Дискретизация аналоговых сигналов. Сигнал – это физический процесс (например, изменяющиеся во времени токи и напряжения), содержащий в себе некоторую информацию. Любой сигнал можно описать математической функцией.

Существуют аналоговые, дискретные и цифровые сигналы. Аналоговые сигналы описываются непрерывной во времени функцией x(t), которая может принимать любые значения в определенном интервале (рис. 19.1, а); дискретные сигналы x_Т(t) представляют собой последовательности или отсчеты функции x(t), взятые в определенные дискретные моменты времени kT (рис. 19.1, б); цифровыми являются сигналы, которые в дискретные моменты времени kT принимают конечные дискретные значения – уровни квантования (рис. 19.1, в), которые затем кодируются двоичными числами. (На рис. 19.1, в, D – шаг квантования).

Если в цепь микрофона (рис. 19.1), где ток i(t) является непрерывной функцией времени, встроить ключ и периодически на короткие мгновения замыкать его, то ток в цепи будет иметь вид узких импульсов с амплитудами, повторяющими форму непрерывного сигнала. Последовательность этих импульсов, которые называют отсчетами непрерывного сигнала, и представляет собой, не что иное, как дискретный сигнал. Причем, во всех этих записях k – целое число, принимающее как положительные, так и отрицательные значения.

В отличие от непрерывного сигнала i(t) дискретный сигнал можно обозначить i_Т(t). Так, на рис. 19.1 при k < 0 дискретный сигнал i_Т(t) º 0. При k = 0 значение i_Т(0T) равно значению сигнала i(t) в момент времени t = 0. При k > 0 отсчеты i(kT) повторяют форму сигнала i(t), т. к. их амплитуды равны значениям непрерывного сигнала в моменты времени kT.

Дискретные сигналы можно задавать графиками, как это показано на рис. 19.1, формулами, например, , в виде таблиц дискретных значений или другими способами.

Цифровые сигналы будут рассмотрены в 19.7. Цифровые фильтры.

Математическая модель дискретного сигнала. Аналитически дискретный сигнал х_Т(t) удобно представлять с помощью дискретизирующей последовательности d-функций:

(19.1)

Тогда х_Т(t) можно представить в виде

(19.2)

т. е. дискретный сигнал х_Т(t) с помощью (19.2) представляется в виде последовательности d-функций с весовыми коэффициентами, равными отсчетам х(kT) аналогового сигнала х(t) в точках kT. На рис. 19.2 изображена схема, иллюстрирующая процедуру формирования дискретного сигнала согласно формулы (19.2).

Рассмотрим примеры некоторых дискретных сигналов, полученных из типовых аналоговых сигналов.

Пример. Единичный ступенчатый аналоговый сигнал 1(t) приведен на рис. 19.3.

Соответствующий ему дискретный сигнал x_T(t) называется ступенчатой последовательностью. Он определяется следующим образом:

Такая последовательность приведена на рис. 19.3.

Пример. Импульс Дирака или d-функция в аналоговой области приведена на рис. 19.4.

Дельта-последовательность или дискретная d-функция определяется выражением

Последовательность d_T(t), приведенная на рис. 19.4, принимает единственное значение, равное 1, при k = 0. Этот сигнал можно сдвинуть на m интервалов (рис. 19.4):

Интервал времени T, через который отсчитываются значения непрерывного сигнала i(t), называется интервалом дискретизации. Обратная величина 1/T (обозначим ее f_д) называется частотой взятия отсчетов или частотой дискретизации.

Отсчеты непрерывного сигнала следует брать с такой частотой (или через такой интервал времени), чтобы успевать отследить все, даже самые быстрые, изменения сигнала. Иначе, при восстановлении этого сигнала по дискретным отсчетам часть информации будет потеряна и форма восстановленного сигнала будет отличаться от формы исходного (рис. 19.5). Если обратиться к схеме рис. 19.1, то это означает, что звук на приеме будет восприниматься с искажениями.

Для сигналов с ограниченным спектром, т. е. сигналов, у которых спектр ограничен некоторой верхней частотой w_в = 2pF_в существует теорема Котельникова, определяющая выбор интервала дискретизации T (или, что то же, частоты дискретизации). Эта теорема впервые была доказана В.А. Котельниковым в 1933 г. в работе «О пропускной способности «эфира» и проволоки в электросвязи» ставшей основополагающей в теории и технике цифровой связи.

Теорема Котельникова. Если функция x(t) имеет спектр, ограниченный верхней частотой F_в, то x(t) полностью определяется последовательностью своих значений (отсчетов) в моменты времени, отстоящие друг от друга на период Т Ô 1/2F_в.

Математически теорема Котельникова записывается следующим образом

(19.3)

где w_в = 2pF_в; Т = 1/2F_в; x(kT) – значения (отсчеты) функции x(t) в моменты kT.

Доказательство теоремы Котельникова дается в общей теории связи. Здесь же отметим, что функция вида (t¢ = t – kT) известна нам как функция отсчетов, поэтому теорему Котельникова иногда называют еще теоремой отсчетов.

Физический смысл теоремы Котельникова (19.3) заключается в том, что непрерывная функция x(t) с ограниченным спектром F_в полностью может быть восстановлена, если известны ее отсчеты, взятые через интервал Т Ô 1/2F_в. Эта теорема играет очень большую роль в теории связи, т. к. позволяет передачу аналоговых сигналов заменить передачей дискретных или цифровых сигналов, что позволяет существенно повысить эффективность систем связи.