Передаточная функция цепи по напряжению

Определим передаточную функцию по напряжению цепи с обратной связью на примере схемы, изображенной на рис. 14.1 а, и проанализируем влияние ОС на основные параметры усилителя с ОС цепи как сложного четырехполюсника.

Для этого типа ОС можно записать следующее равенство согласно ЗНК в операторной форме (рис. 14.1, а):

Тогда для изображения выходного напряжения можно согласно рис. 14.2 записать:

где – операторная передаточная функция по напряжению.

Операторное изображение Uос(р) можно записать через передаточную функцию Нос(р) цепи обратной связи

а напряжение U1(р) через передаточную функцию усилителя Ну(р):

Отсюда с учетом (14.1) и (14.2) операторная передаточная функция по напряжению цепи с ОС (см. рис. 14.2) будет равна

Переходя в (14.3) от оператора р к оператору jw , получаем комплексную передаточную функцию

Таким образом, частотные свойства цепи в равной мере зависят как от Hу(jw ) канала прямого усиления, так и от Нос(jw ) цепи обратной связи. Поэтому можно, оставляя неизменным основной элемент системы, в широких пределах изменять частотную характеристику всей цепи, изменяя лишь параметры цепи обратной связи.

Произведение Hу(jw )× Нос(jw ) = Нр(jw ) представляет собой комплексную передаточную функцию усилителя и цепи обратной связи при условии, что обратная связь разорвана (рис. 14.3, а). Функцию Нр(jw ) называют передаточной функцией по петле ОС или петлевым усилением. Введем понятия положительной и отрицательной обратной связи. Эти понятия играют заметную роль в теории цепей с обратной связью.

Предположим вначале, что передаточные функции Hу, Нос, Нр не зависят от частоты и являются вещественными числами. Такая ситуация возможна, когда в цепи отсутствуют LC-элементы. При этом Нр может быть как положительным, так и отрицательным числом. В первом случае сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями, или другими словами, сдвиг фаз по петле обратной связи равен нулю или 2kp , k = 0, 1, 2, ... Во втором случае, когда Нр < 0, сдвиг фаз по этой петле равен ±p или ±(2k – 1)p . (Заметим, что сдвиг фаз на ±p можно легко получить путем перекрещивания проводов, например так, как показано на рис. 14.3, б).

Если в цепи с обратной связью сдвиг фаз по петле равен нулю, то обратная связь называется положительной, если же сдвиг фаз равен ±p , то такая обратная связь называется отрицательной.

Передаточную функцию Нр(jw ) можно изобразить в виде векторов и показать их на комплексной плоскости. При положительной обратной связи вектор Нр(jw ) находится на положительной вещественной полуоси, а при отрицательной обратной связи — на отрицательной вещественной полуоси.

Напомним, что годографом называется кривая, которую описывает конец вектора Нр(jw ) при изменении частоты w (рис. 4.3, в и 14.4).

Представление Нр(jw ) в виде годографа позволяет определить вид обратной связи в случае частотнозависимой обратной связи.

Обратная связь называется положительной, если годограф Нр(jw ) лежит в правой, и отрицательной – если в левой полуплоскости комплексной плоскости. Отрицательная ОС применяется для стабилизации коэффициента усиления, подавления паразитных сигналов, коррекции частотных характеристик; положительная ОС может являться причиной неустойчивости цепи. Поясним это. Пусть Нос и Hуположительные вещественные числа. Тогда при Hу× Нос = 1, т. е. когда Нос = 1/ Hу, значение передаточной функции (14.4) стремится к бесконечности. Это означает, что даже при бесконечно малых значениях амплитуды входного напряжения uвx(t) амплитуда выходного напряжения uвыx(t) будет неограниченно возрастать. Говорят, что в этом случае наступает самовозбуждение цепи с ОС. Поэтому при проектировании цепей с обратной связью одной из основных задач является исследование их устойчивости. Таким образом, термины неустойчивость и самовозбуждение являются синонимами.

Влияние ОС на параметры усилителя

Обратная связь существенно влияет на результирующие параметры цепи с ОС; в частности ее входное и выходное сопротивления и коэффициенты передачи. Рассмотрим влияние ОС на параметры усилителя на примере схемы, изображенной на рис. 14.2.

На рис. 14.5 изображена эквивалентная схема с зависимым источником напряжения с H-параметрами при отсутствии внутренней ОС (H12 = 0);

Четырехполюсник ОС представлен в виде четырехполюсника с матрицей Hос-параметров

Запишем согласно (12.5) уравнения активного и пассивного четырехполюсников в H-параметрах:

Матрица H-параметров сложного четырехполюсника определяется с учетом 12.3. Применение матриц к расчету четырехполюсников как

Поскольку в данной схеме (рис. 14.5) ОС предназначена для получения на выходе четырехполюсника определенного напряжения Uос, то основное значение на свойство усилителя должен играть коэффициент H12ос. Учитывая, что цепь ОС отбирает часть полезной энергии из нагрузки необходимо стремиться, чтобы H22ос H22. Кроме того, для уменьшения потерь входного сигнала на входном сопротивлении цепи с ОС, необходимо выполнение условия H11 H11ос. Если при этом учесть, что обычно H21 H21ос и для пассивной цепи H12ос < 1, то окончательно матрица H-параметров сложного четырехполюсника с цепью ОС примет вид

При этом уравнения передачи H-параметров примут вид (рис. 14.5, б)

С помощью системы уравнений (14.9) можно определить искомые зависимости токов и напряжений от параметров цепи ОС. Можно, в частности показать, что отрицательная ОС (ООС) уменьшает коэффициент передачи по напряжению усилителя в k-раз, а входное сопротивление увеличивает в k-раз, где

Так как рассмотренный тип ОС (последовательной по напряжению) ведет к увеличению входного и уменьшению выходного сопротивлений усилителя, то это позволяет осуществить трансформацию сопротивлений, что используется для согласования отдельных каскадов усилителя.

Следует также отметить, что коэффициент передачи ОУ с последовательной ОС по напряжению при бесконечно большом коэффициенте усиления является функцией только параметров элементов цепи ОС.

В заключении рассмотрим влияние ОС на стабильность коэффициента усиления, как основного показателя усилителя.

Для отрицательной и вещественной ОС согласно уравнению (14.4) для коэффициента усиления усилителя можно записать

Продифференцируем (14.11) по Hу и Hос

Отсюда относительная нестабильность коэффициента усиления с учетом (14.11) будет равна

Анализ (14.13) показывает, что нестабильность коэффициента усиления усилителя с ОС в раз меньше чем без ОС.

Равенство (14.14) показывает, что при , т. е. пропорционально нестабильности коэффициента передачи цепи ОС, поэтому стараются цепь ОС сделать достаточно стабильной.

Аналогичным образом можно найти коэффициент передачи и исследовать влияние ОС на параметры других схем с ОС (см. рис. 14.1 б)—г)). При этом надо иметь ввиду, что в соответствующих выражениях будут фигурировать не только комплексные коэффициенты передачи по напряжению, но и по току, а также передаточные комплексные сопротивления и проводимости. Кроме того уравнения передачи соответствующих четырехполюсников в зависимости от типа соединения должны быть записаны в Z или F-параметрах.