Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки «близости» этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U_min u U_max, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции x(x) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой x(x) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а х b, т. е. по величине

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е. величина

.

Иногда под близостью двух функций f(x) и x(x) понимают совпадение в заданной точке x = X₀ самих функций и n + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и x(x) в выбранных точках (узлах интерполяции) х_k, k = 0, 1, 2, ..., n.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислений как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно «правильно» воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация

В качестве аппроксимирующей функции в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

той или иной степени.

Постоянные представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации a x b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и x(x), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(x_k) = x(x_k) в каждом из узлов интерполирования x_k, k = 0, 1, 2, ..., n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

с таким же числом неизвестных коэффициентов интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система уравнений (10.6) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0 x 1,5 полиномом первой степени функции , заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть n + 1 = 2, при x₀ = 0,1 и x₁ = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов a₀ и a₁ будет такой: и . Из ее решения следует а₀ = 0,036, a₁ = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и x(х) приведены на рис. 10.25. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0 x 1,5 наибольшая погрешность |f(x)—x(х)|, т. е. max|f(x)—x(х)| находится на одной из границ интервала при х = = 1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функции и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x₀ = 0,15, x₁ = 0,6 и x₂ = 1,2 практически совпадают. На рис. 10.26 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации контролируется во всем интервале приближения а Ô x Ô b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П.Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции x(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (10.3), чтобы в интервале а Ô х Ô b

.

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет полином f(х) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции в интервале 0 Ô x Ô 1,5 расположены при x = 0, х =x_m = 0,658 и х = 1,5 (см. рис. 10.27), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (а₁) или уровня (а₀) полинома f(x), которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x) = 0,071 + 0,518х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1—e^–x в интервале 0 Ô x Ô 1,5.

В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(х) степени п от непрерывной функции x(x) будет минимально возможным, если в интервале приближения а Ô х Ô b разность f(х)—x(x) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f(х)—x(x) = = L > 0 и наименьшие f(х)—x(x) = = –L значения (критерий Чебышева).

Характер графика разности f(х)—x(x) для полинома f(х) пятой степени, удовлетворяющего этому критерию, приведен на рис. 10.28. Этому же критерию удовлетворяет полином f(х) в рассмотренном выше примере (см. рис. 10.27).

Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(х) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а Ô х Ô b квадрата отклонения функции f(х) от заданной непрерывной функции x(х), т. е., из условия:

.

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции L по каждому из искомых коэффициентов а_k аппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае – численно. Так, в рассматриваемом примере система уравнений при аппроксимации в интервале 0 Ô x Ô l,5 функции 1- e^-x полиномом первой степени такова:

или после преобразований:

Поэтому f(х) = 0,108 + 0,500x.

Заметим, что, как правило, средняя квадратическая погрешность наилучшего равномерного приближения функций f(х) и x(х) лишь не намного отличается от минимально возможной. Обратное утверждение обычно ошибочно, т. е. при квадратической аппроксимации в некоторых участках интервала аппроксимации возможны существенные превышения погрешности аппроксимации (выбросы) по сравнению с теми, которые соответствуют критерию (10.7).

Вернемся к вольт-амперным характеристикам. Общий вид записи степенного полинома, аппроксимирующего ВАХ:

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности рабочей точки U₀. Тогда используют степенной полином другого вида:

Пример. Используя метод интерполяции, аппроксимировать ВАХ нелинейного резистивного элемента (рис. 10.29) степенным полиномом. Аппроксимированная ВАХ должна совпадать с заданной в выбранных точках U₀, U₁ и U₂.

Составим систему уравнений:

из которой найдём искомые коэффициенты

Пример. ВАХ нелинейного резистивного элемента i =F(u) задана таблицей:

Используя квадратический критерий, аппроксимировать характеристику выражением .

Сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданной: минимальна при значении коэффициента a₂, удовлетворяющего уравнению

, откуда .

Пример. На рис. 10.30 кружочками показаны полученные экспериментально пять точек характеристики транзистора КТ301. Осуществим степенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки U₀ = 0,7 В.

Коэффициенты полинома найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям 0,5; 0,7 и 0,9 В и составим систему уравнений:

Решение этой системы дает a₀ = 0,15 мА, a₁ = 1,125 мА/В, a₂ = = 3,125 мА/В². Кривая тока

проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (см. рис. 10.30, кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при U_БЭ = 0,4 В) плохо «ложатся» на эту кривую. Кроме того, появляется загиб в нижней части характеристики.

Лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени и выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока i_Б пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для определения коэффициентов a_s. Найдем эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока по всем пяти экспериментальным значениям.

Составим уравнения (10.9):

Решение этой системы уравнений дает: a₀ = 0,164 мА, a₁ = l,07 мА/В и a₂ = = 2,069 мА/В².

График тока при этом определяется полиномом

и показан на рис. 10.30, кривая 2. Эта характеристика является более приемлемой для аналитического описания экспериментальных результатов.

Кусочно-линейная аппроксимация

Наряду с полиномиальной аппроксимацией ВАХ в радиотехнике и связи широко используется их аппроксимация линейно-ломаной зависимостью – совокупностью отрезков прямых, образующих в интервале аппроксимации непрерывную функциюf(x). Так, на рис. 10.31 приведена линейно-ломаная зависимость

составленная из двух отрезков прямых и аппроксимирующая в интервале 0 Ô x Ô 1,5 функцию 1—e^-x с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,024.

Параметры аппроксимирующих прямых могут быть выбраны так, чтобы в интервале аппроксимации выполнялся критерий (10.7) или (10.8).

В пределах каждого из линеаризированных участков вольт-амперной характеристики применимы все методы анализа колебаний в линейных электрических цепях. Ясно, что, чем на большее число линеаризированных участков разбивается заданная вольт-амперная характеристика, тем точнее она может быть аппроксимирована и тем больше объем вычислений в ходе анализа колебаний в цепи.

Во многих прикладных задачах анализа колебаний в нелинейных резистивных цепях аппроксимируемая вольт-амперная характеристика в интервале аппроксимации с достаточной точностью представляется двумя или тремя отрезками прямых. Графики типичных аппроксимирующих функций приведены на рис. 10.32, а – в, где U_отс – так называемое напряжение отсечки, U_н и I_н – напряжение и ток насыщения в НЭ.

Подобная аппроксимация вольт-амперных характеристик дает в большинстве случаев вполне удовлетворительные по точности результаты анализа колебаний в нелинейной резистивной цепи при «больших» по величине воздействиях на нелинейный элемент, т. е. когда мгновенные значения токов в нелинейном элементе изменяются в предельно допустимых границах от I = 0 до I = I_н (см. рис. 10.32, в).

Пример. На рис. 10.33 (кривая 1) приведен график экспериментальной зависимости транзистора КТ306. Выполним кусочно-линейную аппроксимацию этой зависимости.

Используя полином первой степени

осуществим аппроксимацию заданной зависимости в окрестности точки U₀ = = 0,8 В и определим коэффициенты по методу Тейлора:

Ток в рабочей точке в соответствии с экспериментальными данными I₀ = = 1,2 мА. Крутизну S(U₀) в рабочей точке можно найти приближенно методом приращений:

В результате аппроксимации получим

Видно, что при u_БЭ < 0,5 В ток i_Б принимает отрицательные значения, что не согласуется с экспериментальной зависимостью. Таким образом, полученным полиномом будем аппроксимировать заданную зависимость на участке u_БЭ > 0,5. На участке же 0 < u_БЭ < 0,5 можно выбрать полином первой степени с нулевыми коэффициентами, т. е. i_Б = 0. Итак, аппроксимирующая функция запишется в виде (рис. 10.33, кривая 2)

Представим эту зависимость в более общей форме:

Другие виды аппроксимации вольт-амперных характеристик

Вольт-амперная характеристика идеализированного полупроводникового диода совпадает с характеристикой идеализированного р-п перехода

где I₀ - обратный (тепловой) ток, j_T - тепловой потенциал (j_T @ @ 0,026 В при T = 300К).

Функция (10.12) иногда используется для аппроксимации вольт-амперных характеристик. Ее единственным варьируемым параметром является обратный ток I₀, значение которого можно найти, интерполируя заданную характеристику функцией (10.12) в одной из точек. График функции (10.12) подобен приведенному на рис. 10.1, а.

Заметим, что вольт-амперные характеристики реальных полупроводниковых диодов в силу ряда причин отличаются от идеализированных и чаще всего аппроксимируются отрезками прямых.

В ряде случаев вольт-амперные характеристики, подобные приведенной на рис. 10.32, в, аппроксимируются функцией

с тремя варьируемыми параметрами I₀, g и U₀.

Можно считать, что I = I_н, U₀ - соответствует значению напряжения U, при котором i = 0,5I_max, а постоянная g находится по известной крутизне S = dI/dU аппроксимируемой вольт-амперной характеристики в точке U₀ из условия S(U₀) = 0,5I₀.