Все изложенные выше методы приема сигнала объединены общей математической операцией интегрирования функций, описывающих сигнал и опорное колебание. В общем виде эта операция сводится к нахождению скалярного произведения

(4.41)

где x(t)=s(t) + (t) — аддитивная смесь сигнала и помехи (принятый сигнал), (t) — весовая функция (опорное колебание).

Если (t) = 1, то имеет место интегральный прием, если (t) =s(t) — когерентный прием, при (t) =s(t—) — корреляционный, а при (t)=c(t—) — автокорреляционный приемы. В случае, когда (t) совпадает с импульсной характеристикой g(t)=s(t—t), оператор (4.41) описывает прием на согласованный фильтр.

Поскольку операция (4.41) является линейной, то величина у распадается на два слагаемых, из которых одно (b) зависит только от сигнала, а другое (|) — только от помехи:

(4.42)

В этих условиях можно говорить об отношении сигнала к помехе на выходе приемника (точнее, на входе решающего устройства) и определить его по формуле

(4.43)

При этом мы считаем, что сигнал и помеха независимы, и . Теперь можно решить задачу отыскания оптимального метода приема (оптимальной обработки), при котором обеспечивается наибольшее отношение сигнал/помеха на выходе приемника.

Выберем весовую функцию (t) так, чтобы максимизировать полезный сигнал b, т. е. функционал

(4.44)

Это, вообще говоря, вариационная задача, но она решается очень просто, если перейти к геометрическим представлениям. Так как 'скалярное произведение (s) пропорционально проекции одного вектора на другой, то величина b будет иметь наибольшее значение, когда оба вектора s и совпадают по направлению, т. е.

(4.45)

Равенство (4.45) показывает, что (t)=ks(t), где k — коэффициент пропорциональности. Таким образом, максимальное значение полезного сигнала достигается, как и следовало ожидать, при когерентном методе приема, когда

Теперь определим дисперсию помехи, выражаемой интегралом

(4.46)

Составим квадрат этой величины

Усредняя, находим

(4.47)

где —функция автокорреляции помехи.

Если воспользоваться зависимостью (2.82) между функцией корреляции и энергетическим спектром случайного процесса, то можно выразить дисперсию помехи через спектры. Подставив выражение (2.82) в (4.47), получим

где — текущий спектр функции (t),а — комплексно-сопряженный спектр. Итак,

(4.48)

Эта формула является также общей, как и ф-ла (4.47), из которой она получена. Выразим сигнал через спектр

(4.49)

(4.49) е

S(ico)

На основании (4.43), (4.48) и (4.49), получаем общее выражение для отношения сигнала к помехе

(4.50)

При помощи неравенства Буняковского можно получить для выражения (4.50) следующую оценку:

(4.51)

В частном случае помехи с равномерным спектром, когда, имеем

что совпадает с выражением (4.34) для согласованного фильтра.

Установим связь между интегрированием и фильтрацией сигнала. При обработке сигнала интегрированием согласно (4.41) получаем

где

Если S(i)— спектральная плотность сигнала s(t), то на основании преобразования Фурье имеем

Подставив это значение s(t) в выражение для b и выполнив интегрирование по t получим

(4.52)

где

(4.53)

Из соотношения (4.52) следует, что интегрирование в интервале времени от 0 до Т эквивалентно фильтрации сигнала фильтром с коэффициентом передачи K(i)— определяемым выражением (4.53). Сравнение выражений (4.40) и (4.53) показывает, что они различаются только постоянными множителями. Следовательно, фильтру с коэффициентом передачи (4.53) соответствует схема рис. 4.10а.

Шум на выходе интегратора является случайной величиной. Дисперсия такой величины определяется соотношением (4.4). Функция автокорреляции шума на входе интегратора согласно (2.82)

Подставив это выражение в (4.4) и выполнив интегрирование по t и t получим

где

— модуль коэффициента передачи. Следовательно, интегрирование шума также эквивалентно фильтрации его в схеме рис. 4.10а.

В предыдущем параграфе было показано, что данная схема является согласованным фильтром для прямоугольного видеосигнала при наличии белого шума. Это означает, что для указанных условий операция интегрирования является оптимальной.

При синхронном детектировании фильтрация (интегрирование) до детектора практически равноценна по помехоустойчивости фильтрации (интегрированию) после детектора.

При несинхронном (амплитудном) детектировании необходимо считаться с явлением подавления сигнала помехой при малых значениях отношения сигнал/помеха. В этом случае фильтрация и интегрирование до детектора могут обеспечить более высокую помехоустойчивость приемника, чем фильтрация или интегрирование после детектора.