Постановка задачи и этапы синтеза. Дискретная цепь может осуществлять любые операции: фильтрацию сигнала, корректирование характеристик и т. п., т. е. выполнять функции любой аналоговой цепи.
В частности, при синтезе дискретных частотных фильтров нужно найти такие коэффициенты передаточной функции (19.40), или (19.41), частотная характеристика которой удовлетворяла бы нормам ослабления фильтра в полосах пропускания и непропускания (рис. 19.52, а). Определение коэффициентов – это задача аппроксимации. Известен целый ряд методов ее решения. Наиболее распространенным является следующий метод. Сначала рассчитывают аналоговый НЧ-прототип и получают его передаточную функцию H(p), затем путем замены комплексной переменной p = Ф{z} переходят от H(p) к передаточной функции дискретной цепи H(z).
Использование стандартного преобразования z = epT или p = 
не приведет к дробно-рациональной функции. Поэтому для ФНЧ применяют билинейное преобразование
. (19.50)
(g – некоторый постоянный множитель), которое является первым приближением стандартного преобразования при разложении его в ряд Тейлора:
. (19.51)
Из разложения (19.51) следует, что необходимо выбирать 
. Однако, далее мы покажем, что удобнее брать другие значения коэффициента g.
Билинейное преобразование (19.50) переводит все точки из левой полуплоскости переменной p в точки на единичной окружности плоскости z. Так что, если была устойчива аналоговая цепь, будет устойчивой и дискретная. Подтвердим эти утверждения на примере.
Пример. Найдем положения точек на z-плоскости, соответствующих следующим значениям переменной p: p1 = –2; p2 = –2 + j2; p3 = j2.
Из формулы (19.50) найдем выражение для расчета z:
.
Подставляя в эту формулу значение полюса p = p1 = –2, лежащего в левой полуплоскости плоскости p, получаем
.
Поскольку g – число вещественное и положительное, то числитель (g – 2) меньше знаменателя (g + 2), и значит z < 1, т. е. точка z лежит внутри единичной окружности, что говорит об устойчивости цепи.
При p = p2 = –2 + j2 получаем
.
Найдем модуль z
.
Он меньше единицы, поскольку модуль числителя меньше модуля знаменателя, т. е. точка z также лежит внутри единичной окружности.
При p = p3 = j2 получаем
.
Модуль z равен 1, т. е. точка p = j2, лежащая на мнимой оси плоскости p, переходит в точку на единичной окружности плоскости z при использовании билинейного преобразования.
Переход к аналоговому прототипу применяется обычно для дискретных фильтров, имеющих бесконечную импульсную характеристику h(k), принимающую ненулевые значения на бесконечном множестве значений k = 0, 1, ... .
Дискретные цепи с конечной импульсной характеристикой, принимающей ненулевые значения лишь при k = 0, 1, ..., N – 1, не имеют аналогов среди пассивных электрических фильтров, поэтому для их расчета применяются другие методы.
Нерекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.42) всегда имеют конечные импульсные характеристики. Рекурсивные фильтры с передаточной функцией (19.40) могут иметь как конечные, так и бесконечные импульсные характеристики.
Пример. Найдем дискретные импульсные характеристики фильтров, имеющих передаточные функции
, 
,
.
Дискретная импульсная характеристика h(k) связана с передаточной функцией обратным z-преобразованием (см. формулу (19.29)):
,
т. е. 
. Нерекурсивной цепи с передаточной функцией H1(z) соответствует h{k} = {2; 0,5; –3}, т. е. это фильтр с конечной импульсной характеристикой.
Импульсная характеристика цепи с передаточной функцией H2(z) рассчитывается по формуле h(k) = 0,5k, т. е. это рекурсивный фильтр с бесконечной импульсной характеристикой.
Отсчеты импульсной характеристики рекурсивной цепи с передаточной функцией H3(z) будут конечными и равными 1 только для k = 0, 1, 2, 3, 4, а для k 
5 h(k) = 0. Значит этот рекурсивный фильтр имеет конечную импульсную характеристику.
Требования к аналоговому фильтру-прототипу. Следует иметь в виду, что частотная характеристика аналогового фильтра определена на всей положительной полуоси частот, в то время как у дискретного фильтра она имеет тот же смысл только до частоты 0,5fд, затем она периодически повторяется (рис. 19.44). Ясно, что шкала частот дискретного фильтра оказывается деформированной относительно шкалы частот аналогового фильтра. Соответствие этих шкал легко установить из билинейного преобразования (19.50). Перепишем его в виде:
. (19.53)
Обозначим, во избежание путаницы, нормированную частоту для аналогового фильтра-прототипа Wа, обычную (т. е. ненормированную) частоту для дискретного фильтра будем, как и ранее, обозначать буквой f, а нормированную – буквой W. Теперь заменим в (19.53) комплексную переменную p на jWа, а комплексную переменную z на 
и установим соответствие между частотами f (или W) и Wа:
.
Отсюда легко получить, что
или
. (19.54)
При изменении частоты f от 0 до 0,5fд, или нормированной частоты W от 0 до 0,5, нормированная частота Wа в шкале аналогового прототипа будет пробегать значения от 0 до бесконечности (рис. 19.52).
Во многих справочниках по расчету фильтров граничная частота полосы пропускания принимается равной Wап = 1. Чтобы частота fп (или Wп) дискретного фильтра пересчитывалась в Wап = 1 (рис. 19.52, б), из (19.54) ясно, что коэффициент g нужно взять равным:
. (19.55)
Пример. Рассчитаем дискретный ФНЧ с параметрами: fд = 8 кГц; fп = = 1 кГц; fз = 3 кГц; DA = 1,4 дБ; Amin = 40 дБ.
По формуле (19.55) находим 
и по формуле (19.54) определяем нормированную граничную частоту полосы непропускания Wаз аналогового НЧ-прототипа:
Wаз = 
.
Тем самым, произведен пересчет требований, предъявленных к дискретному фильтру (рис. 19.52, а) в требования к аналоговому НЧ-прототипу (рис. 19.52, б).
Расчет аналогового НЧ-прототипа. Исходными данными для расчета являются требования к НЧ-пототипу (рис. 19.52, б). По ним, пользуясь любым справочником, рассчитывают передаточную функцию фильтра-прототипа.
Пример. Для Wаз = 5,82, Amin = 40 дБ и DA = 1,4 дБ, (параметры ФНЧ, взятые из примера), пользуясь справочником Христиана Э., Эйзенмана Е. «Таблицы и графики по расчету фильтров» М.: Связь, 1975, находим, что
. (19.56)
Реализация рекурсивного фильтра. Для перехода от аналогового фильтра к дискретному воспользуемся заменой переменных (19.50)
.
В результате получаем H(z) в виде дробно-рациональной функции, которая может быть реализована.
Пример. От передаточной функции (19.56) аналогового фильтра-прототипа перейдем к передаточной функции H(z) дискретного фильтра.
Подставим в выражение (19.56) значение
.
Получим
Дискретный фильтр можно реализовать в виде каскадного соединения типовых звеньев 1-го и 2-го порядка. Для этого функцию H(z) перепишем в виде:
Схема фильтра, имеющего такую передаточную функцию, приведена на рис. 19.53. Амплитудно-частотная характеристика 
, рассчитанная на основании формул для АЧХ типовых звеньев, показана на рис. 19.54 (кривая 1).
Аналогичным образом производится расчет фильтров со всплесками ослабления (нулями передачи).
Пример. Найдем передаточную функцию дискретного фильтра НЧ с АЧХ, равноволновой в полосе пропускания и со всплеском ослабления в полосе задерживания. Параметры фильтра: fд = 32 кГц; fп = 6 кГц; fз = 8,8 кГц; DA = = 1,5 дБ; Amin = 30 дБ.
Определяем: 
и
Wз 
. Далее находим
и
Wаз 
.
По справочнику рассчитываем
и с помощью подстановки
переходим к H(z)
Амплитудно-частотная характеристика такого фильтра показана на рис. 19.54 (кривая 2).
Синтез фильтров с конечной импульсной характеристикой. Если известна передаточная функция H(z) дискретного фильтра, то для реализации фильтра с конечной импульсной характеристикой h(k), равной нулю везде кроме 
, поступают следующим образом. Амплитудно-частотную характеристику H(W) фильтра дискретизируют, разбивая частотный интервал W = 0 ¸ 1 на N равных интервалов. В результате получают последовательность отсчетов АЧХ на N частотах 
, т. е. 
, 
. Поскольку 
, то, подставляя эту последовательность в формулу обратного дискретного преобразования Фурье (19.14), получаем выражение для дискретной импульсной характеристики h(k) фильтра
(19.57)
Как известно, конечную импульсную характеристику имеют нерекурсивные фильтры. Это значит, что полученные отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k) являются коэффициентами усиления a0, a2, ..., aN–1 в схеме нерекурсивного фильтра, приведенной на рис. 19.33.
Пример. Найдем импульсную характеристику h(k) фильтра нижних частот, имеющего граничную частоту полосы пропускания W = 0,1, и АЧХ, приведенную на рис. 19.55. Импульсную характеристику будем рассчитывать для значения N = 30.
В формуле (19.57) для расчета h(k) используются комплексные значения передаточной функции. Если выбрать значения H[n/N], показанные на рис. 19.55 (H[n/N] = 1 в полосе пропускания и H[n/N] = 0 в полосе непропускания) и фазу передаточной функции argH[n/N], равную нулю, то передаточная функция будет иметь заданные значения в точках W = n/N, но очень сильно отличаться от требуемой формы на частотах W между этими точками.
Гораздо лучшие результаты получаются, если выбрать argH[n/N] = 
. Выбор такой фазы эквивалентен тому, что H[n/N] 
вместо 1 в полосе пропускания. Такой передаточной функции соответствует АЧХ, изображенная на рис. 19.56. Подстановка значений H[n/N] в формулу (19.34) позволяет получить выражение для расчета h(k):
График конечной импульсной характеристики h(k) изображен на рис. 19.57.
Для реализации фильтра с такой импульсной характеристикой по схеме рис. 19.33 потребуется 30 усилителей и 29 элементов задержки, т. е. схема довольно громоздкая. Схема с обратными связями, реализующая АЧХ, изображенную на рис. 19.55, будет иметь гораздо меньше элементов. Однако достоинством нерекурсивных фильтров с конечной импульсной характеристикой является то, что они всегда устойчивы и, кроме того, обеспечивают линейные фазовые характеристики.
Синтез дискретных фильтров верхних частот, полосовых и режекторных. Требования к любому типу фильтра преобразуются в требования к аналоговому ФНЧ-прототипу. Затем рассчитывается аналоговый прототип, как это показано выше, и с помощью замены переменных переходят от H(p) к H(z).
Конечно, формулы замены переменных уже не такие, как для ФНЧ. Они приведены для разных типов фильтров в табл. 19.2. Требования к дискретным фильтрам графически изображены на рис. 19.59.
Пример. Определить передаточную функцию дискретного полосового фильтра с параметрами: fд = 140 Гц; fп1 = 15,5 Гц; fп2 = 30 Гц; fз1 = 7,75 Гц; fз2 = 60 Гц; DA = 0,5 дБ; Amin = 40 дБ.
Определяем:
Wп1 = 15,5/140 = 0,110714; Wп2 = 30/140 = 0,214286;
Wз1 = 7,75/140 = 0,055357; Wз2 = 60/140 = 0,428571;
= 2,964087;
;
W¢аз 
;
W²аз 
;
Wаз 
.
По данным Wаз = 3,38, DА = 0,5 дБ и Amin = 40 дБ из справочника находим
Передаточную функцию H(z) найдем, используя подстановку
и разлагая каждый из двух полиномов четвертой степени (в знаменателе H(z)) на множители (полиномы второй степени):
Таблица 19.2 – Формулы замены переменных для различных
