Электрическую цепь любой сложности, имеющую две пары зажимов для подключения к источнику и приемнику электрической энергии, в технике связи называют четырехполюсником. Зажимы, к которым подключается источник, называются входными, а зажимы, к которым присоединяется приемник (нагрузка) – выходными зажимами (полюсами).

В общем виде четырехполюсник изображают, как показано на рис. 1.1. К входу четырехполюсника 1–1' подключен источник электрической энергии с комплексным действующим значением напряжения и внутренним сопротивлением . К выходным зажимам 2–2' присоединена нагрузка с сопротивлением . К входным зажимам приложено напряжение с комплексным действующим значением , к выходным – с комплексным действующим значением . Через входные зажимы протекает ток с комплексным действующим значением , через выходные зажимы – с комплексным действующим значением . Заметим, что в роли источника и приемника электрической энергии могут выступать другие четырехполюсники.

Рис. 1.1

На рис. 1.1 использованы символические обозначения напряжений и токов. Это означает, что анализ электрической цепи проводится для гармонического колебания определенной частоты. Для данного гармонического колебания можно определить передаточную функцию нагруженного четырехполюсника, которая будет представлять собой отношение комплексного действующего значения выходной электрической величины к комплексному действующему значению входной электрической величины.

Если входным воздействием считать напряжение генератора с комплексным действующим значением , а реакцией четырехполюсника на это воздействие – напряжение с комплексным действующим значением или ток с комплексным действующим значением , то получаются комплексные передаточные функции общего вида:

, (1.1)

. (1.2)

В частных случаях, когда заданными воздействиями являются напряжение на входных зажимах четырехполюсника или ток, протекающий через эти зажимы, получают следующие четыре разновидности передаточных функций:

– комплексный коэффициент передачи по напряжению (для активных четырехполюсников, например усилителей, он носит название коэффициента усиления по напряжению);

– комплексный коэффициент передачи по току (для активных цепей – коэффициент усиления по току);

– комплексное передаточное сопротивление;

– комплексная передаточная проводимость.

Часто в теории цепей используют нормированную или рабочую передаточную функцию четырехполюсника:

, (1.3)

которая получается путем нормирования (1.1) множителем .

Как всякую комплексную величину Н можно представить в показательной форме:

, (1.4)

где – модуль комплексной передаточной функции, а j – ее аргумент.

Рассмотрим комплексную передаточную функцию по напряжению

, (1.5)

Подставляя в (1.5) запись комплексных действующих значений

,

получим

.

Из сравнения этого выражения с (1.4) видно, что

,

т. е. модуль комплексной передаточной функции по напряжению (или комплексного коэффициента усиления по напряжению) показывает во сколько раз изменяется действующее значение (амплитуда) гармонического колебания напряжения на выходе цепи по сравнению с аналогичным значением на входе цепи, а аргумент этой функции определяет сдвиг фаз между гармоническими колебаниями напряжения на входе и выходе.

Точно так же можно найти:

.

Все сказанное выше о коэффициенте передачи по напряжению справедливо и для коэффициента передачи по току.

Если мы будем изменять частоту гармонического колебания, то выражение (1.4) следует записать в виде:

. (1.6)

Функция частоты называется амплитудно-частотной характеристикой цепи (АЧХ). Она показывает какие изменения в амплитуды гармонических колебаний вносит цепь на каждой частоте.

Функция частоты называется фазо-частотной характеристикой цепи (ФЧХ). Соответственно эта характеристика показывает какой фазовый сдвиг приобретает гармоническое колебание каждой частоты при распространении по цепи.

Комплексную передаточную функцию можно представить также в алгебраической форме:

,

где Re и Im означают реальную и мнимую части комплексной величины.

Из теории комплексных величин известно, что

Пример 1.1

Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а.

Согласно (1.5) запишем

.

Найдем комплексную функцию на выходе цепи:

.

Подставив в формулу для , получим комплексную передаточную функцию:

;

Рис. 1.2

АЧХ цепи

;

ФЧХ цепи

.

Изменяя частоту w от 0 до Ґ , можем изобразить графики АЧХ и ФЧХ цепи (рис. 1.2, б и в).

АЧХ и ФЧХ цепи можно представить единым графиком, если построить зависимость комплексной передаточной функции от частоты w на комплексной плоскости. При этом конец вектора опишет некоторую кривую, которая называется годографом комплексной передаточной функции (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Часто специалисты оперируют понятием логарифмической амплитудно-частотной характеристики (ЛАХ):

.

Значения величины К оцениваются в децибелах (дБ). В активных цепях, содержащих усилители, величину К называют еще логарифмическим усилением. Для пассивных цепей вместо коэффициента усиления вводят понятие ослабления цепи:

, (1.7)

которое также оценивается в децибелах.

Пример 1.2

Известно, что модуль коэффициента передачи по напряжению цепи принимает следующие значения:

f = 0 кГц Н(f) = 1

f = 1 кГц Н(f) = 0,3

f = 2 кГц Н(f) = 0,01

f = 4 кГц Н(f) = 0,001

f = 8 кГц Н(f) = 0,0001

Рис. 1.4

Изобразить график ослабления цепи.

Значения ослабления цепи, рассчитанные по (1.7), приведены в таблице:

 

f, кГц	0	1	2	4	8
А(f), дБ	0	12	40	60	80

 

График А(f) приведен на рис. 1.4.

Если вместо комплексных сопротивлений емкости и индуктивности иметь дело с операторными сопротивлениями емкости и индуктивность pL, то в выражении нужно заменить на р.

Операторная передаточная функция цепи может быть записана в общем виде как дробно-рациональная функция с вещественными коэффициентами:

, (1.8)

или в виде

, (1.9)

где – нули; – полюсы передаточной функции; .

Заменив в (1.8) оператор р на jw , вновь получим комплексную передаточную функцию цепи

,

где АЧХ цепи

; (1.10)

ФЧХ цепи

. (1.11)

Учитывая, что является иррациональной функцией, обычно при анализе и синтезе цепей имеют дело с квадратом АЧХ:

, (1.12)

где коэффициенты получаются путем объединения коэффициентов при одинаковых степенях переменной w .

Пример 1.3

Найти коэффициент передачи по напряжению и квадрат АЧХ цепи, изображенной на рис. 1.5, а.

Коэффициент передачи по напряжению этой цепи равен

где Н = 1, , .

Корни числителя этой рациональной дроби, т. е. нули передаточной функции,

.

Корни знаменателя, или полюсы передаточной функции,

Рис. 1.5

.

На рис. 1.5, б показано расположение нулей и полюсов функции при .

По теореме Виета

.

Амплитудно-частотная характеристика определяется из путем замены р на и вычисления модуля полученной функции

.

Квадрат АЧХ запишется в виде

где ; ;

;

.

АЧХ цепи изображена на рис. 1.5, в.

Перечислим основные свойства операторных передаточных функций и квадрата АЧХ пассивных цепей:

1. Передаточная функция является дробно-рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Вещественность коэффициентов объясняется тем, что они определяются элементами схемы.

2. Полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р. На расположение нулей ограничений нет. Докажем это свойство на примере передаточной функции . Выберем входное воздействие или в операторной форме . Изображение выходного напряжения в этом случае численно равно , т. е.

где – полином числителя передаточной функции; – коэффициенты разложения дробно-рациональной функции на сумму простых дробей.

Перейдем от изображения к оригиналу :

, (1.13)

где в общем случае .

В пассивных и устойчивых активных четырехполюсниках колебания на выходе четырехполюсника после прекращения воздействия должны иметь затухающий характер. Это означает, что в (1.13) вещественные части полюсов должны быть отрицательными , т. е. полюсы должны находиться в левой полуплоскости переменной р.

3. Степени полиномов числителей передаточной функции и квадрата АЧХ не превышают степеней полиномов знаменателей, т. е. n Ф m. Если бы это свойство не выполнялось, то на бесконечно больших частотах АЧХ принимала бы бесконечно большое значение (так как числитель рос бы с увеличением частоты быстрее знаменателя), т. е. цепь обладала бы бесконечным усилением, что противоречит физическому смыслу.

4. Квадрат АЧХ является четной рациональной функцией переменной w с вещественными коэффициентами. Это свойство с очевидностью вытекает из способа получения квадрата АЧХ по передаточной функции.

5. Квадрат АЧХ не может принимать отрицательных и бесконечно больших значений при w > 0. Неотрицательность следует из свойств квадрата модуля комплексной величины. Конечность значений АЧХ на реальных частотах объясняется так же, как и в свойстве 3.

В большинстве цепей с зависимыми источниками имеется по крайней мере два пути прохождения сигнала: прямой (от входа к выходу) и обратный (с выхода на вход). Обратный путь прохождения сигнала реализуется с помощью специальной цепи обратной связи (ОС). Таких путей, а значит и цепей ОС, может быть несколько. Наличие в цепях с зависимыми источниками ОС придает им новые ценные качества, которыми не обладают цепи без ОС. Например, с помощью цепей ОС можно осуществить температурную стабилизацию режима работы цепи, уменьшить нелинейные искажения, возникающие в цепях с нелинейными элементами и т. д.

Любую цепь с обратной связью можно представить состоящей из двух четырехполюсников (рис. 1.6).

Рис. 1.6

Активный линейный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению является усилителем. Его иногда называют основным элементом цепи и говорят, что он образует канал прямого усиления.

Пассивный четырехполюсник с передаточной функцией по напряжению называется цепью обратной связи. На входе цепи осуществляется суммирование входного напряжения и напряжения обратной связи .

Выведем формулу передаточной функции по напряжению цепи, изображенной на рис. 1.6. Пусть на вход подается напряжение . Его операторное изображения . На выходе цепи возникает напряжение . В соответствии с рис. 1.6 его операторное изображение

. (1.14)

Операторное изображение можно записать через передаточную функцию цепи обратной связи

.

Тогда выражение (1.14) можно переписать в виде

или

. (1.15)

Операторная передаточная функция по напряжению цепи с ОС (см. рис. 1.6).

. (1.16)

Пример 1.4

На рис. 1.7 изображена цепь на операционном усилителе (ОУ), предназначенная для масштабирования напряжения. Найти передаточную функцию этой цепи.

Получим передаточную функцию этой цепи как цепи с обратной связью, используя формулу (1.16).

Цепью обратной связи на схеме рис. 1.7 служит Г-образный делитель напряжения, составленный из резистивных сопротивлений и . Выходное напряжение усилителя поступает на вход цепи ОС; напряжение ОС снимается с резистора . Передаточная функция по напряжению цепи ОС

Рис. 1.7

.

Воспользуемся формулой (1.16) и учтем, что входное напряжение и напряжение обратной связи не суммируются, а вычитаются. Тогда получим передаточную функцию масштабного усилителя:

.

Учитывая, что в реальных ОУ значение >> 1, окончательно имеем:

,

Пример 1.5

Звено на ОУ с частотно-зависимой ОС представлено на рис. 1.8. Найти передаточную функцию этого звена.

Рис. 1.8

Чтобы проанализировать прямой путь прохождения сигнала и путь прохождения сигнала ОС, необходимо воспользоваться методом наложения. Для этого следует поочередно исключать источники входного напряжения и напряжения обратной связи, заменяя их внутренним сопротивлением. В случае идеальных источников напряжения их внутреннее сопротивление равно нулю. Напряжение , приложенное к звену, ослабляется входной цепью, представляющей собой Г-образный делитель напряжения с сопротивлениями и в плечах. Передаточная функция по напряжению такого делителя равна

.

Цепь обратной связи также является Г-образным четырехполюсником с передаточной функцией.

Коэффициент усиления ОУ .

В соответствии с формулой (1.16) получаем передаточную функцию звена:

Учитывая, что >> 1, получаем:

.

Данное звено может выполнять различные функции в зависимости от вида сопротивлений и . При и звено превращается в инвертирующий масштабный усилитель; при и – в интегратор; при и – в дифференциатор.

Пример 1.6

Звено второго порядка с регулируемым коэффициентом усиления представлено на рис. 1.9, а. Найти передаточную функцию этого звена.

Анализ прохождения входного сигнала и сигнала в цепи ОС показывает, что звено имеет входную цепь, изображенную на рис. 1.9, б и цепь ОС, показанную на рис. 1.9, в. Передаточные функции этих цепей можно получить матричным методом, например, рассматривая каждую цепь как каскадное соединение соответствующих Г-образных четырехполюсников.

Рис. 1.9

Для входной цепи

. (1.17)

Для цепи ОС

. (1.18)

С учетом (1.16) получим передаточную функцию звена

. (1.19)

Коэффициент передачи усилителя . Тогда, подставляя (1.17) и (1.18) в (1.19), после преобразования имеем

.

Переходя в (1.16) от оператора р к оператору , получаем комплексную передаточную функцию

. (1.20)

Произведение представляет собой комплексную передаточную функцию усилителя и цепи обратной связи при условии, что обратная связь разорвана (рис. 1.10). Функцию называют передаточной функцией по петле ОС или петлевым усилением. Введем понятия положительной и отрицательной обратной связи. Эти понятия играют заметную роль в теории цепей с обратной связью.

Рис. 1.10

Предположим вначале, что передаточные функции , , не зависят от частоты и являются вещественными числами. Такая ситуация возможна, когда в цепи отсутствуют LC-элементы. При этом может быть как положительным, так и отрицательным числом. В первом случае сдвиг фаз между входным и выходным напряжениями или, другими словами, сдвиг фаз по петле обратной связи равен нулю или , k = 0, 1, 2, ... Во втором случае, когда , сдвиг фаз по этой петле равен или .

Если в цепи с обратной связью сдвиг фаз по петле равен нулю, то обратная связь называется положительной, если же сдвиг фаз равен , то такая обратная связь называется отрицательной.

Передаточную функцию можно изобразить в виде векторов и показать их на комплексной плоскости. При положительной обратной связи вектор находится на положительной вещественной полуоси, а при отрицательной обратной связи – на отрицательной вещественной полуоси.

Кривая, которую описывает конец вектора при изменении частоты w (рис. 1.11), называется, как известно, годографом.

Рис. 1.11

Представление в виде годографа позволяет определить вид обратной связи в случае частотнозависимой обратной связи.

Обратная связь называется положительной, если годограф лежит в правой, и отрицательной – если в левой полуплоскости комплексной плоскости. Отрицательная ОС применяется для стабилизации коэффициента усиления, подавления паразитных сигналов, коррекции частотных характеристик; положительная ОС может являться причиной неустойчивости цепи.

Введем понятия устойчивой и неустойчивой цепи. Цепь называется устойчивой, если свободные колебания с течением времени стремятся к нулю. В противном случае цепь называется неустойчивой. Из теории переходных процессов следует, что цепь является устойчивой, если корни характеристического уравнения лежат в левой полуплоскости комплексной переменной р. Если корни такого уравнения лежат в правой полуплоскости, то цепь является неустойчивой, т. е. она находится в режиме самовозбуждения. Таким образом, для определения условий устойчивости цепи достаточно найти характеристическое уравнение и его корни. Как видим, условия устойчивости можно определить и не вводя понятие обратной связи. Однако здесь возникает ряд проблем. Дело в том, что вывод характеристического уравнения и определение его корней являются громоздкой процедурой, особенно для цепей высокого порядка. Введение понятия обратной связи облегчает получение характеристического уравнения или даже дает возможность обойтись без него. Крайне важно и то, что понятие обратной связи адекватно физическим процессам, возникающим в цепи, поэтому они становятся более наглядными. Глубокое понимание физических процессов облегчает работу по созданию автогенераторов, усилителей и т. д.

Рассмотрим цепь (см. рис. 1.6) и выведем ее характеристическое уравнение. Пусть и, значит, . Тогда из (1.15) следует:

. (1.21)

Здесь (в противном случае цепь нельзя считать возбужденной) и поэтому равенство (1.21) выполняется при условии

. (1.22)

Если записать передаточную функцию основной цепи в виде , а цепи ОС – , то уравнение (1.22) перепишется следующим образом:

.

Это равенство выполняется при

. (1.23)

Выражение в левой части этого равенства является полиномом, поэтому (1.23) можно записать в общем виде:

. (1.24)

Это и есть характеристическое уравнение цепи.

Корни уравнения (1.24) в общем случае являются комплексными величинами

где . Зная корни характеристического уравнения, можно записать выходное напряжение:

. (1.25)

Чтобы напряжение не возрастало безгранично, всем корням характеристического уравнения необходимо иметь отрицательные вещественные части, т. е. корни должны располагаться в левой полуплоскости комплексной переменной . Цепь с ОС, обладающая такими свойствами, называется абсолютно устойчивой.

При исследовании цепей с обратной связью могут возникать две проблемы. Если проектируемая цепь должна быть устойчивой, то необходимо располагать критерием, который по виду функций и позволял бы судить об отсутствии корней характеристического уравнения в правой полуплоскости р. Если обратная связь используется для создания неустойчивой автоколебательной цепи, то следует убедиться, что корни уравнения (1.24) расположены, наоборот, в правой полуплоскости. При этом необходимо иметь такое расположение корней, при котором самовозбуждение происходило бы на требуемой частоте.

Рассмотрим критерий устойчивости цепи, названный критерием Найквиста, и позволяющий судить об устойчивости цепи с обратной связью по свойствам разомкнутой цепи (рис. 1.10).

Передаточная функция разомкнутой цепи, или петлевое усиление, входит в характеристическое уравнение (1.22):

, (1.26)

Если найдется такая частота w , для которой конец вектора попадает в точку с координатами (1, j0), то это будет означать, что выполняется условие (1.26), т. е. на этой частоте в цепи произойдет самовозбуждение. Значит, по годографу можно определить, устойчива цепь или нет. Для этого используется критерий Найквиста, который формулируется следующим образом: если годограф передаточной функции разомкнутой цепи не охватывает точку с координатами (1, j0), то при замкнутой цепи обратной связи цепь является устойчивой. В том случае, когда годограф охватывает точку (1, j0), цепь неустойчива. На рис. 1.11 показаны годографы трех цепей с положительной обратной связью (цифра 1 соответствует годографу устойчивой цепи).

Пользуясь критерием Найквиста, легко получить условия самовозбуждения цепи с ОС. Запишем выражение для в виде

,

где , – модули передаточных функций;

, – фазовые сдвиги соответственно в основном элементе и в цепи ОС.

Условия пересечения годографом оси абсцисс при Х 1 можно записать в виде двух условий:

• условие (уравнение) баланса фаз , где n = 0, 1, 2, ...;

 

• амплитудное условие

 

Х 1, или Х 1.

Выполнение неравенства соответствует режиму возникновения колебаний с нарастающей амплитудой, что характерно для начального этапа самовозбуждения. Выполнение равенства соответствует режиму генерации гармонического напряжения на частоте с постоянной амплитудой и носит название баланса амплитуд.

Как будет показано ниже, уравнение баланса фаз позволяет определить частоту, на которой происходит самовозбуждение цепи с ОС, а уравнение баланса амплитуд дает возможность определить величину амплитуды генерируемого колебания с частотой в стационарной режиме.

Пример 1.7

Исследуем устойчивость цепи, изображенной на рис. 1.9, а. В ней можно выделить усилительный элемент с передаточной функцией и цепь обратной связи (рис. 1.9, в) с передаточной функцией (1.18)

,

где .

Кроме того, напомним, что на усилитель сигнал поступает через входную цепь (рис. 1.9, б), передаточная функция которой (см. (1.17))

.

Получим характеристическое уравнение цепи:

или

.

Откуда окончательно получаем

.

Корни этого характеристического уравнения

зависят от коэффициента усиления усилителя К. Расположение корней и на плоскости комплексного переменного р для разных коэффициентов усиления и соответствующие этому графики свободных колебаний в цепи показаны на рис. 1.12.

Устойчивость данной цепи можно исследовать и с помощью критерия Найквиста. Комплексная передаточная функция разомкнутой цепи равна

Рис. 1.12

На рис. 1.11 приведены годографы устойчивой (К = 2, кривая 1) и неустойчивой (К = 3, кривая 2; К = 4, кривая 3) цепи.

Вопросы и задания для самопроверки

1. Что такое комплексная передаточная функция? Какие виды комплексных передаточных функций четырехполюсника известны?

2. Определить коэффициент передачи по напряжению , АЧХ и ФЧХ цепи, изображенной на рис. 1.2, а, если выходным напряжением является напряжение на резисторе R. Построить графики АЧХ и ФЧХ.

Ответ: ; ; 90° – arctg wRC.

3. Определить коэффициент передачи по напряжению при холостом ходе и коэффициент передачи по току при коротком замыкании для П-образного четырехполюсника в продольную ветвь которого включена индуктивность L, а в поперечные ветви – емкость С. Ответ: .

4. Определить ослабление, вносимое цепью рис. 1.2, а, при R = 31,8 кОм и = 10 кОм.

Ответ: 12 дБ.

5. Что такое операторная передаточная функция? Как она связана с комплексной передаточной функцией? Как определить нули и полюсы операторной передаточной функции?

6. Определить операторную передаточную функцию, комплексный коэффициент передачи по напряжению, АЧХ и квадрат АЧХ последовательного колебательного контура, изображенного на рис. 1.5, а, если выходным напряжением является напряжение на емкости С. Построить график АЧХ цепи.

Ответ: ; .

7. Перечислить основные свойства операторных передаточных функций пассивных цепей.

8. Как рассчитывается передаточная функция цепи с обратной связью?

9. Доказать, что операторная передаточная функция дифференциатора на операционном усилителе равна (–pRC). Построить график АЧХ такого дифференциатора.

10. Рассчитать передаточную функцию каскадного соединения цепей, изображенных на рис. 1.2, а и 1.7. Построить график АЧХ полученной цепи.

11. Определить передаточную функцию фильтра, изображенного на рис. 1.13.

Рис. 1.13

Ответ: .

12. Что такое годограф петлевого усиления? Как по годографу определить тип обратной связи?

13. Как формулируется критерий устойчивости Найквиста? Для каких цепей он используется?

14. Определить комплексную передаточную функцию разомкнутой цепи, изображенной на рис. 1.13. Исследуйте зависимость устойчивости цепи от величины коэффициента усиления К.

Ответ: .