Оптимальный приемник (рис.9.1) является корреляционным, сигнал на его выходе представляет собой функцию корреляции принимаемого сигнала x(t) и ожидаемого Si(t), благодаря чему обеспечивается максимально - возможное отношение сигнал/шум h20.

Поскольку операция определения функции корреляции является линейной, ее можно реализовать в некотором линейном фильтре, характеристики которого (комплексная передаточная характеристика K(jw) и импульсная характеристика g(t) являются такими, что отношение сигнал/шум на его выходе получается максимальным, причем h2max = h20.

Найдем характеристики фильтра, когда помеха n(t) является флюктуационной со спектральной плотностью Gn(w) = N0,, w ³ 0.

Пусть сигнал на входе фильтра имеет комплексный спектр S(jw). Тогда сигнал на выходе фильтра y(t) можно определить с помощью преобразования Фурье

Нас интересуют значение y(t) в момент принятия решения (момент отсчета t0), поэтому, заменив t на t0, получим

(9.1)

Чтобы получить максимальную величину y(t0), нужно найти оптимальную характеристику фильтра k(jw). Для этой цели можно воспользоваться известным неравенством Шварца-Буняковского, имеющим вид

Легко проверить, что данное неравенство превращается в равенство при условии,что

где a - любая произвольная постоянная. В нашем случае, применительно к формуле (9.1), величина y(t0) будет максимальной при условии

(9.2)

(это уже есть условие оптимальности характеристики K(jw), поэтому здесь и в дальнейшем K(jw) заменено на Kopt(jw) ).

Подставляя в левую часть формулы (9.2)

(9.3)

(9.4)

получаем

или, сокращая на S(w), будем иметь

. (9.5)

Последнюю формулу можно представить в виде двух составляющих, позволяющих найти амплитудно-частотную характеристику оптимального фильтра Kopt(w) и фазо-частотную характеристику jk(w):

; (9.6)

(9.7)

откуда (9.8)

Здесь js(w) - фазо-частотный спектр входного сигнала; wt0 - "запаздывающий" множитель, учитывающий то, что "отсчет" величины сигнала на выходе фильтра производится в момент t0 , когда возникает максимум выходного сигнала фильтра.

Условие (9.6) имеет простой физический смысл: фильтр должен лучше пропускать составляющие спектра сигнала, имеющие большую амплитуду и в меньшей степени пропускать составляющие сигнала, имеющие меньшую амплитуду.

Условие (9.7) имеет также простой физический смысл: в момент отсчета (t0) все частотные составляющие спектра выходного сигнала имеют нулевую фазу, благодаря чему выходное напряжение в момент t0 имеет наибольшее отношение мощности сигнала к мощности помехи .

Условия (9.6) и (9.8) можно объединить в одно, представив передаточную характеристику в комплексной форме

(9.9)

Можно, наконец, последнюю формулу представить в следующем виде

(9.10)

Здесь S*(jw) - комплексно-сопряженный спектр по отношению к S(jw).

Отношение сигнал/помеха определяется , как обычно, формулой

(9.11)

где - мощность сигнала на выходе фильтра в момент t0 ;

(9.12)

мощность (дисперсия) помехи на выходе фильтра,

Dfopt - эффективная полоса пропускания оптимального фильтра.

Подставляя в (9.11) выражения (9.1) и (9.12) с учетом (9.2), получим

(9.13)

где энергия сигнала S(t) на входе фильтра.

Из (9.13) видно, что отношение h2(t0) численно равно отношению энергии сигнала к спектральной плотности помехи (как в приемнике Котельникова) и не зависит от формы сигнала. А так как энергия сигнала равна произведению мощности сигнала на его длительность, то для повышения помехоустойчивости систем связи с использованием согласованных фильтров можно увеличивать длительность элементарных сигналов, что и делается в широкополосных системах связи.

При применении в демодуляторе приемника согласованных фильтров в сочетании с когерентным способом приема можно добиться потенциальной помехоустойчивости.

Импульсная характеристика оптимального фильтра (отклик фильтра на дельта-функцию) определяется известным выражением

Подставив сюда значение Kopt(jw) из (9.10), получим

Интегрирование в последней формуле производится по всем частотам от -¥ до +¥; поэтому знак перед w в этой формуле можно заменить на противоположный, что не приведет к изменению результата вычисления интеграла. В результате получим

(9.14)

А так как, на основании преобразования Фурье

(9.15)

то, сравнивая (9.14) и (9.15), получаем

(9.16).

Таким образом, функция g(t) отличается от сигнала S(t) только постоянным множителем а , смещением на величину t0 и знаком аргумента t (то есть функция g(t) является зеркальным отображением сигнала S(t) , сдвинутым на величину t0.

На рис. 9.2 в качестве примера приведен некоторый сигнал S(t), зеркально перевернутый сигнал S(- t) и функция g(t) = aS(t0 - t).

Как уже говорилось, величину t0 обычно берут равной длительности сигнала Т. Если взять t0 < T, то получается физически неосуществимая система (отклик начинается раньше поступления входного воздействия).

Сигнал y(t) на выходе линейной системы при поступлении на ее вход сигнала x(t) определяется известным интегралом Дюамеля

. (9.17)

Пусть на вход оптимального фильтра поступает аддитивная смесь, содержащая сигнал S(t) , с которым фильтр согласован, и помеха n(t) ( это может быть флюктуационная помеха или какой-нибудь детерминированный сигнал, с которым фильтр не согласован) x(t)=S(t)+n(t) ,

Подставляя x(t) и (9.16) в (9.17), получим

, (9.18)

заменяя t­0 на Т, получим

(9.19)

Таким образом, на выходе согласованного фильтра получаем под действием сигнала функцию корреляции сигнала, а под действием помехи функцию взаимной корреляции сигнала и помехи. Если на входе фильтра только помеха(без сигнала), на выходе получаем только функцию взаимной корреляции помехи и сигнала, с которым фильтр согласован.

В формуле (9.19) а - любой произвольный множитель, поэтому произведение а Т можно заменить на произвольный множитель b. В момент времени t=T (момент отсчета) формула (9.19) дает

(9.20)

Примечание. Если на вход согласованного фильтра поступает флюктуационная помеха, то теоретически функция взаимной корреляции Bsn(0) должна быть равна нулю, так как сигнал и помеха являются независимыми функциями времени. Однако на практике Bsn¹ 0 , так как при вычислении функции взаимной корреляции требуется бесконечно большое время интегрирования. В нашем же случае интегрирование ведется за время, равное Т. Поэтому формулы (9.19) и (9.20) являются приближенными.

Результаты фильтрации не зависят от формы сигнала. Следовательно фильтр может быть применен и без детектора. Тогда оптимальный приемник полностью известных сигналов (рис. 6.1) может быть реализован в виде двух согласованных фильтров - СФ 1 , СФ 2 и устройства сравнения - УС (рис.9.3).

Примеры согласованных фильтров.

Рассмотрим согласованный фильтр для прямоугольного импульса длительности Т (рис 9.4 а).

Спектральная плотность такого импульса равна

.

Для согласованного фильтра, в соответствии с (9.10) для случая t0 = T

(9.21)

Пользуясь последним выражением, можно легко построить схему фильтра для данного случая. Так из теории электрических цепей известно, что деление на jw означает интегрирование сигнала, а множитель е-jwT означает задержку сигнала на время Т. В результате схема фильтра будет содержать интегратор, линию задержки и вычитатель (рис. 9.4).

Таким образом, на выходе фильтра получился треугольный импульс с основанием 2Т (это - функция корреляции входного импульса прямоугольной формы). То, что выходной импульс имеет в два раза большую длительность, чем входной, является недостатком оптимального фильтра, так как "хвост" выходного сигнала на отрезке времени от Т до 2Т будет накладываться на выходной сигнал следующего импульса. Поэтому на практике часто применяют упрощенную схему фильтра, содержащую интегриру ющую RC -цепь (RC>> T) и ключ К (рис. 9.5).

В момент T окончания входного импульса ключ К замыкается, конденсатор интегратора быстро разряжается через ключ и схема оказывается готовой к приему следующего импульса.

Оптимальный фильтр для приема радиоимпульсов с прямоугольной огибающей может быть построен аналогичным образом, однако RC - цепочка должна быть заменена колебательным контуром с достаточно высокой добротностью. Фильтры с ключами называются "кинематическими" фильтрами.