4.1. Линейно разделимые сигналы

4.2. Формирование канальных сигналов

4.1. Линейно разделимые сигналы

Простейшим типом телекоммуникационных систем передачи информации является аддитивная линейная многоканальная система. Рассмотрим аддитивную линейную многоканальную систему, в которой групповой сигнал v(t) получается суммированием канальных сигналов v(t)=∑v_i (t), а разделяющие устройства Ф_k представляют собой линейные четырехполюсники, то есть операторы Ф_k являются линейными. Назовем канальные сигналы v_i (t) талой системы линейно разделимыми; выясним, какими свойствами характеризуются линейно разделимые сигналы.Предположим, что при передаче группового сигнала v(t) по линии связи искажения и помехи отсутствуют. В этом случае выражение , описывающее операцию разделения канальных сигналов, принимает вид

(4.1)

откуда, ввиду линейности оператора Ф_k

. (4.2)

Следовательно,

(4.3)

Разделение канальных сигналов должно осуществляться при любых первичных сигналах с(t)на входах каналов. Так, например, в телефонной аппаратуре канальные сигналы должны быть разделены независимо от высоты голоса абонента, произношения, языка и тому подобное. Преобразователь k-го канала M_k преобразует каждый первичный сигнал из множества возможных первичных сигналов С в соответствующий канальный сигнал. Обозначим через V_k множество канальных сигналов k-го канала. Сигнал v_k(t), входящий в выражение (4.3), является элементом этого множества (напомним, что - знак принадлежности. Читается, как v_k(t) входит в V_k или v_k(t) содержится в V_k , или v_k(t) принадлежит V_k): . Аналогично преобразователь n-го канала M_n преобразует множество первичных сигналов Св множество канальных сигналов n-го канала V_n и так далее.Множества канальных сигналов V_k, назовем линейно разделимыми, если выражение (4.3) справедливо для всех канальных сигналов каждого из этих множеств. Свойства линейно разделимых множеств сигналов определяются теоремой.Для того чтобы множества сигналов V₁, V₂, …, V_N были линейно разделимыми, необходимо и достаточно, чтобы эти множества были линейными и не имели взаимных пересечений.Напомним, что множество является линейным, если в него входит любая линейная комбинация его элементов. Так, если х₁ и х₂-элементы некоторого множества Х, то Х есть линейное множество, если , где и - произвольные постоянные. Например, линейным является множество сигналов, частотные спектры которых не содержат составляющих выше частоты . Действительно, если и - два таких сигнала, то сигнал также не содержит частот, превышающих .Непересекающимися являются множества, не имеющие ни одного общего элемента, за исключением нулевого x=0. Например, непересекающимися по частоте являются множества сигналов, спектры которых расположены в различных непересекающихся участках частотного диапазона.Для доказательства теоремы перепишем выражение (4.3) для каких-либо двух множеств канальных сигналов, например, для и :

(4.4)

(4.5)

Если выражение (4.5) справедливо для любых сигналов входящих в множество ,то в силу линейности оператора аналогичное выражение справедливо также для где и - произвольные числа: Следовательно, и, по определению, множество - линейно.Покажем теперь, что множество и не должны иметь взаимного пересечения. Предположим обратное, то есть что есть сигнал, принадлежащий как , так и . Тогда в соответствии с формулой (4.4), на выходе разделителя получим сигнал ; но одновременно, в соответствии с формулой (4.5), отклик того же самого разделителя на тот же сигнал равен нулю. Из этого противоречия следует, что неравный нулю сигнал не может принадлежать и . Это и означает, по определению, что множества и не имеют взаимного пересечения. Таким образом, теорема доказана.Известно, что элементы линейных непересекающихся множеств линейно независимы. Из доказанной теоремы следует, что для возможности линейного разделения канальных сигналов необходимо и достаточно, чтобы они были линейно независимы.Функции,,, являются линейно независимыми, если их линейная комбинация тождественно равны нулю только при a₁=a₂=…=a_N=0. Чтобы установить, являются ли функции линейно независимыми в промежутке 0<t<T, рассматривают определитель:

(4.6)

(4.7)

Определитель (4.6), называемый определителем Грама, положителен, если функции линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы. Например, функции , где - вещественные числа, линейно независимы. Поэтому сигналы такого вида линейно разделимы и могут быть использованы в качестве канальных сигналов линейной многоканальной системы передачи.Покажем на примере двухканальной системы, как можно построить для таких сигналов схему разделения. Пусть на интервале канальные сигналы имеют вид ; на вход разделительного устройства попадает групповой сигнал . Для разделения продифференцируем сигнал : и полученную производную проинтегрируем с переменным верхним пределом Таким образом, из выделен сигнал . Сигнал получим, вычитая из . Структурная схема устройства, выполняющего операцию разделения, показана на рисунке (4.1).

Рисунок 4.1. Схема разделения линейно независимых сигналов

ДЦ - дифференцирующая цепь; Инт - интеграторВ качестве второго примера рассмотрим функции Легко показать, что эти функции линейно зависимы. Действительно, можно подобрать такие неравные нулю коэффициенты , и , что . Последнее тождество имеет место, например, при и . Следовательно, линейное разделение таких сигналов невозможно и их нельзя использовать в качестве канальных сигналов линейной многоканальной системы передачи.

4.2. Формирование канальных сигналов

Итак, канальные сигналы различных каналов линейных многоканальных систем передачи должны быть линейно независимы. Вместе с тем для выполнения основной задачи связи- передачи сообщений - необходимо, чтобы в канальных сигналах были отображены первичные сигналы, соответствующие передаваемым сообщениям. Чтобы выполнить эти условия, построим передающую часть многоканальной системы следующим образом.Выберем некоторый класс R линейно независимых функций и при помощи специального генераторного оборудования сформируем соответствующие этим функциям вспомогательные колебания, которые будем называть переносчиками. Величины представляют собой постоянные параметры переносчиков.Поскольку по условию переносчики линейно независимы, каждый из них можно выделить из их суммы линейным разделяющим устройством и, следовательно, их можно использовать в качестве канальных сигналов. Чтобы в каждом из канальных сигналов было также отображено передаваемое сообщение, осуществляют модуляцию переносчиков первичными сигналами. Сущность модуляции состоит в том, что один (или несколько) параметров переносчика изменяют пропорционально первичному сигналу. Например, если в процессе модуляции изменяется параметр, то

4.8

где - функция, характеризующая изменения модулируемого параметра, - значение параметра в соответствии модуляции, - максимальная величина приращения параметра в процессе модуляции или девиации параметра, - нормированный модулирующий первичный сигнал, - наибольшее относительное изменение параметра или глубина модуляции.Так, например, в качестве переносчиков можно использовать гармонические колебания параметрами, которых являются амплитуда , частота и начальная фаза . Любой из этих параметров можно модулировать, получая соответственно три вида модуляции: амплитудную (АМ), частотную (ЧМ) и фазовую (ФМ).Параметры переносчиков можно разделить на две группы. К первой относятся параметры, подвергаемые модуляции; их называют информационными. Ко второй группе – параметры, которыми отличаются друг от друга переносчики различных каналов; их называют разделительными. Возможно построение аппаратуры, где один и тот же параметр играет роль и информационного, и разделительного.Обратимся снова к структурной схеме многоканальной системы (смотри рисунок 1.3). Дополним передающую часть аппаратуры генератором переносчиков (ГП) и подведем к преобразователям кроме первичных сигналов переносчики , как это показано на рисунке 4.2. В преобразователях происходит модуляция переносчиков первичными сигналами, и таким образом формируются канальные сигналы:

(4.9)

где - информационный параметр, изменяющийся в соответствии с выражением (2.8); -разделительный параметр, принадлежность сигнала i-му каналу. Преобразователи называются модуляторами.

Рисунок 4.2. Структурная схема передающей части многоканальной системы

Наиболее простой является амплитудная модуляция, когда пропорционально модулирующему первичному сигналу изменяется амплитуда переносчика. При этом роль модулятора выполняет перемножитель напряжений, а модулированный (канальный) сигнал имеет вид:

(4.10)

Поскольку длительность передачи сообщений в каждом из каналов произвольна, то переносчики выбираются в классе периодических функций:

(4.11)

где - период, p- произвольное целое число.В большинстве случаев целесообразно выбирать период так, чтобы на интервале изменения первичного сигнала были пренебрежимо малы, т.е.

при (4.12)

Принимая во внимание, что первичные сигналы являются сигналами с практически ограниченным спектром и, обозначая через наивысшую частоту спектра первичного сигнала, получаем на основании теоремы Котельникова

(4.13)

Сформированные в результате модуляции канальные сигналы содержат в себе сведения, как о первичных сигналах , так и о переносчиках . Сигналы различных каналов отличаются один от другого значениями разделительного параметра . Каждому каналу соответствует некоторая область значений разделительного параметра, причем эти области не должны пересекаться. В приемной части аппаратуры известны области каждого канала. Разделение канальных сигналов оказывается возможным, так как множество сигналов , соответствующих некоторой области , принадлежит i-му каналу, тогда как множество сигналов , соответствующих некоторой не перекрывающейся области , принадлежит j-му каналу. После разделения из каждого канального сигнала нужно выделить сигнал, соответствующий изменениям информационного параметра , то есть восстановить первичный сигнал . Эта операция, обратная модуляция, производится устройствами , которые называют демодуляторами. В современной технике многоканальной связи в качестве переносчиков используют колебания различного вида. Наибольшее применение находят гармонические (синусоидальные) колебания либо периодические последовательности прямоугольных импульсов. В первом случае возможна амплитудная, частотная или фазовая модуляция. Если в различных каналах в качестве переносчиков используются колебания с различными частотами (или, как говорят, различные несущие частоты) и в результате модуляции получают канальные сигналы, спектры которых размещаются в не перекрывающихся в частотных полосах, то такие системы называют системами с разделением каналов по частоте. Если разделительным параметром гармонического переносчика является начальная фаза, то имеет место разделение каналов по фазе. При этом обычно применяется амплитудная модуляция.

При использовании в качестве переносчиков периодических последовательностей прямоугольных импульсов возможна их модуляция по амплитуде (амплитудно-импульсная модуляция – АИМ), по длительности или ширине (широтно-импульсная модуляция – ШИМ), по фазе (фазоимпульсная модуляция – ФИМ) и по частоте (частотно-импульсная модуляция – ЧИМ). В системах с импульсными переносчиками имеет место разделение каналов по времени: передача осуществляется так, что элементы сигнала, принадлежащего данному каналу, передаются в те промежутки времени, когда тракт свободен от сигналов других каналов. Наиболее общий вид разделения – разделение по форме канальных сигналов, когда их частотные спектры перекрываются, и передача во всех каналах происходит одновременно. В системах с разделением по форме в качестве переносчиков могут быть использованы электрические колебания, описываемые функциями Якоби, Лежандра, Лаггера, Уолша и множества других линейно независимых систем функций.