3.3. Поверхности второго порядка
4.1. Алгебраическая форма комплексного числа
4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
4.4. Показательная форма комплексного числа
4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме
6. Дифференциальное исчисление
6.2. Основные правила дифференцирования
6.3. Производные основных элементарных функций
1. Линейная алгебра
1.1. Определители (детерминанты)
Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .
Определитель второго порядка: .
Определитель третьего порядка:
Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:
Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:
-алгебраическое дополнение элемента
,
,
-минор элемента
, т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
1.2. Матрицы
Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов): | ![]()
где |
Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и
.
Квадратная матрица порядка n: .
Сложение матриц: , где
.
Свойства сложения матриц:
1) ассоциативность: ;
2) коммутативность: ;
Умножение матрицы на число: .
Умножение матриц: .
Свойства умножения матриц:
-
- ассоциативность:
;
- некоммутативность.
- определитель произведения квадратных матриц:
.
- ассоциативность:
Транспонирование матрицы: .
Свойство транспонирования произведения матриц: .
Невырожденная (неособая) матрица: .
Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .
Свойства обратной матрицы:
1) ;
2) .
Виды матриц:
единичная матрица:
симметрическая матрица:
ортогональная матрица: A - невырождена и
кососимметрическая матрица: ;
матрица-строка:
матрица-столбец: .
Ранг матрицы - наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.
1.3. Системы линейных уравнений
![]() |
![]()
|
Матричный вид: ,
- матрица системы,
![]() |
- столбец неизвестных, |
![]() |
- столбец свободных членов. |
Совместность системы: , где
- расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).
Формулы Крамера (n=m): ,
- определитель матрицы системы;
-определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.
Однородная система (B=0):
![]() |
Если ![]() то система им ![]() ![]() то существуют ненулевые решения. |
2. Векторная алгебра
Наименование |
Обозначение, формула |
Вектор и его выражение в декартовых координатах |
a=ax i+ay j+az k=(ax, ay, az) |
Модуль (длина) вектора |
|
Направляющие косинусы вектора |
|
Сложение двух векторов |
a+b=(ax+bx, |
Умножение вектора на скаляр |
ka=(kax, |
Скалярное произведение двух векторов |
|
Скалярное произведение в декартовых координатах |
ab=axbx+ayby+azbz |
Условие ортогональности двух ненулевых векторов |
ab=0 |
Векторное произведение двух векторов |
|
Векторное произведение в декартовых координатах |
|
Условие коллинеарности двух ненулевых векторов |
|
Смешанное произведение трех векторов |
|
Смешанное произведение в декартовых координатах |
|
Условие компланарности трех ненулевых векторов |
abc=0 ![]() векторы (лежат в одной плоскости) |
Линейно независимая система векторов | {a1,a2,…,an} - линейно независима ![]() ![]() |
3. Аналитическая геометрия
3.1. Линейные образы
3.1.1. Прямая на плоскости
Виды уравнений
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
![]() |
общее уравнение прямой на плоскости | n=(A,B) - нормальный вектор прямой;
k - a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y; q=(l,m) - направляющий вектор прямой |
![]() |
уравнение прямой, проходящей через данную точку | |
![]() |
уравнение прямой с данным угловым коэффициентом | |
![]() |
уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом | |
![]() |
уравнение прямой, проходящей через две точки | |
![]() |
уравнение прямой в отрезках | |
![]() |
каноническое уравнение прямой |
Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:
;
,
где и
-нормальный и направляющий векторы первой прямой;
и
- нормальный и направляющий векторы второй прямой.
Условия параллельности двух прямых на плоскости:
;
;
, где
и
- угловые коэффициенты прямых.
Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:
- n1
n2
n1
n2=0 или A1A2+B1B2=0;
- q1
q2
q1
q2=0 или l1l2+m1m2=0;
3.1.2. Плоскость в пространстве
Виды уравнений
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
![]() |
общее уравнение плоскости в пространстве | ![]()
a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью
p - длина перпендикуляра, опущенного |
![]() |
уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
![]() |
уравнение плоскости в отрезках | |
![]()
|
нормальное уравнение плоскости |
Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:
.
Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:
;
где и
-нормальные векторы плоскостей.
Условие параллельности двух плоскостей:
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
n1 n2
n1
n2=0 или A1A2+B1B2+С1С2=0.
3.1.3. Прямая в пространстве
Виды уравнений
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
![]() |
общие уравнения прямой в пространстве | ![]() ![]() ![]() направляющий вектор прямой; ![]() ![]() ![]() координаты фиксированных точек на прямой |
![]() |
канонические уравнения прямой в пространстве | |
![]() |
параметрические уравнения прямой в пространстве | |
![]() |
уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки |
Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:
,
где и
- направляющие векторы прямых.
Условие параллельности двух прямых в пространстве:
.
Условие ортогональности двух прямых в пространстве:
q1 q2
q1
q2=0 или l1l2+m1m2+n1n2=0.
3.2. Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка:
.
3.2.1. Окружность
Каноническое уравнение:
Радиус окружности: a. |
![]() |
||||
Параметрическое уравнение: | ![]() |
Уравнение в полярных координатах: | ![]() |
||
Уравнение окружности радиуса ![]() ![]() |
![]() |
3.2.2. Эллипс
Каноническое уравнение:
Полуоси эллипса: |
![]() |
|||
Эксцентриситет: |
![]() ![]() |
Параметрическое уравнение: | ![]() |
3.2.3. Гипербола
Каноническое уравнение:
Действительная полуось: a, мнимая полуось: |
![]() |
|
Эксцентриситет: |
Асимптоты: ![]() |
Параметрическое |
3.2.4. Парабола
Каноническое уравнение:
Параметр: p. |
![]() |
3.3. Поверхности второго порядка
Каноническое уравнение |
Наименование |
Параметры |
Чертеж |
|
сфера |
a – |
![]() |
|
эллипсоид |
|
![]() |
|
однополостный гиперболоид |
|
![]() |
|
двуполостный гиперболоид |
|
![]() |
|
эллиптический параболоид |
|
![]() |
|
гиперболический параболоид |
|
![]() |
|
конус |
|
![]() |
|
параболический цилиндр |
р - параметр |
![]() |
|
эллиптический цилиндр |
|
![]() |
|
гиперболический цилиндр |
|
![]() |
3.4. Преобразование координат
3.4.1. Преобразование координат на плоскости
Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.
Параллельный перенос: ![]()
|
![]() |
где координаты точки M в старой системе координат: ;
координаты точки M в новой системе координат: ;
координаты нового начала координат: .
Поворот: ![]()
|
![]() |
где координаты точки M в старой системе координат: ;
координаты точки M в новой системе координат: ;
угол поворота: j .
Переход от декартовых прямоугольных координат ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
3.4.2. Преобразование координат в пространстве
Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам
и обратно:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Переход от декартовых координат к сферическим координатам
и обратно:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
4. Комплексные числа
Мнимая единица .
4.1. Алгебраическая форма комплексного числа
, где a, b – действительные числа; a - действительная часть комплексного числа, b - мнимая часть комплексного числа;
Обозначения действительной и мнимой части: .
Модуль комплексного числа: .
Сопряжённые комплексные числа: и
.
4.2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме
;
;
.
4.3. Тригонометрическая форма комплексного числа
,
где - аргумент комплексного числа,
.
4.4. Показательная форма комплексного числа
.
Формула Эйлера: .
4.5. Действия над комплексными числами в тригонометрической и показательной форме
,
,
, где
.
Формула Муавра: .
5. Введение в анализ
5.1. Функции. Общие свойства
Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
Аналитическое представление функции:
в явном виде: ;
в неявном виде: ;
в параметрической форме: ;
разными формулами в области определения (a,c]: .
Четная функция: .
Нечетная функция: .
Периодическая функция: , где T – период функции,
.
5.2. Основные элементарные функции
Название |
Формула |
Частные случаи |
|
1 |
Постоянная | ![]() |
![]() |
2 |
Степенная функция | ![]() |
![]()
|
3 |
Показательная функция | ![]() |
![]() |
4 |
Логарифмическая функция | ![]() |
![]() ![]() |
5 |
Тригонометрические функции | ![]() ![]()
|
|
6 |
Обратные тригонометрические функции | ![]()
|
Графики основных элементарных функций:
Парабола |
Гипербола
|
График показательной функции |
График логарифмической фунгкции |
Синусоида |
|
|
5.3. Теория пределов
Пределом функции при
называется число b, если для любого
(e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента
,
начиная с которого выполняется неравенство .
Обозначение: .
Пределом функции при
называется число b, если для любого
(e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству
выполняется неравенство
.
Обозначение:
.
Формула для вычисления предела элементарной функции в точке
, где
:
.
Бесконечно малая величина при есть функция
такая, что
.
Бесконечно большая величина при есть функция
такая, что
.
Первый замечательный предел: .
Следствия: ;
;
Второй замечательный предел: , где e=2,71828…
Следствия: ;
;
;
.
Эквивалентные бесконечно малые величины при :
x ~sinx ~ tgx
~ arcsinx ~
arctgx ~
ex-1~ ln(1+x).
Виды неопределенностей:
Символическое обозначение |
Содержание неопределенности |
Пределы компонент при x ® a |
|
![]() |
a 1(x) a 2(x) |
|
![]() |
b 1(x) b 2(x) |
|
![]() |
a b |
|
![]() |
b 1(x) b 2(x) |
|
![]() |
g b |
|
![]() |
a 1(x) a 2(x) |
|
![]() |
a b |
5.4. Непрерывность функции
Функция непрерывна в точке
, где
, если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.
Эквивалентные условия:
-
;
,
где;
;
.
Классификация точек разрыва:
разрыв I рода:
- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;
- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;
разрыв II рода: предел функции в точке не существует.
6. Дифференциальное исчисление
6.1. Определение производной
Пусть - определена и непрерывна в окрестности x0
Производная функции в точке x0 и ее обозначения:
6.2. Основные правила дифференцирования
Наименование |
Функция |
Производная |
Линейная комбинация двух функций
Частные случаи: a) умножение б) сумма (разность) двух функций |
|
|
Произведение
а) двух функций б) трех функций |
|
|
Частное двух функций |
|
|
Сложная функция |
y=F(u), u=j (x) |
|
Обратная функция |
|
|
Параметрическое задание функции |
|
|
Логарифмическое дифференцирование |
|
|
6.3. Производные основных элементарных функций
№ п/п |
Наименование функции |
Функция и её производная |
1 |
константа | ![]() |
2 |
степенная функция
частные случаи |
![]()
|
3 |
показательная функция
частный случай |
![]()
|
4 |
логарифмическая функция
частный случай |
![]()
|
5 |
тригонометрические функции | ![]() ![]() ![]() ![]() |
6 |
обратные тригонометрические функции |
![]() ![]() ![]() ![]() |
6.4. Гиперболические функции
Наименование |
Формула |
Производная |
Гиперболический синус | ![]() |
![]() |
Гиперболический косинус формула | ![]() |
![]() |
Гиперболический тангенс | ![]() |
![]() |
Гиперболический котангенс | ![]() |
![]() |
Обратные гиперболические функции
Наименование |
Формула |
Производная |
Ареасинус | ![]() |
![]() |
Ареакосинус | ![]() |
![]() |
Ареатангенс | ![]() |
![]() |
Ареакотангенс | ![]() |
![]() |
Графики гиперболических функций:
6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора
Производная второго порядка функции y=f(x) :
Производная n-го порядка (n-ая производная) функции y=f(x):
Формула Тейлора:
где
- остаточный член в форме Лагранжа.
Формула Маклорена (a=0):
6.6. Исследование функций
План полного исследования функции:
1. Элементарное исследование:
- найти область определения и область значений;
- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;
- найти точки пересечения с осями координат;
- определить участки знакопостоянства.
2. Исследование с помощью предела:
- найти точки разрыва и выяснить их характер;
- найти область непрерывности;
- найти вертикальные и наклонные асимптоты.
3. Исследование с помощью
:
- найти критические точки;
- определить интервалы возрастания и убывания функции;
- определить экстремумы.
4. Исследование с помощью
:
- найти точки, в которых
или не существует;
- найти участки выпуклости и вогнутости;
- определить точки перегиба.
5. Построение графика функции.
Рекомендации по применению плана исследования функции:
- Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
- Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
- Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
- Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.
7. Интегральное исчисление
7.1. Неопределенный интеграл
7.1.1. Определения и свойства
Функция называется первообразной для
, если
.
Неопределенным интегралом от функции f(x) называется совокупность всех первообразных для этой функции.
Обозначение: , где
- произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
-
- Производная неопределенного интеграла:
.
- Дифференциал неопределенного интеграла:
.
- Неопределенный интеграл от дифференциала:
.
- Производная неопределенного интеграла:
- Неопределенный интеграл от линейной комбинации функций:
;
4а. Неопределенный интеграл от суммы (разности) двух функций:;
4б. Вынесение постоянного множителя за знак неопределенного интеграла:
7.1.2. Основные методы интегрирования
-
- использование свойств неопределенного интеграла;
- подведение под знак дифференциала;
- метод замены переменной:
а) замена в интеграле
:
где
- функция, интегрируемая легче, чем исходная;
- функция, обратная функции
;
- первообразная функции
;
б) замена в интеграле вида
:
;
-
- метод интегрирования по частям:
.
- метод интегрирования по частям:
7.1.3. Таблица интегралов
- Степенная функция
частные случаи
,
2. Показательная функция
частный случай
3. Рациональные функции
4. Иррациональные функции
5. Тригонометрические функции
6. Содержит тригонометрические функции
7.2. Определенный интеграл
7.2.1. Определения и свойства
,
где
Свойства определенного интеграла
-
- Интеграл от суммы или разности двух функций:
.
- Интеграл от суммы или разности двух функций:
- Внесение или вынесение постоянного множителя за знак интеграла:
.
- Свойство аддитивности:
.
- Неотрицательность интеграла: если
,
, то
.
- Сохранение неравенства: если
и
, то
.
- Теорема о среднем:
, где
,
- непрерывна на
.
- Формула Ньютона-Лейбница:
, где
- первообразная для
.
- Интегрирование по частям:
.
- Замена переменной:
а)
, где
,
,
и
непрерывна на
, а
непрерывна и монотонна на
б) , где u=j (x), c=j (a), d=j (b).
7.2.2. Приложения определенного
интеграла
Характеристика |
Вид функции |
Формула |
площадь криволинейной трапеции | в декартовых координатах | ![]() |
площадь криволинейного сектора | в полярных координатах | ![]() |
площадь криволинейной трапеции | в параметрической форме | ![]() |
длина дуги кривой | в декартовых координатах | ![]() |
длина дуги кривой | в полярных координатах | ![]() |
длина дуги кривой | в параметрической форме | ![]() |
объём тела вращения | в декартовых координатах | ![]() |
объём тела с заданным поперечным сечением | ![]() |