2.4.1. Теорема о дискретном представлении

2.4.1.1. Выборка с использование единичных импульсов

2.4.1.2. Естественная дискретизация

2.4.1.3. Метод «выборка-хранение»

2.4.2. Наложение

2.4.3. Зачем нужна выборка с запасом

2.4.3.1. Аналоговая фильтрация, дискретизация и преобразование аналоговых сигналов в цифровые

2.4.3.2. Цифровая фильтрация и повторная выборка

2.4.4. Сопряжение сигнала с цифровой системой

Если информация является аналоговой, ее знаковое кодирование (как в случае текстовой информации) невозможно; вначале информацию следует перевести в цифровой формат. Процесс преобразования аналогового сигнала в форму, совместимую с цифровой системой связи, начинается с дискретизации сигнала; результатом этого процесса является модулированный сигнал, который описывается ниже.

2.4.1. Теорема о дискретном представлении

Аналоговый сигнал и его дискретная версия связаны процессом, который называется дискретизацией (sampling process). Этот процесс можно реализовывать по-разному, а наиболее популярной является операция выборки-хранения (sample-and-hold). В этом случае коммутирующе-запоминающий механизм (такой, как последовательность транзистора и конденсатора или затвора и диафильма) формирует из поступающего непрерывного сигнала последовательность выборок (sample). Результатом процесса дискретизации является сигнал в амплитудно-импульсной модуляции (pulse-amplitude modulation - РАМ). Такое название возникло потому, что выходящий сигнал можно описать как последовательность импульсов с амплитудами, определяемыми выборками входящего сигнала. Аналоговый сигнал можно восстановить (с определенной степенью точности) из модулированного сигнала путем прохождения последнего через фильтр нижних частот. Важно знать, насколько точно отфильтрованный модулированный сигнал совпадает с исходным аналоговым сигналом? Ответ на этот вопрос дает теорема о дискретном представлении (sampling theorem), которая формулируется следующим образом [1]: сигнал с ограниченной полосой, не имеющий спектральных компонентов с частотами, которые превышают Гц, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени.

(2.1)

Это утверждение также известно как теорема о равномерном дискретном представлении (uniform sampling theorem). При другой формулировке верхний предел можно выразить через частоту дискретизации (sampling rate), . В этом случае получаем ограничение, именуемое критерием Найквиста (Nyquist criterion).

(2.2)

Частота дискретизации также называется частотой Найквиста (Nyquist rate). Критерий Найквиста - это теоретическое достаточное условие, которое делает возможным полное восстановление аналогового сигнала из последовательности равномерно распределенных дискретных выборок. В следующем разделе демонстрируется справедливость теоремы о дискретном представлении для различных способов взятия выборок.

2.4.1.1. Выборка с использованием единичных импульсов

В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помощью свойства преобразования Фурье, относящегося к свертке в частотной области. Рассмотрим вначале идеальную дискретизацию с помощью последовательности единичных импульсных функций. Предположим, у нас имеется аналоговый сигнал , приведенный на рис. 2.6, а, и его Фурье-образ (рис. 2.6, б) равен нулю вне интервала . Дискретное представление можно рассматривать как произведение функции и последовательности периодических единичных импульсов , показанной на рис. 2.6, в и определяемой следующей формулой.

Рис.2.6. Теорема о дискретном представлении и свёртка Фурье образов

Здесь - период дискретизации, а - единичный импульс или дельта-функция Дирака, определенная в разделе 1.2.5. Выберем равным , так что будет выполнено минимальное необходимое условие удовлетворения критерия Найквиста.

Выборочное свойство импульсной функции (см. раздел А.4.1) можно описать следующим выражением.

(2.4)

Воспользовавшись этим свойством, можно заметить, что , дискретный вариант , показанный на рис. 2.6, д, описывается следующим выражением.

(2.5)

Используя свойство преобразования Фурье для свертки в частотной области (см. раздел А.5.3), мы можем преобразовать произведение временных функций в уравнении (2.5) в свертку частотных функций , где

является Фурье-образом последовательности импульсов , а - частотой дискретизации. Отметим, что Фурье-образ последовательности импульсов - это другая последовательность импульсов; периоды обеих последовательностей обратны друг другу. Последовательность импульсов и ее Фурье-образ показаны на рис. 2.6, в, г.

Свертка с импульсной функцией смещает исходную функцию.

(2.7)

Запишем теперь Фурье-образ дискретного сигнала.

(2.8)

Итак, приходим к заключению, что в пределах исходной полосы спектр дискретного сигнала равен, с точностью до постоянного множителя , спектру исходного сигнала . Кроме того, спектр периодически повторяется по частоте с интервалом Гц. Фильтрующее свойство импульсной функции позволяет легко получить свертку в частотной области последовательности импульсов с другой функцией. Импульсы действуют как стробирующие функции. Значит, свертку можно выполнить графически, накрывая последовательность импульсов , показанную на рис. 2.6, г, образом , представленным на рис. 2.6, б. Этот процесс повторяет функцию в каждом интервале частот последовательности импульсов, что в конечном итоге дает функцию , показанную на рис. 2.6, е.

После выбора частоты дискретизации (в предыдущем примере ) каждая спектральная копия отделяется от соседних полосой частот, равной , Гц, и аналоговый сигнал полностью восстанавливается из выборок путем фильтрации. В то же время для выполнения этого потребовался бы идеальный фильтр с абсолютно крутыми фронтами. Очевидно, что если копии отдалятся (в частотной области), как показано на рис. 2.7, а, и это облегчит операцию фильтрации. На рисунке также показана типичная характеристика фильтра нижних частот, который может использоваться для выделения спектра немодулированного сигнала. При уменьшении частоты дискретизации до копии начнут перекрываться, как показано на рис. 2.7, б, и информация частично будет потеряна. Явление, являющееся результатом недостаточной частоты выборки (выборки, производимой очень редко), называется наложением (aliasing). Частота Найквиста - это предел, ниже которого происходит наложение; чтобы избежать этого нежелательного явления, следует удовлетворять критерий Найквиста .

Рис.2.7. Спектры для различных частот дискретизации: а) дискретный спектр ; б) дискретный спектр

С практической точки зрения ни сигналы, представляющие технический интерес, ни реализуемые узкополосные фильтры не имеют строго ограниченной полосы. Сигналы с идеально ограниченной полосой не существуют в природе (см. раздел 1.7.2); следовательно, реализуемые сигналы, даже если мы можем считать, что они имеют ограниченную полосу, в действительности всегда включают некоторое наложение. Эти сигналы и фильтры могут, впрочем, рассматриваться как ограниченные. Под последним мы подразумеваем, что можно определить полосу, вне которой спектральные компоненты затухают настолько, что ими можно пренебречь.

2.4.1.2. Естественная дискретизация

В данном разделе справедливость теоремы о дискретном представлении демонстрируется с помощью свойства преобразования Фурье, заключающегося в сдвиге частоты. Хотя мгновенная выборка и является удобной моделью, все же более практичный способ дискретизации аналогового сигнала с ограниченной полосой частот (рис. 2.8, а, б) состоит в его умножении на серию импульсов или коммутирующий сигнал (рис. 2.8, в). Каждый импульс серии имеет ширину и амплитуду . Умножение на можно рассматривать как включение и выключение коммутатора. Как и ранее, частота дискретизации обозначается через , а величина, обратная к ней (время между выборками), - через . Получаемая последовательность дискретных данных, , показана на рис. 2.8, д; она выражается следующей формулой.

(2.9)

Рис.2.8. Теорема о дискретном представлении и сдвиг частоты Фурье-образа

В данном случае мы имеем дело с так называемой естественной дискретизацией (natural sampling), поскольку вершина каждого импульса в течение интервала его передачи имеет форму соответствующего аналогового сегмента. С помощью уравнения (А. 13) периодическую серию импульсов можно выразить как ряд Фурье:

, (2.10)

где частота дискретизации, , выбрана равной , так что выполнено минимальное необходимое условие критерия Найквиста. Из уравнения (А.24) , где - ширина импульса, - его амплитуда, а

.

Огибающая спектра амплитуд серии импульсов, показанная на рис. 2.8, г пунктиром, имеет вид функции . Объединяя выражения (2.9) и (2.10), получаем следующее.

(2.11)

Образ дискретного сигнала находится следующим образом.

(2.12)

Для линейных систем операции суммирования и преобразования Фурье можно менять местами. Следовательно, можно записать следующее.

(2.13)

Используя свойство трансляции частоты преобразования Фурье (см. раздел А.3.2), получаем следующее выражение для .

(2.14)

Подобно дискретизации с использованием единичных импульсов формула (2.14) и рис. 2.8, е показывают, что - это копия , периодически повторяющаяся по частоте с интервалом , Гц. Впрочем, при естественной дискретизации видим, что взвешена на коэффициенты ряда Фурье серии импульсов, тогда как при дискретизации единичными импульсами имеем импульсы постоянной формы. Отметим, что в пределе, при стремящейся к нулю ширине импульса , стремится к для всех (см. пример ниже) и уравнение (2.14) переходит в уравнение (2.8).

Пример 2.1. Сравнение дискретизации единичными импульсами и естественной дискретизации

Рассмотрим данный сигнал и его Фурье-образ . Пусть - спектр сигнала , являющегося результатом дискретизации с помощью серии единичных импульсов , a - спектр сигнала , являющегося результатом дискретизации с помощью серии импульсов , имеющих ширину , амплитуду и период . Покажите, что в пределе .

Решение

Из уравнения (2.8)

и из уравнения (2.14)

При амплитуда импульса стремится к бесконечности (площадь импульса постоянна) и . С помощью уравнения (А. 14) коэффициенты можно записать как следующий предел.

Следовательно, в пределах интегрирования (от до ) единственный ненулевой вклад в интеграл дает значение ; в данном случае можно записать следующее.

Получаем, что в пределе для всех .

2.4.1.3. Метод «выборка-хранение»

Простейшим, а поэтому и наиболее популярным методом дискретизации является выборка-хранение. Описать этот метод можно с помощью свертки серии дискретных импульсов, , показанной на рис. 2.6, д, с прямоугольным импульсом , имеющим единичную амплитуду и ширину . Эта свертка дает дискретную последовательность импульсов с плоским верхом.

(2.15)

Фурье-образ, , временной свертки в уравнении (2.15) равен произведению в частотной области Фурье-образа прямоугольного импульса и периодического спектра импульсно-дискретных данных, показанного на рис. 2.6, е.

(2.16)

Здесь имеет вид . Результатом умножения является спектр, подобный спектру примера естественной дискретизации (рис. 2.8, е). Наиболее явный результат операции хранения - значительное затухание высокочастотных спектральных копий (сравните рис. 2.8, е и 2.6, е), что весьма желательно. Как правило, для завершения процесса фильтрации требуется дополнительная аналоговая фильтрация, позволяющая подавить остаточные спектральные компоненты, кратные частоте дискретизации. Вторичным результатом операции хранения является неоднородное усиление (или подавление) спектра нужной полосы частот за счет функции (см. формулу 2.16). После фильтрации это подавление можно компенсировать путем применения функции, обратной к .

2.4.2. Наложение

На рис. 2.9 представлено увеличенное изображение рис. 2.7, б, на котором дана положительная половина спектра немодулированного сигнала и одна копия сигнала. Этот рисунок иллюстрирует наложение в частотной области. Перекрывающаяся область, показанная на рис. 2.9, б, содержит ту часть спектра, которая налагается вследствие недостаточной частоты выборки. Накладывающиеся спектральные компоненты представляют собой неоднозначную информацию, находящуюся в полосе частот . Из

рис. 2.10 видно, что повышение частоты дискретизации позволяет устранить наложение путем разделения спектральных копий; результирующий спектр, показанный на рис. 2.10, б, соответствует случаю, приведенному на рис. 2.7, а. На рис. 2.11 и 2.12 продемонстрированы два способа борьбы с наложением, в которых используются фильтры защиты от наложения спектров (antialiasing filter). На рис. 2.11 аналоговый сигнал предварительно фильтруется, так что новая максимальная частота уменьшается до или даже сильнее. Таким образом, поскольку , на рис. 2.11, б уже отсутствуют перекрывающиеся компоненты. Такой метод устранения наложения до дискретизации очень хорошо себя зарекомендовал в области проектирования цифровых систем. При хорошо известной структуре сигнала наложение может устраняться и после дискретизации, для чего дискретные данные пропускаются через фильтр нижних частот [2]. На рис. 2.12, а, б накладывающиеся компоненты удаляются после дискретизации; частота среза фильтра удаляет перекрывающиеся компоненты; частота должна быть меньше . Отметим, что методы фильтрации, применяемые для удаления части спектра, в которой присутствует наложение, на рис. 2.11 и 2.12 приведут к потере некоторой информации. По этой причине частота дискретизации, ширина полосы среза и тип фильтра, выбираемые для конкретного сигнала, не являются независимыми параметрами.

Реализуемые фильтры требуют ненулевой ширины полосы для перехода между полосой пропускания и областью затухания. Эта область называется полосой перехода. Для минимизации частоты дискретизации системы желательно было бы, чтобы фильтры защиты от наложения спектров имели узкую полосу перехода. В то же время при сужении полосы перехода резко возрастает сложность фильтров и их стоимость, так что необходимо принять компромиссное решение относительно цены более узкой полосы перехода и цены высокой частоты дискретизации. Во многих системах оптимальной шириной полосы перехода является 10-20% от ширины полосы сигнала. Рассчитав частоту дискретизации Найквиста для 20%-ной ширины перехода фильтра защиты от наложения спектров, получим инженерную версию критерия Найквиста.

(2.17)

Рис.2.9. Наложение в частотной области: а) спектр непрерывного сигнала;

б) спектр дискретного сигнала

Рис.2.10. Большая частота дискретизации позволяет избежать наложения:

а) спектр непрерывного сигнала; б) спектр дискретного сигнала

Рис.2.11. Фильтры с более острым отсеканием позволяют устранить наложение: а) спектр непрерывного сигнала; б) спектр дискретного сигнала

Рис.2.12. Фильтрация после дискретизации устраняет часть спектра, в которой имеется наложение: а) спектр непрерывного сигнала; б) спектр дискретного сигнала

На рис. 2.13 показано, как выглядит наложение во временной области. Точками показаны выборки сигнала (сплошная синусоида). Отметим, что вследствие недостаточной частоты выборки через точки выборки можно проложить другую синусоиду (пунктир).

Пример 2.2. Частота дискретизации для музыкальной системы высокого качества

Требуется с высоким качеством оцифровать музыкальный источник с шириной полосы 20 кГц. Для этого нужно определить частоту дискретизации. Используя инженерную версию критерия Найквиста, формулу (2.17), получаем, что частота дискретизации должна превышать 44,0 тысячи выборок в секунду. Для сравнения, стандартная частота дискретизации для аудиопроигрывателя компакт-дисков составляет 44,1 тысячи выборок в секунду, а стандартная частота дискретизации аудиодисков студийного качества равна 48,0 тысяч выборок в секунду.

Рис.2.13. Наложенные частоты, возникшие вследствие дискретизации с частотой, меньшей частоты Найквиста

2.4.3. Зачем нужна выборка с запасом

Выборка с запасом (oversampling) - это наиболее экономичное решение задачи преобразования аналогового сигнала в цифровой или цифрового в аналоговый. Это объясняется тем, что обработка сигнала выполняется на высокопроизводительном аналоговом оборудовании, что обычно дороже использования для этой же задачи цифрового оборудования обработки сигналов. Рассмотрим преобразование аналоговых сигналов в цифровые. Если это выполняется без выборки с запасом, то процесс дискретизации описывается тремя простыми этапами.

Выборка без запаса

1. Сигнал пропускается через высокопроизводительный аналоговый фильтр нижних частот для ограничения его полосы.

2. Отфильтрованный сигнал дискретизируется с частотой Найквиста с целью создания сигнала с (приблизительно) ограниченной полосой. Как описывалось в разделе 1.7.2, сигнал со строго ограниченной полосой относится к разряду нереализуемых.

3. Выборки квантуются устройством преобразования аналоговых сигналов в цифровые, отображающим выборки, которые могут принимать значения из непрерывного диапазона, в конечный набор дискретных уровней.

Если же выборку производить с запасом, то процесс будет состоять из пяти этапов.

Выборка с запасом

1. Сигнал пропускается через менее производительный (более дешевый) аналоговый фильтр нижних частот (предварительная фильтрация) для ограничения его полосы.

2. Предварительно отфильтрованный сигнал выбирается с частотой в несколько раз выше частоты Найквиста для создания сигнала с ограниченной полосой.

3. Выборки преобразовываются преобразователем аналоговых сигналов в цифровые, отображающим выборки, которые могут принимать значения из непрерывного диапазона, в конечный набор дискретных уровней.

4. Цифровые выборки обрабатываются высокопроизводительным цифровым фильтром для сужения полосы цифровых выборок.

5. Частота дискретизации на выходе цифрового фильтра уменьшается пропорционально сужению полосы, полученному при использовании этого цифрового фильтра.

Преимущества выборки с запасом подробно рассматриваются в двух следующих разделах.

2.4.3.1. Аналоговая фильтрация, дискретизация и преобразование аналоговых сигналов в цифровые

Полоса пропускания аналогового фильтра, ограничивающая ширину полосы входящего сигнала, равна ширине полосы сигнала плюс область спада (stop band). Наличие области перехода приводит к увеличению ширины полосы сигнала на выходе на некоторую величину . Частоту Найквиста для отфильтрованного выхода, обычно равную (удвоенной максимальной частоте дискретного сигнала), теперь необходимо увеличить до . Ширина полосы спада фильтра является служебными издержками процесса дискретизации. Этот Дополнительный спектральный интервал не представляет полосы полезного сигнала, а нужен для защиты полосы сигнала путем резервирования спектральной области для накладывающегося спектра, возникающего в процессе дискретизации. Наложение возникает вследствие того, что реальный сигнал не может быть строго ограниченным. Типичные полосы спада дают 10-20%-ное увеличение частоты дискретизации по сравнению с частотой, определяемой критерием Найквиста. Примером таких служебных издержек может служить цифровая аудиосистема проигрывания компакт-дисков, где двусторонняя полоса равна 40 кГц, а частота дискретизации - 44,1 кГц, или система проигрывания цифровых аудиокассет (digital audio type - DAT), в которой ширина двусторонней полосы также равна 40 кГц, а частота дискретизации - 48,0 кГц.

Естественным желанием является использование для создания аналоговых фильтров с узкой полосой перехода и максимально низкой из возможных частот дискретизации. В то же время аналоговые фильтры имеют две нежелательные особенности. Во-первых, они могут приводить к искажению (нелинейное изменение фазы с частотой), вызванному малыми областями перехода. Во-вторых, цена системы может оказаться высокой, поскольку узкие области перехода подразумевают применение фильтров высоких порядков (см. раздел 1.6.3.2), требующих большого числа высококачественных составляющих. Проблема состоит в том, что для уменьшения стоимости хранения данных хотелось бы работать с устройством дискретизации с максимально низкой частотой. Для достижения этой цели можно создать изощренный аналоговый фильтр с узкой областью перехода. Однако такой фильтр не только дорог, но и искажает сам сигнал, хотя задачей фильтра как раз является защита сигнала (от нежелаемого наложения).

В данном случае выборка с запасом наиболее приемлема - при наличии проблемы, решить которую мы не можем, превращаем ее в проблему, поддающуюся решению. Мы используем дешевый, менее сложный предварительный аналоговый фильтр для ограничения полосы входящего сигнала. Этот аналоговый фильтр можно упростить за счет выбора более широкой переходной области. При этом увеличивается ширина спектра, из-за чего нам нужно увеличить требуемую частоту дискретизации. Обычно начинают с выбора частоты дискретизации, в 4 раза превышающей исходную, после чего разрабатывают аналоговый фильтр, ширина полосы которого соответствует этой увеличенной частоте дискретизации. Например, вместо дискретизации сигнала компакт-диска на частоте 44,1 кГц при ширине области перехода 4,1 кГц, реализованной с использованием сложнейшего эллиптического фильтра 10-го порядка (подразумевается, что фильтр включает 10 избирательных элементов, таких как конденсаторы и индуктивности), мы выбираем выборку с запасом. В этом случае устройство дискретизации может работать на частоте 176,4 кГц с областью перехода 136,4 кГц, реализованное простым эллиптическим фильтром 4-го порядка (имеющим всего 4 избирательных элемента).

2.4.3.2. Цифровая фильтрация и повторная выборка

Итак, у нас есть дискретные данные с большей, чем требуется, частотой дискретизации, и эти данные пропускаются через недорогой высокопроизводительный цифровой фильтр для выполнения фильтрации, необходимой для предотвращения наложения. Цифровой фильтр может реализовать узкую область перехода без искажения, свойственного аналоговым фильтрам, а его эксплуатация недорогая. После того как цифровая фильтрация уменьшила ширину полосу перехода, мы снижаем частоту дискретизации сигнала (повторная выборка). В результате в единую структуру объединяются качественные методы цифровой обработки, фильтрация и повторная выборка.

Рассмотрим теперь вопрос дальнейшего улучшения качества процесса сбора данных. Предварительный аналоговый фильтр приводит к некоторому искажению амплитуды и фазы. Поскольку заранее известно, каково это искажение, цифровой фильтр проектируется не только для защиты (совместно с аналоговым фильтром) от наложения, но и для компенсации усиления и искажения фазы, вносимых аналоговым фильтром. Суммарный результат может, по желанию, улучшаться до любого предела. Таким образом, получаем сигнал более высокого качества (менее искаженный) по более низкой цене. Аппаратура цифровой обработки сигналов, представляющая собой развитие компьютерной индустрии, характеризуется значительным ежегодным снижением цен, чего нельзя сказать об аналоговой аппаратуре.

Подобным образом выборка с запасом используется в процессе преобразования цифрового сигнала в аналоговый (digital-to-analog conversion - DAC). Аналоговый фильтр, через который пропускается преобразованный сигнал, будет искажать сигнал, если последний будет иметь узкую полосу перехода. Но полоса перехода уже не будет узкой, если данные, полученные после преобразования DAC, были оцифрованы с помощью выборки с запасом.

2.4.4. Сопряжение сигнала с цифровой системой

Рассмотрим четыре способа описания аналоговой исходной информации. Возможные варианты показаны на рис. 2.14. Сигнал, изображенный на рис. 2.14, а, будем называть исходным аналоговым. На рис. 2.14, б представлена дискретная версия исходного сигнала, обычно именуемая данными, оцифрованными естественным способом, или данными с амплитудно-импульсной модуляцией (pulse amplitude modulation - РАМ). Думаете, дискретные данные на рис. 2.14, б совместимы с цифровой системой? Нет, поскольку амплитуда каждой естественной выборки все еще может принимать бесконечное множество возможных значений, а цифровая система работает с конечным набором значений. Даже если дискретные сигналы имеют плоские вершины, возможные значения составляют бесконечное множество, поскольку они отражают все возможные значения непрерывного аналогового сигнала. На рис. 2.14, в показано представление исходного сигнала дискретными импульсами. Здесь импульсы имеют плоскую вершину, и возможные значения амплитуд импульсов ограничены конечным множеством. Каждый импульс характеризуется уровнем, причем все уровни предопределены и составляют конечное множество; каждый уровень может представляться символом конечного алфавита. Импульсы на рис. 2.14, в называются квантованными выборками; такой формат является естественным выбором для сопряжения с цифровой системой. Формат, показанный на рис. 2.14, г, может быть получен на выходе схемы выборки-хранения. При квантовании дискретных значений в конечное множество, данные в таком формате совместимы с цифровой системой. После квантования аналоговый сигнал по-прежнему может восстанавливаться, но уже не абсолютно точно; повысить точность восстановления аналогового сигнала можно за счет увеличения числа уровней квантования (требуется увеличение ширины полосы системы). Искажение сигнала вследствие квантования будет рассмотрено далее в этой главе (и в главе 13).

Рис.2.14. Исходные данные в системе координат «время-амплитуда»: а) исходный аналоговый сигнал; б) данные в естественной дискретизации; в) квантованные выборки; г) выборка-хранение