6.1. Определение производной

6.2. Основные правила дифференцирования

6.3. Производные основных элементарных функций

6.4. Гиперболические функции

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

6.6. Исследование функций

6.1. Определение производной

Пусть - определена и непрерывна в окрестности x₀

Производная функции в точке x₀ и ее обозначения:

6.2. Основные правила дифференцирования

6.3. Производные основных элементарных функций

№ п/п	Наименование функции	Функция и её производная
1	константа
2	степенная функция частные случаи
3	показательная функция частный случай
4	логарифмическая функция частный случай
5	тригонометрические функции	; ; ; ;
6	обратные тригонометрические функции	; ; ;

6.4. Гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Гиперболический синус
Гиперболический косинус формула
Гиперболический тангенс
Гиперболический котангенс

Обратные гиперболические функции

Наименование	Формула	Производная
Ареасинус
Ареакосинус
Ареатангенс
Ареакотангенс

Графики гиперболических функций:

6.5. Производные высших порядков и формула Тейлора

Производная второго порядка функции y=f(x) :

Производная n-го порядка (n-ая производная) функции y=f(x):

Формула Тейлора:

где
- остаточный член в форме Лагранжа.

Формула Маклорена (a=0):

6.6. Исследование функций

План полного исследования функции:

1. Элементарное исследование:

- найти область определения и область значений;

- выяснить общие свойства: четность(нечетность), периодичность;

- найти точки пересечения с осями координат;

- определить участки знакопостоянства.

2. Исследование с помощью предела:

- найти точки разрыва и выяснить их характер;

- найти область непрерывности;

- найти вертикальные и наклонные асимптоты.

3. Исследование с помощью :

- найти критические точки;

- определить интервалы возрастания и убывания функции;

- определить экстремумы.

4. Исследование с помощью :

- найти точки, в которых или не существует;

- найти участки выпуклости и вогнутости;

- определить точки перегиба.

5. Построение графика функции.

Рекомендации по применению плана исследования функции:

1. Отдельные элементы исследования наносятся на график постепенно, по мере их нахождения.
2. Если появляются затруднения с построением графика функции, то находятся значения функции в некоторых дополнительных точках.
3. Целью исследования является описание характера поведения функции. Поэтому строится не точный график, а его приближение, на котором четко обозначены найденные элементы (экстремумы, точки перегиба, асимптоты и т.д.).
4. Строго придерживаться приведенного плана необязательно; важно не упустить характерные элементы поведения функции.