Задача 1.

Теоретическое введение

Функцией переменной величины , называется величина такая, что каждому значению , принадлежащей некоторой области , соответствует единственное значение величины .

Обозначение: .

– область определения функции, – аргумент.

– область изменения функции, – значение;

Функция может быть задана аналитически, таблично, графически.

Основными элементарными функциями являются:

1. 1. степенные (, где – произвольное число)

• показательные (, , )
• логарифмические (,, )
• тригонометрические
  (, , , )
• обратные тригонометрические
  (,,, )

Композиция (суперпозиция) двух функций и есть функция, в которой аргументом одной из данных функции, является значение другой функции.
Обозначение: и .

Сложная функция есть композиция двух и более функций.

Элементарная функция есть функция, полученная из основных элементарных функций с помощью арифметических действии и композиции.

Целью математического анализа является изучение различных функций, их свойств, и операций связанных с функциями.

Функция называется четной, если для всех своих аргументов.

Функция называется нечетной, если для всех своих аргументов.

Число называется пределом функции при , стремящемся к и обознается , если при неограниченном приближении к , неограниченно приближается .

Свойства пределов:

• Передел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций, если они существуют:
• Предел произведения функции равен произведению пределов, если они существуют:
• Предел частного двух функций равен частному пределов, если они существуют, и предел знаменателя не равен нулю: , при .

Обычно , например:

Однако, иногда значение не входит в область определения функции .
В этом случае имеются различные методы вычисления пределов:

Выделение общего множителя

1. 1. 
   2. 

Выделение главной части

1. 1. 

   2. 

Использование замечательных пределов

Первый замечательный предел:

1. 1. 

   2. 

Второй замечательный предел:

1. 
2. 

Задача 2.

Теоретическое введение

Производная или от данной функции есть предел отношения приращения функции к соответствующему приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю: или

Механический смысл производной – скорость изменения функции.

Геометрический смысл производной – тангенс угла наклона касательной к графику функции:

Правила дифференцирования:

• Производная постоянной величины равна 0.
• Производная суммы равна сумме производных.
• Производная произведения:
• Производная частного:

Производная сложной функции:

Производная от сложной функции по независимому аргументу равна производной от по промежуточному аргументу , умноженной на его производною по независимой переменной .

Примеры:

• ;
• ;
• ;

Задача 4.

Найти неопределенные интегралы:

а) ;

Решение: введем переменную . Тогда ; . Сделаем замену:

.

б) ;

Решение: используем метод интегрирования по частям:

.

Обозначим: .
Тогда .

Задача 5.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

и .

Решение:

Найдем точки пересечения графиков данных функций. Для этого приравняем функции и решим уравнение

Итак, точки пересечения и .

Площадь фигуры найдем, используя формулу

.

В нашем случае

Ответ: площадь равна (квадратных единиц).