1.2. Алгебра событий (Булева алгебра)
1.5. Вероятность появления хотя бы одного из события
1.1. Случайное событие
Опыт или случайное событие – действие или ряд действий, который может быть повторен многократно, и который заканчивается не некоторым исходом.
Опыт:
- исход
- пространство элементарных исходов. Все исходы равно возможны.
Случайным событием называется подмножество множества
.
Случайным событием называется событие, которое в результате данного опыта может произойти, а может и не произойти.
- называются совместными, если в результате опыта элементарный исход принадлежит
и
.
- несовместны.
- невозможное событие, если оно не имеет элементарных исходов
- достоверное, если оно в результате опыта обязательно произойдет.
Вероятность случайного события некоторая числовая характеристика или мера этого события.
- сумма событий (сложение) – событие состоящие в том, что произойдет A или B или оба.
- это событие, состоящее в том, что произойдет и A и B вместе.
- отрицание события A.
Диаграмма Эйлера-Венна.
1.2. Алгебра событий (Булева алгебра)
Свойства операций:
Правило Моргана
- противоположное событие (отрицание).
Пусть - события, что
(несовместимые между собой)
- образуют достоверное событие
- полная группа событий
1.3. Вероятность
Аксиоматическое определение вероятности
Опыт.
ММ,ДМ,МД,ДД
- аксиома не отрицательности.
- аксиома нормированности.
- Аксиома одитивности.
, если
и
несовместны.
- статистическая вероятность(относительная частота события
)
- число благоприятных исходов.
- число всего опытов.
Классическая вероятность
- конечное множество состоит из
элементарных исходов.
, где
- это общее число всех исходов, а
- это число благоприятствующих исходов.
Формулы комбинаторики
- Перестановки из
элементов - это упорядоченное множество из
элементов, число перестановок
.
- Сочетания из
элементов по
элементов - называется подмножества
элементов из
, без повторений.
- Размещение из
элементов по
- упорядоченное подмножество
элементов из
элементов.
Схема урн
= “2”к и “3”б
= “5”б
Геометрическая вероятность
1)
2)
Задача о встрече:
Теорема сложения
- Пусть
и
- несовместны тогда
.
- Пусть
и
- совместны тогда
.
Доказательство:
Пример:
- “курит”
.
- “живет в общежитии”
.
1.4. Условная вероятность
и
- называются независимыми, если вероятность события
не зависит от того, произошло ли событие
и наоборот.
- условная вероятность события
при условии, что событие
произошло.
Теорема умножения
Если и
- независимы, то
.
Пример:
- 1й - б
- 2й - б
Теорема умножения для 3-х событий
Пример:
- 1й - б
- 2й - к
- 3й - ч
1.5. Вероятность появления хотя бы одного из события
Опыт:
Двое стреляют
- вероятность попадания 0,8.
- вероятность попадания 0,6.
A - вероятность, что хотя бы один попал.
- оба промаха.
- произошло хотя бы одно событие из
.
- ни одно из событий не произошло.
- перегорит лампа.
- цепь не работает.
1.6. Формула полной вероятности
Пусть А – событие, которое происходит при наступлении одного из событий, которые образуют полную группу.
Доказательство:
– несовместны
Пусть , тогда
,
, …,
– гипотезы
Из всех групп выбирается только одна.
Пример:
Идет сдача экзамена
I – 20
II – 10
III – 15
– студент
сдал экзамен
– случайно выбранный студент сдал экзамен
1.7. Формула Бейеса
Пусть событие уже произошло, тогда какова вероятность того, что произошло событие
.
Полная вероятность , отсюда
Доказательство:
Пример:
Полная вероятность
Пусть произошло, тогда
1.8. Повторение независимых испытаний. Схема Бернулли
Испытания независимы, если вероятность элементарных исходов не зависят от предыдущих испытаний.
– число независимых испытаний
– может произойти с вероятностью
С какой вероятностью событие произойдет
раз
, где
– вероятность успеха
– вероятность неуспеха
– число сочетаний способов
Доказательство:
Пример:
10 раз бросим монету, какова вероятность того герб выпадет 5 раз
Вероятность того, что событие произойдет от до
раз в
испытаниях:
Приближенные формулы в схеме Бернулли.
Локальная теорема Муавра – Лапласа
Если достаточно велико, то вероятность в схеме Бернулли
, где
– количество испытаний
– вероятность успеха
– вероятность неуспеха
– функция Гаусса
, где
,
– ожидаемое количество успехов
Пример:
Свойства функции Гаусса:
– четная функция
– наивероятнейшее число успехов
Пример:
Наивероятнейшее число успехов
Интегральная теорема Муавра – Лапласа
Пусть – число испытаний (очень велико), тогда
, где
– функция Лапласа
Свойства функции Лапласа:
Функция нечетная, то есть
Пример:
|
Правило трех сигм
Пример:
Формула Пуассона
Если достаточно велико, а
мало
– среднее значение успехов в
испытаниях.
, где
Пример:
вызовов в час, какова вероятность того, что в течении 1 мин поступит
вызовов.
Отклонение частоты вероятности |
|
Пример:
Парадокс раздачи подарков:
-
– человек. Какова вероятность того, что каждому достанется свой подарок.
При
– подарков,
– человек. Какова вероятность того, что какой – то человек получит
подарков.
По формуле Пуассона:
– среднее число подарков