Ниже приводятся алгебраические подробности, используемые при выводе уравнения (8.72).

(8A.1)

Начнем с записи отношения правдоподобия апостериорной вероятности того, что информационный бит равен +1, к апостериорной вероятности того, что он равен -1. Поскольку логарифм отношения правдоподобий, обозначаемый L(d), берется по основанию e, это можно записать следующим образом.

, (8.A2)

так что

. (8A3)

Выражая , получаем следующее.

(8А.4)

(8А.5)

и

(8.A6)

Из уравнения (8А.6) видно, что

. (8А.7)

Пусть и два статистически независимых бита данных, задаваемых уровнями напряжения +1 и -1, соответствующими логическим уровням 1 и 0.

При таком формате сложение (по модулю 2) и дает -1, если , и имеют одинаковое значение (оба равны +1 или -1, одновременно), и +1, если и имеют разные значения. Тогда

(8А-8)

Воспользовавшись уравнениями (8А.6) и (8А.7) для замены вероятностного члена в уравнении (8А.8), получаем следующее.

(8A.9)

(8A.10)

(8A.11)