1. Линейная алгебра

1.1. Определители (детерминанты)

1.2. Матрицы

1.3. Системы линейных уравнений

2. Векторная алгебра

3. Аналитическая геометрия

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

3.1.2. Плоскость в пространстве

3.1.3. Прямая в пространстве

3.2. Кривые второго порядка

3.2.1. Окружность

3.2.2. Эллипс

3.2.3. Гипербола

3.2.4. Парабола

3.3. Поверхности второго порядка

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

4. Комплексные числа

4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

4.4. Показательная форма комплексного числа

4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

5. Введение в анализ

5.1. Функции. Общие свойства

5.2. Основные элементарные функции

5.3. Теория пределов

5.4. Непрерывность функции

6. Дифференциальное исчисление

6.1. Определение производной

6.2. Основные правила дифференцирования

6.3. Производные основных элементарных функций

6.4. Гиперболические функции

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

6.6. Исследование функций

7. Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

7.1.2. Основные методы интегрирования

7.1.3. Таблица интегралов

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

7.2.2. Приложения определенного интеграла

1. Линейная алгебра

1.1. Определители (детерминанты)

Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .

Определитель второго порядка: .

Определитель третьего порядка:

Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:

Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:

-алгебраическое дополнение элемента , ,

-минор элемента , т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.

1.2. Матрицы

Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов):

,   где ; .

Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и .

Квадратная матрица порядка n: .

Сложение матриц: , где .

Свойства сложения матриц:

1) ассоциативность: ;

2) коммутативность: ;

Умножение матрицы на число: .

Умножение матриц: .

Свойства умножения матриц:

1. 1. ассоциативность: ;
   2. некоммутативность.
   3. определитель произведения квадратных матриц: .

Транспонирование матрицы: .

Свойство транспонирования произведения матриц: .

Невырожденная (неособая) матрица: .

Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .

Свойства обратной матрицы:

1) ;

2) .

Виды матриц:

единичная матрица:

симметрическая матрица:

ортогональная матрица: A - невырождена и

кососимметрическая матрица: ;

матрица-строка:

матрица-столбец: .

Ранг матрицы - наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.

1.3. Системы линейных уравнений

- неизвестные;aij –коэффициент в i-ом уравнении при j-ом неизвестном;   - свободные члены.

Матричный вид: , - матрица системы,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных членов.

Совместность системы: , где - расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).

Формулы Крамера (n=m): , - определитель матрицы системы; -определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.

Однородная система (B=0):

Если , то система имеет только нулевое решение .Если , то существуют ненулевые решения.

2. Векторная алгебра

Наименование	Обозначение, формула
Вектор и его выражение в декартовых координатах	a=ax i+ay j+az k=(ax, ay, az)
Модуль (длина) вектора
Направляющие косинусы вектора
Сложение двух векторов	a+b=(ax+bx, ay+by ,az+bz)
Умножение вектора на скаляр	ka=(kax, kay, kaz)
Скалярное произведение двух векторов
Скалярное произведение в декартовых координатах	ab=axbx+ayby+azbz
Условие ортогональности двух ненулевых векторов	ab=0 a b
Векторное произведение двух векторов	, e a, e be - единичный вектор a, b, e - правая тройка векторов
Векторное произведение в декартовых координатах
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов	a || b
Смешанное произведение трех векторов
Смешанное произведение в декартовых координатах
Условие компланарности трех ненулевых векторов	abc=0 a, b, c - компланарныe векторы (лежат в одной плоскости)
Линейно независимая система векторов	{a1,a2,…,an} - линейно независима только при условии .

3. Аналитическая геометрия

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

; ,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и - нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

1. ;
2. ;
3. , где и - угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

1. n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂=0;
2. q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l_1l2+m_1m2=0;
3. 

3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

 

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

;

где и -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n₁ n₂ n₁ n₂=0 или A₁A₂+B₁B₂+С₁С₂=0.

3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

 

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

,

где и - направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q₁ q₂ q₁ q₂=0 или l₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0.

3.2. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

.

3.2.1. Окружность

3.2.2. Эллипс

 

3.2.3. Гипербола

3.2.4. Парабола

 

3.3. Поверхности второго порядка

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

координаты нового начала координат: .

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

угол поворота: j .

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам и обратно:

Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:

4. Комплексные числа

Мнимая единица .

4.1. Алгебраическая форма комплексного числа

, где a, b – действительные числа; a - действительная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа;

Обозначения действительной и мнимой части: .

Модуль комплексного числа: .

Сопряжённые комплексные числа: и .

4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме

;

;

.

4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа

,

где - аргумент комплексного числа, .

4.4. Показательная форма комплексного числа

.

Формула Эйлера: .

4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме

,

,

, где .

Формула Муавра: .

5. Введение в анализ

5.1. Функции. Общие свойства

Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.

Аналитическое представление функции:

в явном виде: ;

в неявном виде: ;

в параметрической форме: ;

разными формулами в области определения (a,c]: .

Четная функция: .

Нечетная функция: .

Периодическая функция: , где T – период функции, .

5.2. Основные элементарные функции

 

Графики основных элементарных функций:

5.3. Теория пределов

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента ,
начиная с которого выполняется неравенство .

Обозначение: .

Пределом функции при называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству выполняется неравенство .

Обозначение:
.

Формула для вычисления предела элементарной функции в точке , где : .

Бесконечно малая величина при есть функция такая, что .

Бесконечно большая величина при есть функция такая, что .

Первый замечательный предел: .

Следствия: ; ;

Второй замечательный предел: , где e=2,71828…

Следствия: ; ; ; .

Эквивалентные бесконечно малые величины при :

x ~sinx ~ tgx
~ arcsinx ~
arctgx ~
e^x-1~ ln(1+x).

Виды неопределенностей:

 

Символическое обозначение	Содержание неопределенности	Пределы компонент при x ® a
		a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
		b 1(x) ®¥ b 2(x) ®¥
		a (x) ® 0 b (x) ®¥
		b 1(x) ®¥ b 2(x) ®¥
		g (x) ®1 b (x) ®¥
		a 1(x) ® 0 a 2(x) ® 0
		a (x) ® 0 b (x) ®¥

 

5.4. Непрерывность функции

Функция непрерывна в точке , где , если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.

Эквивалентные условия:

1. 1. ;
   2. ,
      где ;
   3. ;
   4. .

Классификация точек разрыва:

разрыв I рода:

- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;

- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;

разрыв II рода: предел функции в точке не существует.

6. Дифференциальное исчисление

6.1. Определение производной

Пусть - определена и непрерывна в окрестности x₀

Производная функции в точке x₀ и ее обозначения:

6.2. Основные правила дифференцирования

6.3. Производные основных элементарных функций

6.4. Гиперболические функции

 

Обратные гиперболические функции

 

Графики гиперболических функций:

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x) :

Производная n-го порядка (n-ая производная) функции y=f(x):

Формула Тейлора:

где
- остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):

6.6. Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.

7. Интегральное исчисление

7.1. Неопределенный интеграл

7.1.1. Определения и свойства

Функция называется первообразной для , если .

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.

Обозначение: , где - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

1. 1. Производная неопределенного интеграла: .
   2. Дифференциал неопределенного интеграла: .
   3. Неопределенный интеграл от дифференциала: .

• Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций:;

4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:;

4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:

7.1.2. Основные методы интегрирования

1. 1. использование свойств неопределенного интеграла;
   2. подведение под знак дифференциала;
   3. метод замены переменной:

а) замена в интеграле :

где - функция, интегрируемая легче, чем исходная; - функция, обратная функции ; - первообразная функции ;

б) замена в интеграле вида :

;

1. 1. метод интегрирования по частям: .

 

 

7.1.3. Таблица интегралов

1. Степенная функция

частные случаи

,

2. Показательная функция
частный случай

3. Рациональные функции

4. Иррациональные функции

5. Тригонометрические функции

6. Содержит тригонометрические функции

7.2. Определенный интеграл

7.2.1. Определения и свойства

,
где

Свойства определенного интеграла

1. 1. Интеграл от суммы или разности двух функций: .

• Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:

 

.

• Свойство аддитивности: .
• Неотрицательность интеграла: если ,, то .
• Сохранение неравенства: если и , то .
• Теорема о среднем: , где , - непрерывна на .
• Формула Ньютона-Лейбница: , где - первообразная для .
• Интегрирование по частям: .
• Замена переменной:

 

а)

, где , , и непрерывна на , а непрерывна и монотонна на

б) , где u=j (x), c=j (a), d=j (b).

7.2.2. Приложения определенного
интеграла