8.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
8.1. Переходные и импульсные характеристики электрических цепей
В основе временного метода лежит понятие переходной и импульсной характеристик цепи. Переходной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие в форме единичной функции (7.19). Обозначается переходная характеристика цепи g(t). Импульсной характеристикой цепи называют реакцию цепи на воздействие единичной импульсной функции (d-функции) (7.21). Обозначается импульсная характеристика h(t). Причем, g(t) и h(t) определяются при нулевых начальных условиях в цепи. В зависимости от типа реакции и типа воздействия (ток или напряжение) переходные и импульсные характеристики могут быть безразмерными величинами, либо имеют размерность А/В или В/А.
Использование понятий переходной и импульсной характеристик цепи позволяет свести расчет реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа единичной 1(t) или импульсной функции d(t), с помощью которых аппроксимируется исходный сигнал. При этом результирующая реакция линейной цепи находится (с использованием принципа наложения) как сумма реакций цепи на элементарные воздействия 1(t) или d(t).
Между переходной g(t) и импульсной h(t) характеристиками линейной пассивной цепи существует определенная связь. Ее можно установить, если представить единичную импульсную функцию через предельный переход разности двух единичных функций величины 1/t, сдвинутых друг относительно друга на время t (см. рис. 7.4):
т. е. единичная импульсная функция равна производной единичной функции. Так как рассматриваемая цепь предполагается линейной, то соотношение (8.1) сохраняется и для импульсных и переходных реакций цепи
т. е. импульсная характеристика является производной от переходной характеристики цепи.
Уравнение (8.2) справедливо для случая, когда g(0) = 0 (нулевые начальны е условия для цепи). Если же g(0) ¹ 0, то представив g(t) в виде g(t) = 
, где 
= 0, получим уравнение связи для этого случая:
Для нахождения переходных и импульсных характеристик цепи можно использовать как классический, так и операторный методы. Сущность классического метода состоит в определении временной реакции цепи (в форме напряжения или тока в отдельных ветвях цепи) на воздействие единичной 1(t) или импульсной d(t) функции. Обычно классическим методом удобно определять переходную характеристику g(t), а импульсную характеристику h(t) находить с помощью уравнений связи (8.2), (8.3) или операторным методом.
Пример. Найдем классическим методом переходную характеристику по напряжению для цепи, изображенной на рис. 8.1. Численно gu(t) для данной цепи совпадает с напряжением на емкости при подключении ее в момент t= 0 к источнику напряжения U1 = l В:
Закон изменения напряжения uC(t) определяется уравнением (6.27), где необходимо положить U= l В:
При нахождении характеристик g(t) и h(t) операторным методом пользуются изображениями функций 1(t), d(t) и методикой расчета переходных процессов, изложенных в гл. 7.
Пример. Определим операторным методом переходную характеристику gu(t) RС-цепи (см. рис. 8.1). Для данной цепи в соответствии с законом Ома в операторной форме (7.35) можем записать:
где
Окончательно получаем
Отсюда по теореме разложения (7.31) находим
т. е. то же значение, что и полученное классическим методом.
Следует отметить, что величина I(р) в уравнении (8.4) численно равна изображению переходной проводимости. Аналогичное изображение импульсной характеристики численно равно операторной проводимости цепи
Например, для RС-цепи (см. рис. 8.1) имеем:
Применив к Y(p) теорему разложения (7.30), получим:
Следует отметить, что формула (8.5) определяет свободную составляющую реакции цепи при единичном импульсном воздействии. В общем случае в реакции цепи, кроме экспоненциальных составляющих свободного режима при t > 0 присутствует импульсное слагаемое, отображающее воздействие при t = 0 единичного импульса. Действительно, если учесть, что для RС-контура (см. рис. 8.1) переходная характеристика по току при U= 1(t) согласно (6.28) будет
то после дифференцирования (8.6) согласно (8.2) получаем импульсную характеристику RС-цепи hi(t) в виде
т. е. реакция hi(t) содержит два слагаемых — импульсное и экспоненциальное.
Физический смысл первого слагаемого в (8.7) означает, что при t = 0 в результате воздействия на цепь импульсного напряжения d(t) зарядный ток мгновенно достигает бесконечно большого значения, при этом за время от 0– до 0+ элементу емкости передается конечный заряд и она скачком заряжается до напряжения I/RC. Второе слагаемое определяет свободный процесс в цепи при t> 0 и обусловлено разрядом конденсатора через короткозамкнутый вход (так как при t> 0 d(t) = 0, что равносильно КЗ входа) с постоянной времени t = RC. Из этого следует, что при d(t)-импульсном воздействии на RС-цепь нарушается непрерывность заряда на емкости (второй закон коммутации). Аналогично нарушается и условие непрерывности тока в индуктивности (первый закон коммутации), если к цепи, содержащей элемент индуктивности воздействовать напряжением в виде d(t).
В табл. 8.1 сведены значения переходной и импульсных характеристик по току и напряжению для некоторых цепей первого и второго порядка.
8.2. Интеграл Дюамеля
Интеграл Дюамеля может быть получен, если аппроксимировать приложенное воздействие f1(t) с помощью единичных функций, сдвинутых относительно друг друга на время Dt (рис. 8.2).
Реакция цепи на каждое ступенчатое воздействие определится как
Результирующая реакция цепи на систему ступенчатых воздействий найдется, исходя из принципа наложения:
где п — число аппроксимирующих участков, на которые разбит интервал 0 ... t. Домножив и разделив выражение, стоящее под знаком суммы, на Dt и перейдя к пределу с учетом того получим одну из форм интеграла Дюамеля: 
Уравнение (8.8) отражает реакцию цепи на заданное воздействие, поскольку аппроксимирующая функция стремится к исходной.
Вторая форма интеграла Дюамеля может быть получена с помощью теоремы свертки:
Наконец, интегрируя по частям выражения, стоящие в уравнениях (8.8) и (8.9), получаем третью и четвертую формы интеграла Дюамеля:
Применение той или иной формы интеграла Дюамеля диктуется удобством и простотой вычисления подынтегральных выражений.
Пример. Запишем реакцию цепи (см. рис. 8.1) на напряжение, изображенное на рис. 8.3 с помощью интеграла Дюамеля (8.8). Переходная характеристика данной цепи имеет вид 
.
После нахождения переходной функции определяем число участков интегрирования, где функция непрерывна и дифференцируема. Определяем значение 
на этих участках. Для рассматриваемого воздействия таких участков будет три: 
, 
, 
. Необходимость включения третьего участка объясняется тем обстоятельством, что несмотря на прекращение входного воздействия в силу переходных процессов в цепи будет наблюдаться остаточная реакция. Для каждого из выделенных участков запишем уравнение (8.8) с учетом реакций предыдущих участков:
на участке 
на участке 
на участке 
В случае, когда воздействие прикладывается к активной цепи (рис. 8.4, а), расчет переходных процессов можно вести методом наложения. При этом вначале расчет ведется с помощью интеграла Дюамеля для пассивной цепи (рис. 8.4, б), затем определяется классическим или операторным методом реакция цепи при включении рассматриваемой ветви к активному двухполюснику (рис. 8.4, в). Результирующая реакция находится как сумма реакций: 
.
8.3. Интеграл наложения
При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика цепи h(t). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f1(t) с помощью системы единичных импульсов длительности dt, амплитуды f1(t) и площади f1(t)dt (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов
Используя принцип наложения, нетрудно получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:
Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения. Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h(t) и переходной g(t) характеристиками цепи. Подставив, например, значение h(t) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свойства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).
Пример. На вход RС-цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения U1. Определить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).
Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): hu(t) = = (1/RC)e–t/RC. Тогда, подставляя hu(t – t) = (1/RC)e–(t–t)/RC в формулу (8.12), получаем:
Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):
Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета времени, то интеграл (8.12) принимает вид
Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляют собой свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории передачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f1(t) как бы взвешивается с помощью функции h(t—t): чем медленнее убывает со временем h(t), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблюдения значение входного воздействия.
На рис. 8.6, а показан сигнал f1(t) и импульсная характеристика h(t—t), являющаяся зеркальным отображением h(t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f1(t) с функцией h(t—t) (заштрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t.
Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t1 и импульсной характеристики th. Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.
Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что импульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию
Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:
Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.
8.4. Вопросы и задания для самопроверки
1. Дать определения переходной и импульсной характеристик цепи.
2. Указать связь между импульсной и переходной характеристиками.
3. Как определить переходную и импульсную характеристику цепи?
4. В чем отличие переходных характеристик 
, объяснить их физический смысл.
5. Как определить, какую из четырех разновидностей переходных или импульсных характеристик необходимо применить в каждом конкретном случае при расчете реакции цепи?
6. В чем заключается сущность расчета переходных процессов с использованием g(t) и h(t)?
7. Как определить реакцию цепи, если воздействие имеет сложную форму?
8. Каким условиям должна удовлетворять цепь при использовании интеграла Дюамеля?
9. Приведите другую форму интеграла наложения, отличную от (8.12).
10. Расчет реакции цепи с использованием интегралов Дюамеля и наложения приводит к одинаковым результатам или разным?
11. Определить переходную проводимость цепи, образованной сопротивлением и индуктивностью, включенными последовательно.
Ответ: 
.
12. Определить 
цепи, образованной сопротивлением и емкостью, включенными последовательно.
Ответ: 
.
13. Получить третью форму интеграла Дюамеля (8.10) из уравнения свертки (8.10).