. Таким образом, -Δ -модулятор с единственным нулем в функции NTF улучшает SNR на 9 дБ или на 1,5 бит при удвоении частоты дискретизации. Сигма-дельта-модуляторы, созданные с множественными цифровыми интеграторами и контурами обратной связи, имеют большее число переходов через нуль в NTF. Выполнив аналогичные выкладки, можно найти, что NTF -Δ-модулятора с 2 и 3 нулями улучшает SNR на 15 и 21 дБ (или 2,5 и 3,5 бит). Таким образом, двухнулевой -Δ-модулятор, работающий с частотой, в 64 раза (или удвоенной шесть раз) превышающей частоту Найквиста, дает улучшение SNR на 90 дБ. Спектр, изображенный на рис. 13.27, был образован двухнулевым -Δ-модулятором, и если учесть (1) потери в 6 дБ вследствие спектрального разложения реального сигнала, (2) уменьшение на 2 дБ амплитуды относительно полномасштабного сигнала, (3) потери в 3 дБ вследствие отбрасывания членов дискретного преобразования Фурье, то уровень шума на 79 дБ находится ниже спектрального максимума.

a)

б)

Рис. 13.27. Однобитовый -Δ-модулятор: а) входной и выходной временные ряды; б) спектральная характеристика

13.3.5. Сигма-дельта-аналого-цифровой преобразователь

-Δ-аналого-цифровой преобразователь (analog-to-digital converter — ADC, АЦП) обычно реализуется как интегральная схема, построенная на основе -Δ-модулятора. Для образования полной системы схема должна содержать вспомогательные подсистемы: аналоговый фильтр защиты от наложения спектров (anti-alias filter), схему выборки-запоминания (sample-and-hold circuit), интегратор на переключаемых конденсаторах для модулятора (switched-capacitor integrator), цифро-аналоговый преобразователь (digital-to-analog converter — DAC, ЦАП) с обратной связью и цифровой фильтр повторной выборки (resampling filter). Вследствие высокой передискретизации, аналоговый фильтр защиты от наложения спектров может представлять собой просто RС-цепь с широкой полосой перехода, захватывающей многие октавы. Цифро-аналоговый преобразователь необходим для формирования аналогового сигнала обратной связи. Поскольку ЦАП включен в контур обратной связи, он не выигрывает от изменения коэффициента обратной связи, и, следовательно, его линейность и точность должны соответствовать уровню производительности всей системы. -Δ-модулятор сохраняет точность сигнала в ограниченном сегменте дискретного спектра. Для доступа к этому сегменту спектра высокой точности выход модулятора должен быть отфильтрован и дискретизован с пониженной частотой. Фильтр последующей обработки, расположенный за схемой модуляции, отбрасывает внешний шум, расположенный в полосе частот, существующей вследствие передискретизации. Обычно это фильтр повторной выборки с линейным изменением фазы и конечной импульсной характеристикой.

На рис. 13.27, а изображен входной синусоидальный сигнал, выбираемый с повышенной частотой, и соответствующий выходной сигнал однобитового -Δ-модулятора с двумя нулями. На рис. 13.27, б представлена спектральная характеристика выходного ряда. Отметим, что спектр сформированного шума в окрестности сигнала находится приблизительно на 80 дБ ниже максимума спектра входной синусоиды. Отметим также, что амплитуды выходного сигнала ограничены диапазоном ±1 и контур, по сути, выполняет модуляцию квадратного сигнала пропорционально амплитуде входного сигнала. На рис. 13.28 представлены временной ряд и спектр, полученный на выходе фильтра с дискретизацией на пониженной частоте, следующего за модулятором.

13.3.6. Сигма-дельта-цифро-аналоговый преобразователь

S-Д-модулятор, изначально разрабатываемый как блок в АЦП, выполняет основную часть цифро-аналогового преобразования. Практически все высококачественное аудиооборудование и большинство цифро-аналоговых преобразователей систем связи снабжены -Δ-конвертерами. Процесс использует -Δ-модулятор как цифро-цифровое преобразование, которое преобразует высокоточное (скажем, 16-битовое) представление передискретизованных цифровых данных в представление низкой точности (скажем, 1-битовое). Передискретизованный однобитовый поток данных затем доставляется в 1-битовый ЦАП с двумя аналоговыми выходными уровнями, определенными с той же точностью, что и 16-битовый преобразователь. Преимущество использования однобитового ЦАП с высокой скоростью, но только с двумя уровнями, состоит в том, что скорость — это менее дорогой ресурс, чем точность. 2-уровневый высокоскоростной ЦАП заменяет ЦАП низкой скорости, который мог бы разрешить 65 536 различных уровней.

а)

б)

Рис. 13.28. Фильтр последующей обработки, следующий за -Δ-модулятором: а) входной и выходной временные ряды; б) спектральная характеристика

Очень простая аналоговая фильтрация низкого уровня, следующая за 1-битовым ЦАП, подавляет спектр внеполосного шума и выдает исходные цифровые данные с высокой точностью и в сокращенной полосе частот. Повторное квантование перевыбранных данных представляет собой обработку сигнала с использованием цифрового -Δ-модулятора. Единственная дополнительная задача, которую требуется выполнить при использовании -Δ-ЦАП, состоит в необходимости увеличения частоты произведения выборки в 64 раза, по сравнению с частотой Найквиста. Это выполняется с помощью интерполирующего фильтра, работающего на основе методов цифровой обработки сигналов; этот фильтр представляет собой стандартный блок, который имеется в большинстве систем, использующих ЦАП для перехода между источником цифрового сигнала и аналоговым выходом [12].

В качестве стандартной иллюстрации процесса рассмотрим проигрыватель компакт-дисков, использующий интерполирующий фильтр для реализации преобразования с четырехкратным повышением частоты, приводящего к отделению периодического спектра, который связан с дискретными данными. Это позволяет сглаживающему фильтру, который следует за ЦАП, иметь более широкую полосу частот и, следовательно, меньшее число компонентов и меньшую стоимость реализации. Спецификация компакт-диска содержит такие термины, как, например, "4-to-1 oversampled" ("перевыбран с четырехкратной частотой"), чтобы отразить наличие интерполирующих фильтров. После того как с помощью интерполятора 1:4 будет выполнено четырехкратное увеличение частоты дискретизации, дальнейшее преобразование с использованием недорогого интерполирующего фильтра 1:16 является простой задачей. Для завершения аналогового процесса преобразования данные (теперь выбранные с 64-кратной частотой) подаются на полноцифровой -Δ-модулятор и однобитовый ЦАП. Эта структура изображена на рис. 13.29.

Рис. 13.29. Схема прохождения сигнала в -Δ-цифро-аналоговом преобразователе

Существует много сигналов, которые по отношению к полосе частот сигнала выбираются с очень большой частотой. Эти сигналы могут быть легко преобразованы в аналоговую форму с использованием -Δ-модулятора и 1-битового ЦАП. Примерами являются контрольные сигналы схем АРУ, несущие ГУН и сигналы синхронизации ГУН. Многие системы используют -Δ-модулятор и 1-битовый ЦАП для генерации и формирования аналоговых сигналов управления.