Задача 1.

Дана система трёх линейных уравнений. Найти решение её методом Крамера.

2x + 3y + z = 1

- x + 4y + 2z = - 1

x - 2z - 3z = - 3

Решение.

Запишем формулы Крамера: ; ; .

Здесь: D - определитель системы;

D _x – определитель, полученный из определителя системы заменой первого столбца на столбец свободных членов;

D _y - определитель, полученный из определителя системы заменой второго столбца на столбец свободных членов;

D _z – определитель, полученный из определителя системы заменой третьего столбца на столбец свободных членов.

В нашем случае имеем:

.

.

.

.

Теперь найдем значения неизвестных:

; ; .

Для проверки подставим найденные значения неизвестных в исходную систему и убедимся в правильности решения.

Задача 2.

Даны координаты вершины пирамиды . Сделать

1. длину ребра .
2. угол между ребрами и
3. площадь грани
4. уравнение прямой
5. уравнение плоскости
6. объем пирамиды

,, ,

Решение:

1) Длина ребра равна расстоянию между точками и или модулю
вектора . Расстояние между точками и вычисляется по формуле .
Подставляя в эту формулу исходные данные, получим

2) Угол между ребрами будем искать, используя формулы векторной алгебры:

В нашем случае , .
Чтобы найти координаты вектора, из координат конца вектора следует вычесть координаты начала вектора. Таким образом,

3) Площадь треугольника можно найти, используя свойства скалярного произведения: площадь параллелограмма, построенного на векторах и численно равна модулю их векторного произведения.

В нашем случае,

==

=

Имеем,

Итак, площадь грани

4) Уравнение прямой найдем как канонические уравнения прямой в пространстве:

,

где - координаты направляющего вектора прямой, а - координаты точки прямой. В нашем случае , а в качестве точки .

Итак, уравнение прямой имеет вид:

.

В общем виде:

или

5) Уравнение плоскости будем искать как уравнение плоскости, проходящей через три данные точки , и :

,

,

.

Упрощая, получим: .

6) Объем пирамиды найдем, используя свойство смешанного произведения трех векторов – модуль смешанного произведения численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. Соответственно

.

Найдем смешанное произведение векторов , и:

Ответы:

1. длина ребра равна (ед.)
2. угол между ребрами и равен
3. площадь грани равна 11.58 (кв. ед.)
4. уравнение прямой (в каноническом виде ):
5. уравнение плоскости (в общем виде):
6. объем пирамиды равен 11 (куб. ед.).