5.1. Функции. Общие свойства
Числовая функция определена на множестве D действительных чисел, если каждому значению переменной 
поставлено в соответствие некоторое вполне определенное действительное значение переменной y, где D – область определения функции.
Аналитическое представление функции:
в явном виде: 
;
в неявном виде: 
;
в параметрической форме: 
;
разными формулами в области определения (a,c]: 
.
Четная функция: 
.
Нечетная функция: 
.
Периодическая функция: 
, где T – период функции, 
.
5.2. Основные элементарные функции
|
Название |
Формула |
Частные случаи |
|
|
1 |
Постоянная |  |
 |
|
2 |
Степенная функция |  |
 ;
|
|
3 |
Показательная функция |  |
 |
|
4 |
Логарифмическая функция |  |
 ;  |
|
5 |
Тригонометрические функции |  ;  ;
|
|
|
6 |
Обратные тригонометрические функции |  ;
|
; 
;
; 
; 
.
;
;
Графики основных элементарных функций:
|
Парабола
|
Гипербола
|
|
График показательной функции
|
График логарифмической фунгкции
|
|
Синусоида
|
|
|
|
|
и косинусоида 
5.3. Теория пределов
Пределом функции 
при 
называется число b, если для любого 
(e -сколь угодно малое положительное число) можно найти такое значение аргумента 
,
начиная с которого выполняется неравенство 
.
Обозначение: 
.
Пределом функции при 
называется число b, если для любого (e -сколь угодно малое положительное число) существует такое положительное число d , что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству 
выполняется неравенство 
.
Обозначение:
.
Формула для вычисления предела элементарной функции в точке 
, где 
: 
.
Бесконечно малая величина при 
есть функция 
такая, что 
.
Бесконечно большая величина при 
есть функция 
такая, что 
.
Первый замечательный предел: 
.
Следствия: 
; 
;
Второй замечательный предел: 
, где e=2,71828…
Следствия: 
; 
; 
; 
.
Эквивалентные бесконечно малые величины при 
:
x ~sinx ~ tgx
~ arcsinx ~
arctgx ~
ex-1~ ln(1+x).
Виды неопределенностей:
|
Символическое обозначение |
Содержание неопределенности |
Пределы компонент при x ® a |
|
|
 |
a 1(x) a 2(x) |
|
|
 |
b 1(x) b 2(x) |
|
|
 |
a b |
|
|
 |
b 1(x) b 2(x) |
|
|
 |
g b |
|
|
 |
a 1(x) a 2(x) |
|
|
 |
a b |
5.4. Непрерывность функции
Функция 
непрерывна в точке 
, где 
, если предел функции при стремлении аргумента к a, существует и равен значению функции в этой точке.
Эквивалентные условия:
-
;
,
где
;
;
.
Классификация точек разрыва:
разрыв I рода:
- устранимый – односторонние пределы существуют и равны;
- неустранимый (скачок) – односторонние пределы не равны;
разрыв II рода: предел функции в точке не существует.