1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов
1.1. Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила
1.4. Обмен выигрыша от ортогонального кодирования на ширину полосы
1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов
1.5.1. Кодирование временным сдвигом
2. Задача измерения параметров и проблема выбора сигналов
2.1. Формулировка задачи и правила оценки
2.4. Комплексная огибающая радиосигнала
2.5. Автокорреляционная функция и отклик согласованного фильтра
2.6. Оценка запаздывания радиосигнала
3. Разрешающая способность и сложные сигналы
4. Преимущества систем с широкополосной передачей
4.2. Низкая вероятность обнаружения
4.3. Криптозащищенность сигнала
4.4. Электромагнитная совместимость
4.5. Эффекты распространения радиоволн в беспроводных системах
5. Роль широкополосных сигналов в системах с множественным доступом
5.1. Многоабонентские системы и проблема множественного доступа
5.2. Множественный доступ с частотным разделением
5.3. Множественный доступ с временным разделением
5.4. Множественный доступ с синхронным кодовым разделением
6. Широкополосные дискретные сигналы
6.2. Обобщенная модель и категории дискретных сигналов
6.3. Корреляционные функции АФМ сигналов
6.4. Вычисление корреляционных функций кодовых последовательностей
7. Широкополосные сигналы в задачах временного измерения, синхронизации и разрешения
7.1. Требования к АКФ: дополнительный экскурс
7.2. Сигналы с непрерывной частотной модуляцией
8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами
8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности
8.2. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях
8.3. Периодическая АКФ m–последовательностей
8.4. Дополнение о конечных полях
9. Дискретные сигналы с идеальной периодической АКФ
9.1. Бинарные последовательности с непротивоположными символами
10. Дискретные частотно-манипулированные сигналы
11. Критерии выбора сигналов в широкополосных многоабонентских сетях
11.1. Широкополосная передача данных
11.2. Синтез ансамблей сигнатур для CDMA систем с прямым расширением спектра
11.3. Подходы к синтезу ансамблей сигнатур для асинхронного кодового разделения с ПРС
12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур
12.1. Частотно-сдвинутые бинарные m-последовательности
12.2. Ансамбли последовательностей Голда
13. Поиск и автосопровождение дискретных широкополосных сигналов
Термин «spread spectrum» (широкополосный, распределенный спектр) является одним из наиболее популярных в радиотехническом и телекоммуникационном сообществе. История широкополосной технологии охватывает более шести десятилетий и первоначально большинство проектов на ее основе курировались военными и разведывательными службами. Старт эры коммерческого внедрения широкополосной идеологии пришелся на конец 70-х годов, когда сотовая телефония начала свое триумфальное покорение мира. Еще один прорыв в практическом применении широкополосной концепции был сделан в конце 80-х – начале 90-х годов в ходе создания спутниковых радионавигационных систем второго поколения GPS (США) и ГЛОНАСС (СССР/Россия).
Сформулировать непротиворечивое и точное определение, ясно отделяющее широкополосную философию от «неширокополосной» не столь просто. Довольно часто упомянутое определение содержит тезис, что система или сигнал являются широкополосными, если занимаемая ими полоса значительно превосходит минимальную полосу, необходимую для передачи информации. Привязка понятия широкополосности к полосе, занимаемой сообщением, возможна только в применении к системам передачи данных, тогда как обсуждаемая философия характерна и для многих других приложений, таких как радиолокация, навигация, управление удаленными объектами и пр. Кроме того, определение широкополосности в терминах ширины полосы несет определенный риск охвата систем, которые принципиально не являются широкополосными. Примером этого может служить система мобильной телефонии GSM. При начальной скорости передачи оцифрованной речи в 9,6 кбит/с абонентский сигнал занимает полосу порядка 200 кГц, что может спровоцировать отнесение GSM к разряду широкополосных систем, однако в данном приложении расширение полосы не связано с идеей широкополосной передачи.
Дискуссионной является и сама идея существования некой минимальной полосы, занимаемой передаваемым сообщением. Согласно фундаментальной границе Шеннона спектральная эффективность (т.е. отношение скорости передачи данных 
к полосе сигнала 
) системы связи, работающей в условиях гауссовского канала, удовлетворяет неравенству
,
где 
– энергия сигнала, приходящаяся на один бит информации, 
– односторонняя спектральная плотность мощности гауссовского шума. Графическое представление границы на рисунке показывает, что любые комбинации 
и 
, лежащие ниже кривой, возможны, по крайней мере, в принципе. Так, например, работа со скоростью 
требует отношения сигнал-шум на бит , равного 280 дБ, что, естественно, совершенно нереалистично. Однако, передача данных в полосе, к примеру, в десять раз меньшей скорости передачи данных, является типичной для многих цифровых линий связи (радиорелейных, модемных и т.п.). Сказанное демонстрирует размытость понятия «минимальной полосы сообщения» и его ненадежность как отправной точки при объяснении концепции широкополосности.
Для универсализации определения широкополосности, охвата им не только систем связи, но и других приложений, более подходящей представляется следующая трактовка.
Обратимся к принципу неопределенности Габора, согласно которому произведение длительности на полосу сигнала (частотно-временное произведение) удовлетворяет неравенству
,
в котором константа 
зависит от способа определения длительности и полосы, однако в любом случае имеет порядок единицы.
Сигнал, для которого
и, значит, длительность и полоса строго связаны друг с другом, может быть назван простым (в противоположность широкополосному). Единственным способом расширения полосы простого сигнала является уменьшение его длительности, т.е. укорочение.
С другой стороны, детерминированный сигнал, для которого
и полосой которого можно управлять независимо от длительности, называется сигналом с расширенным спектром или широкополосным (другие названия – сложный, шумоподобный). Данное определение автоматически распространяется и на системы: система, использующая сигналы с расширенным (распределенным) спектром, является широкополосной.
Иллюстрацией вышесказанному служит рисунок, на котором представлены два прямоугольных импульса одинаковой длительности 
и несущей частоты 
: сигнал без внутренней модуляции (а) и сигнал с линейной частотной модуляцией с девиацией 
(b). Нижние кривые соответствуют энергетическим спектрам этих сигналов. Для рисунка (а) полоса 
, т.е. энергия сигнала в частотной области сконцентрирована на интервале, примерно обратном длительности импульса, т.е. длительность и полоса жестко связаны, частотно–временное произведение фиксировано и, следовательно, расширение спектра может быть достигнуто только в обмен на укорочение импульса. В свою очередь полоса, занимаемая импульсом (b), близка к значению девиации 
и значительно больше, чем величина, обратная длительности. В результате независимо от длительности сигнала полоса легко регулируется изменением лишь девиации. В свете введенного определения первый сигнал является простым, а второй – широкополосным.
1. Классические задачи обнаружения/различения и проблема оптимизации сигналов
1.1. Гауссовский канал, общая задача приема, оптимальные решающие правила
Любая информационная система, в которой данные передаются из одной пространственной точки в другую, может быть представлена следующей абстрактной моделью. Пусть имеется некоторый источник, генерирующий одно из 
возможных сообщений. Каждое из конкурирующих сообщений передается своим специфическим сигналом, так что имеется множество 
из возможных сигналов: 
. Источник выбирает некоторый определенный сигнал 
и подает его на вход канала (см. рисунок). На приемной стороне (на выходе канала) наблюдается принятое колебание 
, которое является не точной копией переданного сигнала 
, а результатом трансформации , обусловленной искажающим воздействием шумов и помех, присутствующих в любом реальном канале. Классическим вопросом теории радиоприема является следующий: что представляет собой наилучшее правило решения о том, какое из возможных сообщений (или сигналов) было передано, если принято наблюдение ?
Для ответа на поставленный вопрос необходимо знать модель канала. Математическое описание канала дается переходной вероятностью 
, характеризующей вероятность трансформации каналом заданного входного сигнала в то или иное выходное наблюдение . Если значения переходной вероятности известны для всех возможных пар 
и , канал исчерпывающе описан.
При равной вероятности всех сообщений источника (что, как правило, характерно для разумно спроектированной системы) оптимальной стратегией наблюдателя, обеспечивающей минимальный риск перепутывания действительно переданного сигнала с каким-то другим, является правило максимального правдоподобия (МП). Согласно этому алгоритму по получении колебания решение принимается в пользу того сигнала, для которого вероятность трансформации каналом именно в наблюдение является наибольшей (в сравнении с другими сигналами).
В теории связи наиболее распространенной моделью служит канал с аддитивным белым гауссовским шумом (АБГШ), или просто гауссовский канал, в котором переходная вероятность экспоненциально уменьшается с ростом квадрата евклидова расстояния между переданным сигналом и выходным наблюдением:
,
где 
– константа, не зависящая от и , – односторонняя спектральная плотность мощности белого шума, а евклидово расстояние между и определяется как
где T – интервал наблюдения.
Очевидно, что правдоподобие сигнала (вероятность того, что именно он преобразован каналом в наблюдение ) уменьшается с увеличением евклидова расстояния между 
и 
.Следовательно, правило МП для гауссовского канала можно переформулировать как правило минимума расстояния: решение принимается в пользу сигнала , поскольку он наиболее близок (в смысле евклидова расстояния) к наблюдению среди всех конкурирующих сигналов.
Часто при отображении сообщений в сигналы выдвигается требование равенства энергии для всех сигналов. В этом случае правило минимума расстояния можно толковать как правило максимума корреляции, означающее, в частности, что среди всех возможных сигналов одинаковой энергии принятым объявляется тот, который имеет наибольшую корреляцию с наблюдением
.
1.2. Передача двоичных данных
Пусть для передачи одного бита данных используются два различных сигнала 
и 
, отвечающих 0 и 1 соответственно. Тогда правилу минимального расстояния
,
где 
символизирует, что «решение принято в пользу сигнала с индексом 
», может быть дана наглядная геометрическая интерпретация (см. рисунок). Решения 
и 
выносятся на основании попадания вектора наблюдения 
в соответствующую половину плоскости, содержащей сигнальные вектора 
и 
. Вероятность ошибки, т.е. перепутывания сигналов 
зависит от расстояния 
между векторами и 
отнесенному к диапазону случайных флюктуаций , обусловленных канальным шумом:
,
где 
,
а 
– дополнительная функция ошибок.
При наложении энергетических ограничений единственным путем достижения высокой достоверности двоичной передачи данных является увеличение расстояния между сигналами. При равенстве энергий обоих сигналов
максимум расстояния
достигается на паре противоположных сигналов
.
Бинарная фазовая манипуляция (БФМ) практически реализует подобную пару и широко используется в цифровых системах передачи данных. Вероятность ошибки при передаче двоичных данных посредством БФМ
,
где
отношение сигнал-шум (ОСШ) на выходе согласованного фильтра.
В некоторых случаях требования реализационного плана диктуют применение не оптимальных сигналов, например ортогональную пару, что достигается при бинарной частотной манипуляции (БЧМ). Расстояние между ортогональными сигналами в корень из двух раз меньше, чем для противоположных сигналов (см. рисунок справа) и для ортогональной пары равная с БФМ вероятность ошибки достигается ценой удвоения энергии сигналов относительно БФМ. Иными словами, ортогональные сигналы энергетически проигрывают противоположным 3 дБ.
Еще одно выражение для расстояния оказывается очень продуктивным. Для сигналов с равными энергиями раскрытие скобок в подынтегральном выражении для квадрата расстояния приводит к соотношению
,
где коэффициент корреляции между сигналами
геометрически есть просто косинус угла между сигнальными векторами 
и, тем самым, характеризует близость, или сходство сигналов. Для противоположных сигналов (БФМ) 
, тогда как для ортогональных (БЧМ) 
. В любом случае
.
Существует еще один, достаточно старый, способ двоичной передачи: бинарная амплитудная манипуляция (БАМ), называемая также амплитудно-импульсной модуляцией (АИМ). В данной схеме символ ‘0’ передается импульсом с энергией 
, а символ ‘1’ – паузой, так что
,
а вероятность ошибки
,
демонстрирующая, что БАМ требует на 6 дБ большей энергии, чем БФМ, для достижения той же достоверности передачи, когда ограничение наложено на пиковую энергию. На практике чаще ограничение накладывается на среднюю энергию, тогда потери БАМ составляют лишь 3 дБ по сравнению с БФМ, т.е. обладают энергетическим проигрышем, что и у БЧМ.
Проведенный анализ дает основание для следующего вывода о роли выбора сигнальной пары для передачи двоичной информации: отсутствует малейший намек на получение каких-либо преимуществ от привлечения широкополосных сигналов, так как расширение полосы сигнала сверх минимума 
не приведет к уменьшению вероятности ошибки. Для обеспечения желаемой достоверности приема достаточно лишь применить пару сигналов, максимально удаленных друг от друга, что автоматически предполагает использование противоположных сигналов без дополнительных требований к их форме и модуляции. Если по каким-либо причинам использование противоположной пары нецелесообразно, ни ортогональная (БЧМ), ни БАМ пары сигналов также никоим образом не стимулируют к применению технологии расширения спектра.
1.3. Передача М-ичных данных
Обратимся к более общему случаю, когда M альтернативных сигналов s1(t), s2(t), …, sM(t) переносят M возможных сообщений по АБГШ каналу. В наиболее типичной ситуации энергии всех сигналов одинаковы
,
что в геометрической интерпретации означает равенство длин всех сигнальных векторов.
Для принятого наблюдения y(t) вычисляются расстояния (или корреляции) между наблюдением и всеми конкурирующими сигналами и решение выносится в пользу того сигнала, который наиболее близок к y(t):
.
Для минимизации риска ошибочного решения (т.е. перепутывания одного сигнала с некоторым другим) необходима одновременная максимизация всех расстояний. Однако в данных условиях подобная задача оказывается весьма нетривиальной, поскольку они могут конфликтовать друг с другом: удаление некоторого вектора от соседнего, чревато риском приближения его к какому-то третьему. Можно показать, что минимальное расстояние между любой парой различных сигналов ограничено следующим соотношением
.
Следовательно, если вероятность перепутывания ближайших сигналов (максимальная вероятность ошибки) минимизирована, то оптимальными являются сигналы, лежащие нам этой границе. Подобные сигналы, известные под наименованием симплексных, являются эквидистантными и обладают одинаковыми коэффициентами корреляции
.
Простейшие множества симплексных сигналовПри достаточно большом числе сообщений M
коэффициент корреляции симплексных сигналов стремится к нулю 
и ортогональные сигналы становятся эквивалентными по помехоустойчивости симплексным. Вероятность ошибки когерентного приема ортогональных сигналов может быть вычислена как
,
где q , как и прежде, отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра, а
стандартная функция ошибок.
Наряду с точной формулой в инженерной и исследовательской практике применяется иное соотношение для быстрого получения оценки вероятности ошибки. При его выводе используется неравенство, называемое аддитивной границей
свидетельствующее, что вероятность объединения событий 
не превышает суммы их вероятностей. На основании этого может быть оценена сверху суммой вероятностей ошибок различения двух сигналов, приводя к границе объединения для ортогональных сигналов
Данная граница обладает высокой надежностью при малой вероятности ошибки 
, обеспечивая оценкой, практически не отличающейся от истинного значения. Кроме того, она гарантирует «запас безопасности», поскольку истинное значение вероятности ошибки всегда лежит ниже границы объединения. Это служит объяснением широкой популярности границы объединения.
1.4. Обмен выигрыша от ортогонального кодирования на ширину полосы
Оценим теперь выигрыш, сопровождающий применение ортогональных сигналов в сравнении с некодированной передачей, т.е. непосредственной передачей потока информационных битов источника. Предположим, что энергетический ресурс позволяет передавать каждый бит данных с энергией , тогда минимальная величина квадрата расстояния между сигналами, отвечающими неидентичным 
–битовым блокам, совпадает со значением квадрата расстояния в однобитовой противоположной паре, т.е. 
.
Рассмотрим теперь другую систему, в которой все различные –битовые блоки передаются ортогональными сигналами. Ясно, что каждый такой сигнал обладает энергией 
, при фиксированном значении энергии на бит . Тогда квадрат расстояния между сигналами (один и тот же для любой пары сигналов, поскольку ортогональные сигналы эквидистантны) составляет величину 
. Следовательно, асимптотический энергетический выигрыш 
ортогональных сигналов в значении минимума квадрата расстояния по сравнению с некодированной передачей составляет
.
Термин асимптотический свидетельствует о том, что достоверность оценки достигается при вероятности ошибки, стремящейся к нулю, или, что эквивалентно, при бесконечном ОСШ. При конечной величине отношения сигнал-шум выигрыш становится меньшим, и его значение определяется точными выражениями для вероятности ошибки при некодированной и ортогональной сигнализации.
Рисунок на слайде иллюстрирует зависимость вероятности ошибки от ОСШ при кодировании 10-битовых блоков. Первая кривая (черная линия) представляет вероятность ошибки на блок при некодированной передаче, а две других – ту же вероятность при кодировании 10–битовых блоков 
ортогональными сигналами, обрабатываемыми когерентно. Синяя кривая построена на основании аддитивной границы, тогда как красная линия, отвечает точной формуле для вероятности ошибки когерентного приема ортогональных сигналов
Платой за получение выигрыша служит расширение полосы, занимаемой ортогональными сигналами. Первоначально отметим, что если все сигналы сосредоточены в пределах полосы 
(т.е. отсутствуют спектральные компоненты выше 
), то отсчеты, взятые с частотой , исчерпывающе определяют исходный непрерывный во времени сигнал. В свою очередь это означает, что при длительности сигнала 
, любой сигнал полностью описывается вектором размерности 
. Поскольку максимальное число ортогональных векторов в n–мерном векторном пространстве равно n, то максимальное число ортогональных сигналов в ограниченной значениями и частотно-временной области составит
,
иначе говоря, для расположения M сигналов длительности требуется минимально необходимая полоса, равная 
.
При достаточно большом числе M передаваемых сообщений 
полная полоса, необходимая для обеспечения ортогональности сигналов, значительно больше скорости передачи R. Действительно, поскольку 
, то
При 
отношение 
и 
, экспоненциально возрастая с увеличением выигрыша от кодирования.
Пример 1.4.1. Предположим, что желательно обеспечить энергетический выигрыш 
(4.8 дБ) с помощью ортогонального кодирования. Асимптотически это возможно при 
в обмен на увеличение полосы (по сравнению со случаем некодированной передачи) в 
раз. Представим теперь ситуацию, когда, как следствие воодушевления достигнутым, планируется десятикратное (10 дБ) уменьшение излучаемой мощности, кодируя 20-битовые блоки. Это потребует расширения полосы примерно в 50 000 раз, что в большинстве случаев представляется совершенно нереальным.
Использование достаточно большого M влечет необходимость большого частотно-временного произведения 
. Единственно, что это означает, так требование значительности произведения полной (т.е. занимаемой совместно всеми сигналами) полосы и длительности. Данное условие не означает, что 
должно быть большим, где W и T полоса и длительность одиночного сигнала. Другими словами, ортогональные сигналы необязательно должны реализовывать принцип распределенности спектра. Два первых следующих примера ортогонального кодирования как раз и являются иллюстрацией этого.
1.5. Примеры множеств ортогональных сигналов
Продемонстрируем вначале возможность построения простейших множеств ортогональных сигналов за счет дробления доступного частотно-временного ресурса.
1.5.1. Кодирование временным сдвигом
Этот достаточно тривиальный способ кодирования означает, что каждый из сигналов сдвинут по времени относительно предшествующего на интервал, равный индивидуальной длительности сигнала 
. Очевидно, что не перекрывающиеся во временной области сигналы являются ортогональными (см. рисунок):
Для каждого индивидуального сигнала частотно-временное произведение 
, так что данные сигналы относятся к разряду простых. Недостатки ее, однако, также довольно очевидны и должны соответствующим образом учитываться. Во-первых, необходима точная синхронизация, поскольку флюктуации временного положения сигналов потенциально способны вызвать перекрытие последних, нарушающее их ортогональность. Другим недостатком этого простейшего ортогонального кодирования является то, что для сохранения требуемой энергии каждого сигнала необходимо обеспечить высокую пиковую мощность. Чем выше единицы значение пик-фактора 
(отношения пиковой мощности к средней), тем более жесткие требования предъявляются к линейности усилителя и, как итог, хуже его энергетические показатели. Для временного кодирования 
при .
1.5.2. Кодирование частотным сдвигом
Другим прямым способом реализации ортогональности служит кодирование частотным сдвигом. На основании дуальности времени и частоты или теоремы Парсеваля скалярные произведения сигналов 
и их спектров 
совпадают:
,
что позволяет механически перенести только что обсужденную схему в частотную область (см. рисунок).
При полном перекрытии сигналов во времени 
каждый из них занимает полосу не менее 
. Понятно, что каждый индивидуальный сигнал опять не является сигналом с распределенным спектром, поскольку его частотно-временное произведение 
, и значит, любая система со сколь угодно большим числом ортогональных сигналов подобного сорта, конечно, не является системой с распределенным спектром.
В отличие от кодирования временным сдвигом пик-фактор ортогональных сигналов данного вида 
и ошибки в синхронизации не играют столь критической роли, так как ортогональность достигается отсутствием перекрытия в частотной области. Вместо этого деструктивным в некоторых случаях может оказаться дрейф спектра (к примеру, вследствие эффекта Доплера). Тем не менее данный способ передачи чрезвычайно популярен и примером его непосредственного воплощения служит традиционная -ичная частотная манипуляция.
1.5.3. Ортогональное кодирование широкополосными сигналами
Двум ранее рассмотренным методам ортогональной передачи присуще дробление общего частотно-временного ресурса. Первый из них предполагает выделение некоторой части общего временного пространства каждому сигналу, тогда как частотная область совместно используется всеми сигналами. При втором же способе роли временного и частотного пространства меняются местами. Распределение выделенного ресурса при временном и частотном кодировании иллюстрирует ниже приведенный рисунок.
Альтернативой этим простейшим способам кодирования может служить метод, в котором любой сигнал занимает все доступное частотно–временное пространство: 
, 
, вследствие чего все сигналы являются широкополосными, поскольку
.
В этих условиях все сигналы совместно используют общий частотно-временной ресурс без распределения или дробления последнего (см. рисунок, на котором третья ось используется для нумерации сигналов).
Рассмотрим простой пример воплощения подобной идеи в форме дискретных БФМ сигналов. Образуем каждый из сигналов как последовательность 
следующих друг за другом элементарных импульсов или чипов прямоугольной формы и длительности 
с изменяющейся полярностью. Предположим использование таких законов чередования полярности чипов, что все сигналы оказываются ортогональными, как это имеет место в примере для M=4 на рисунке слева.
При 
нахождение законов чередования полярностей, обеспечивающих ортогональность сигналов, эквивалентно нахождению матрицы Адамара. Последняя является матрицей порядка M, состоящей только из элементов 
и обладающей ортогональными строками. Примеры матриц Адамара порядка два и четыре представлены ниже:
.
Достаточно мощным способом конструирования матриц Адамара служит рекуррентный алгоритм Сильвестра, позволяющий построить матрицу порядка 
, если уже была найдена матрица порядка 
:
.
Не трудно заметить, что, начиная алгоритм Сильвестра с простейшей матрицы 
, можно построить матрицы порядка 
, строками которых являются функции Уолша.
Ортогональные сигналы подобного типа лишены недостатков присущих сигналам, ортогональность которых обеспечивается временным или частотным кодированием. Они характеризуются пик-фактором, равным единице, и не требуют параллельных полосовых фильтров в приемнике. Относясь к широкополосным сигналам, они обладают всеми достоинствами широкополосной философии, которые будут рассмотрены позднее. Вследствие этого в настоящее время они находят широкое применение. Так следует упомянуть CDMA систему мобильного телефона 2-го поколения стандарта IS-95 (cdmaOne), в которой используются M=64 функции Уолша как в прямом (для образования каналов), так и в обратном (для рассмотренной выше 64-ичной передачи) каналах. В стандартах мобильной связи 3-го поколения WCDMA и cdma2000 планируется использовать значительно большее число (вплоть до 512) ортогональных сигналов на основе матриц Адамара.
Можно дать следующее резюме к содержанию параграфов 1.3-1.5. Как можно видеть, теоретически классическая задача -ичной передачи не ориентирует на безоговорочное использование технологии расширения спектра и, в принципе, оптимальный -ичный ансамбль можно составить из простых сигналов. С другой стороны, существуют стимулы реализационного порядка, подкрепленные стремлением к утилизации преимуществ расширенного спектра вне классической постановки задачи приема. Поскольку такая возможность потенциально присутствует всякий раз, когда полный частотно-временной ресурс 
принципиально необходим, предпочтение разработчиком широкополосных сигналов простым в подобных обстоятельствах может оказаться вполне оправданным.
2. Задача измерения параметров и проблема выбора сигналов
2.1. Формулировка задачи и правила оценки
В большинстве систем необходимая информация содержится в текущем значении некоторого сигнального параметра (например, амплитуды, частоты, начальной фазы, запаздывания и др.) и для ее извлечения наблюдатель должен измерить или оценить соответствующий параметр. Предположим, что наблюдение наряду с шумом содержит сигнал 
, являющийся детерминированным, за исключением неизвестного значения постоянного параметра 
. Наблюдатель, основываясь на анализе , должен принять решение о том, какое конкретное значение из диапазона возможных принял параметр сигнала . Естественным является вопрос: какое правило решения является оптимальным, т.е. гарантирующим наименьший ущерб от отклонений 
от .
Простейший подход к этой проблеме основывается на понимании того факта, что задача оценки или измерения неизвестного параметра не является чем-то принципиально новым по отношению к задаче различения сигналов, отличающихся друг от друга только значением параметра :
Для того, чтобы охватить подобной постановкой и случай непрерывного параметра , требуется лишь устремить число его возможных значений , т.е. различаемых сигналов, к бесконечности (вплоть до несчетной). Учитывая это, не трудно увидеть, что оптимальное оценивание параметра l заключается в минимизации расстояния 
между наблюдением и сигналом 
, определяемого как
.
Это правило формирует максимально правдоподобную оценку , находя такое значение , при котором сигнал наиболее близок к наблюдению 
в смысле евклидова расстояния (см. рисунок). В геометрической интерпретации сигнал можно отождествить с вектором 
, который перемещается в пространстве по некоторой траектории с изменением параметра , и в качестве оценки выбирается такое значение , которое отвечает точке этой траектории, ближайшей к вектору наблюдения :
.
После раскрытия скобок в выражении для квадрата расстояния получаем
,
где
соответственно энергия сигнала и корреляция между наблюдением и сигналом как функции измеряемого параметра l. Из последнего соотношения видно, что при известном наблюдении первое слагаемое в выражении для 
фиксировано, и нахождение оптимальной оценки l может быть осуществлено (как и ранее при различении M сигналов) путем максимизации разности 
.
Общепринято подразделять параметры сигнала на два класса: если энергия сигнала зависит от параметра l, то последний называется энергетическим, в противном случае l является неэнергетическим параметром. Во втором случае единственным фактором, определяющим зависимость усредненного квадрата расстояния от , является корреляция 
, и оптимальной оценкой служит значение l, максимизирующее :
.
В свете физической трактовки корреляции последнее правило оценки имеет весьма прозрачную интерпретацию: оптимальная оценка неэнергетического параметра отвечает такому значению 
, при котором сигнал имеет максимальное сходство с наблюдаемым колебанием .
Продолжая опираться на аналогию между распознаванием M сигналов одинаковой энергии и измерением неэнергетического параметра, можно предположить, что достоверность измерения будет зависеть не только от соотношения уровней сигнала и шума (ОСШ), но и от подобия сигнальных копий при различных значениях l. Действительно, для непрерывного параметра l гораздо уместнее характеризовать качество измерения с позиции точности, т.е. дисперсией оценки, а не вероятностью ошибочного решения. В свете сказанного коэффициент корреляции между рассогласованными по l сигнальными копиями 
и
,
характеризующий степень подобия, критически влияет на точность измерения неэнергетического параметра l.
Коэффициент корреляции является четной функцией, достигающей максимума 
при 
(см. рисунок справа). Чем быстрее копия сигнала, расстроенная по , теряет свое сходство с исходной версией, тем больше острота 
в нулевой точке, а значит, выше точность измерения l. Из курса математического анализа известно, что кривизна или острота функции в рассматриваемой точке определяется второй производной и для выпуклой кривой имеет отрицательный знак. На основании этого следующее выражение для дисперсии оптимальной оценки неэнергетического параметра
является вполне ожидаемым и легко объяснимым. Последний факт подсказывает общее направление синтеза сигналов в задачах оценки неэнергетического параметра . Для достижения нужной точности не за счет «грубой силы», т.е. простого увеличения энергии, следует синтезировать сигналы, у которых коэффициент корреляции как функция подобен «острому» импульсу.
2.2. Оценка амплитуды сигнала
Предположим, что информация содержится в амплитуде сигнала. Данная ситуация характерна для многих приложений: от телевизионного вещания до сотовой связи и цифровых линий передачи данных. Сформулируем ее как задачу измерения неизвестной амплитуды 
, постоянной на интервале наблюдения 
. При этом принятый полезный сигнала может быть представлен моделью
,
где – детерминированный эталонный сигнал, амплитуда и энергия которого по определению полагаются равными единице и E соответственно. Тогда энергия 
сигнала с амплитудой найдется как
,
что определяет квадрат расстояния между и 
в виде
, где 
–
корреляция наблюдения с эталонным сигналом .
Максимизация по разности 
дает следующее оптимальное правило оценивания амплитуды 
, которое сразу же приводит к выражению для дисперсии оценки амплитуды
.
Последняя формула показывает, что точность оценки зависит исключительно от энергии E эталонного сигнала.
Никакое усложнение закона модуляции при неизменной энергии сигнала не в состоянии повысить точность измерения. Следовательно, рассмотренная классическая задача приема не содержит предпосылок к привлечению широкополосной технологии.
2.3. Оценка фазы сигнала
Обратимся теперь к ситуации, в которой носителем полезной информации выступает начальная фаза сигнала 
:
,
где 
– огибающая сигнала (закон амплитудной модуляции), а – несущая частота. Данный случай типичен для когерентных локационных и навигационных приемников, демодуляторов систем мобильной радиосвязи 2-го и 3-го поколений и многих других приложений.
Поскольку энергия сигнала не зависит от j 
, то фаза является неэнергетическим параметром, и точность измерения определяется только отношением сигнал-шум (т.е. энергией сигнала E) и коэффициентом корреляции между двумя копиями сигнала, сдвинутыми друг относительно друга по фазе j:
,
где учтено, что 
есть по определению косинус угла между двумя сдвинутыми по фазе на угол копиями сигнала, т.е. двумя векторами, разделенными углом .
Вторая производная по j в нулевой точке есть 
, что после подстановки в выражение для оценки дисперсии неэнергетического параметра дает
.
Вновь, как и в случае измерения амплитуды, точность оценки фазы зависит только от отношения сигнал-шум. Таким образом, и эта классическая задача приема нейтральна к закону модуляции при неизменности энергии сигнала и, следовательно, никак не стимулирует к применению широкополосных сигналов.
Содержание следующих двух параграфов находится несколько в стороне от основной линии, однако они необходимы для напоминания некоторых важных положений основ теории сигналов.
2.4. Комплексная огибающая радиосигнала
Любой радиосигнал может быть представлен как результат модуляции амплитуды и фазы непрерывного косинусоидального колебания (несущей). Спектр радиосигнала располагается в окрестностях несущей частоты 
(см. рисунок).
В соответствие с подобной трактовкой любой радиосигнал может быть формализован следующей моделью
,
в которой – действительная огибающая сигнала (закон амплитудной модуляции), 
– закон фазовой (угловой) модуляции. Анализ радиосигналов значительно упрощается при введении в обращение комплекснозначной функции времени
,
где комплексная огибающая
объединяет в себе законы как амплитудной, так и угловой модуляции сигнала. Если рассматриваются несколько сигналов одной и той несущей частоты, их отличие состоит только в законах модуляции, и, следовательно, в комплексных огибающих содержится их исчерпывающее описание. Ярчайшим примером продуктивности этого понятия служит комплексный интеграл свертки для комплексной огибающей отклика полосового фильтра на входной радиосигнал
,
где вещественная импульсная характеристика 
фильтра заменяется на ее комплексную огибающую аналогично процедуре, осуществляемой с входным радиосигналом
.
Применение комплексного интеграла свертки позволяет за один шаг определить законы амплитудной и фазовой модуляции на выходе фильтра, представляя реакцию фильтра 
на входной сигнал следующим образом
.
2.5. Автокорреляционная функция и отклик согласованного фильтра
Теория систем с расширенным спектром в значительной степени базируется на понятии автокорреляционной функции (АКФ) сигнала, являющейся скалярным произведением двух копий одного и того же сигнала, сдвинутых по времени относительно друг друга на 
секунд:
,
характеризуя степень сходства или подобия между ними. Умножение на 
приводит к нормированной версии АКФ
,
являющейся попросту коэффициентом корреляции сдвинутых во времени копий сигнала и 
, или в геометрической интерпретации косинусом угла между ними.
В соответствие с общими свойствами коэффициента корреляции АКФ – четная функция , имеющая максимум в нуле
.
Для любого радиосигнала АКФ может быть представлена как
,
где
коэффициент корреляции двух сдвинутых по времени копий комплексной огибающей 
сигнала. Как можно заметить, АКФ 
радиосигнала может считаться радиосигналом, комплексная огибающая которого определяется АКФ 
комплексной огибающей сигнала . В частности, действительная огибающая 
АКФ является модулем : 
Технически любая АКФ может быть получена как выходной сигнал коррелятора, причем вычисления во всем диапазоне значений выполняются раздельно по точкам. Альтернативной структурой является согласованный фильтр (СФ), вычисляющий и воспроизводящий АКФ как выходной сигнал в реальном времени. Для фиксированного сигнала СФ максимизирует среди всех линейных систем выходное отношение сигнал-шум. Если приложить сигнал ко входу согласованного с ним фильтра, то реакция фильтра 
воспроизведет АКФ в реальном времени с задержкой, равной длительности сигнала T:
.
Пример 2.5.1. Прямоугольный видеоимпульс длительности (см. рисунок а) обладает треугольной АКФ длительности 
с максимумом в нулевой точке (рисунок b, пунктирная линия). Реакция на него согласованного фильтра представляет собой копию АКФ с запаздыванием, равным длительности сигнала , так что максимальное напряжение на выходе фильтра наблюдается в момент окончания входного сигнала (рисунок b, сплошная линия). Для радиоимпульса с прямоугольной огибающей АКФ оказывается треугольным радиоимпульсом (рисунок с, пунктирная линия), а сигнал на выходе согласованного фильтра – запаздывающей на копией последнего (рисунок с, сплошная линия).
Максимум отклика фильтра, согласованного с сигналом, всегда приходится на момент окончания сигнала (по крайней мере, не ранее), поскольку этот фильтр должен обработать весь сигнал целиком. Поучительно также отметить, что для радиосигнала моменты максимумов огибающей и высокочастотного заполнения на выходе согласованного фильтра всегда совпадают, поскольку любая АКФ имеет максимум в начале координат.
2.6. Оценка запаздывания радиосигнала
Рассматриваемая задача является одной из наиболее часто встречающихся в радиотехнических приложениях. Она типична для телевидения (каналы синхронизации), цифровых систем мобильной радиосвязи (пилотные каналы, тактовая синхронизация), радиолокации (измерение дальности до цели), навигации космического и наземного базирования (измерение расстояния до маяков) и т.п. Дополнительное обращение к основам теории сигналов в двух предыдущих параграфах было обусловлено стремлением облегчить знакомство с задачей измерения временного запаздывания.
Предположим, что радиосигнал
,
распространяясь по каналу, приобретает неизвестные запаздывание и начальную фазу 
, т.е. принимает вид
.
Во многих ситуациях фаза случайна и равномерно распределена на интервале 
. Включим фазовый набег, обусловленный запаздыванием в полную начальную фазу 
. Последняя, оставаясь случайной и равномерно распределенной на интервале 
, вновь независима с , т.е. не содержит информации об измеряемом временном сдвиге, вследствие деструктивного вклада . Тогда принятый сигнал может быть представлен как
,
где запаздывание является неизвестным полезным параметром, подлежащим измерению, а – бесполезная начальная фаза, неопределенность которой лишь потенциально затрудняет оценку . Из последнего соотношения видно, что интересующая нас информация затрагивает только комплексную огибающую сигнала . Поскольку наблюдаемое колебание является таким же радиосигналов сигналом, как и , то его можно записать в виде
,
где 
– комплексная огибающая наблюдения .
Тогда можно заметить, что в данных условиях минимизация Евклидова расстояния, направленная на оценку величины t, может быть упрощена заменой некогерентных сигналов их детерминированными законами модуляции, т.е. комплексными огибающими:
Учитывая, что запаздывание – неэнергетический параметр, минимизация этого расстояния эквивалентна максимизации корреляции упомянутых комплексных огибающих
.
Точность измерения t регулируется коэффициентом корреляции рассогласованных во времени копий комплексной огибающей сигнала, который показывает степень их сходства как функции рассогласования по времени t:
.
Этот коэффициент корреляции представляет собой модуль АКФ комплексной огибающей сигнала, который определяет форму АКФ всего сигнала . В сопоставлении с двумя ранее рассмотренным измерительными задачами ситуация выглядит достаточно новой. Имеется реальный ресурс повышения точности вне варианта «грубой силы», т.е. простого увеличения энергии. В рассматриваемом случае оценка запаздывания сигнала t может быть выполнена более точно без привлечения дополнительной энергии, а только за счет остроты автокорреляционной функции сигнала. Наряду со второй производной 
в качестве индикатора остроты АКФ может служить интервал (время) корреляции сигнала 
, характеризующий ширину АКФ сигнала вдоль оси t. Чем меньше интервал корреляции , тем острее или короче АКФ сигнала.
Согласно известным свойствам преобразования Фурье, интервал корреляции обратно пропорционален полосе W, т.е.
. Другими словами чем уже АКФ, тем шире спектр сигнала и наоборот. Прямым следствием этого оказывается возможность повышения точности измерения времени не только за счет энергии, но и путем использования сигналов с широким спектром:
,
где константа a, как правило, имеет порядок единицы, а ее точное значение зависит от формы сигнала и способа определения ширины полосы.
Таким образом, использование сигнала с широкой полосой , или, что эквивалентно, узкой АКФ (малым временем корреляции ) для повышения точности оценки запаздывания t представляет альтернативный вариант простому увеличению энергии сигнала.
Сужение АКФ сигнала и, значит, расширение его спектра может быть достигнуто тривиальным укорочением самого сигнала, поскольку интервал корреляции ограничен сверху длительностью сигнала: 
. Однако, следуя подобным путем, необходимо помнить, что укорочение сигнала потребует пропорционального увеличения пиковой мощности для сохранения неизменным отношения сигнал-шум. С другой стороны, чрезмерная излучаемая мощность резко ухудшает массо-габаритные параметры передающей аппаратуры и источника питания.
Повышение точности измерения времени запаздывания без увеличения пиковой мощности можно достичь более элегантным способом: попытаемся найти сигнал с узкой АКФ, длительность которого достаточно велика для обеспечения нужной энергии:
.
Очевидно, что только технологии расширенного спектра предоставляет возможность конструирования сигнала с малым по сравнению с его длительностью временем корреляции. В случае построения подобного сигнала устраняется конфликт между величиной мгновенной мощности и точностью оценки. Необходимую энергию удается вложить в сигнал за счет его достаточной длительности T 
, а не большой мощности P, тогда как высокая точность измерения достигается за счет узости АКФ или, что аналогично, ширины спектра сигнала 
.
Рисунок иллюстрирует процедуру обработки подобного входного сигнала 
согласованным фильтром. Поскольку отклик этого фильтра на сигнал воспроизводит его АКФ, то, если последняя оказывается узкой 
, выходной сигнал 
оказывается значительно короче входного. Именно узость АКФ гарантирует высокую точность измерения времени запаздывания сигнала, поскольку позиция остроконечного импульса может быть зафиксирована значительно более точно, чем плоского.
Следует отметить, что условие широкополосности является лишь необходимым (но не достаточным) для достижения эффекта временной компрессии при согласованной фильтрации. Синтез сигналов, сочетающих большую собственную длительность с острой АКФ, является весьма нетривиальной задачей.
Резюмируя, сформулируем следующий вывод. В отсутствие ограничений на пиковую мощность повышение точности в классической задаче измерения запаздывания не требует обязательного привлечения технологии расширения спектра и имеет решение на основе использования простых сигналов с достаточной энергией 
. В то же время указанная технология является безальтернативной всякий раз, когда пиковая мощность жестко лимитирована.
2.7. Оценка несущей частоты радиосигнала
Рассмотрим теперь ситуацию, в которой неизвестным информативным параметром служит несущая частота сигнала. Обычно в приложениях номинальное значение несущей частоты фиксировано и измерению полежит лишь смещение 
частоты принятого сигнала относительно, так что модель сигнала на входе приемника удобно записать в виде
,
где 
– комплексная огибающая сигнала, включающая линейный фазовый дрейф, обусловленный частотным сдвигом , а – как и ранее, мешающий параметр – случайная начальная фаза, не содержащая информации о сдвиге .
Подобная задача столь же часто встречается на практике, как и предыдущая. Она характерна для радиолокации, где скорость объекта измеряется через оценку доплеровского сдвига частоты, устройств восстановления опорного колебания в мобильной радиосвязи второго и третьего поколений; систем автоподстройки частоты в телевизионных и вещательных ЧМ приемниках и т.п.
Вследствие частотно-временной дуальности можно опустить детальный анализ факторов, определяющих точность частотного измерения. Действительно, поскольку точность измерения запаздывания t (сдвига сигнала по оси времени) зависит (наряду с отношением сигнал-шум) от протяженности сигнала в частотной области (полосы W), то можно предположить, что точность измерения частотного сдвига F будет зависеть от протяженности сигнала во временной области, которая есть просто длительность сигнала T:
,
где константа a (порядка единицы, как и при оценке временной задержки) зависит от формы сигнала и способа определения длительности сигнала.
На основании рассмотренного материала можно заключить, что в случае, когда единственным информативным параметром является частота, отсутствуют какие-либо показания к привлечению широкополосных сигналов, поскольку, помимо энергии, только длительность сигнала оказывает влияние на точность оценки.
2.8. Одновременная оценка запаздывания и частоты
Обсудим теперь ситуацию, когда как временной , так и частотный сдвиги принятого сигнала являются неизвестными информативными параметрами, т.е. подлежат измерению. Подобная задача соответствует многим реальным сценариям. В цифровых телекоммуникациях, например, в системах мобильной связи 2-го и 3-го поколений, прием, как правило, начинается с синхронизации местного опорного колебания с принятым сигналом. Данная операция состоит в измерении частотно-временного рассогласования локального эталона с приходящим сигналом и последующей частотно-временной подстройки первого до входа в синхронизм со вторым.
В отличие от скалярных параметров, фигурировавших в предыдущих параграфах, теперь оцениваемым параметром является двумерный вектор 
. Соответственно, модель принятого сигнала комбинирует в себе модели из 2.6 и 2.7:
,
где 
– комплексная огибающая с учетом запаздывания и частотного сдвига, а – как и ранее, неинформативная начальная фаза.
Точность измерения этих двух неэнергетических параметров полностью определяется (помимо отношения сигнал-шум) скоростью, с которой убывает сходство между рассогласованными по времени и частоте копиями 
и 
комплексной огибающей сигнала с ростом 
. Иными словами, на точность влияет кривизна в нуле модуля коэффициента корреляции
,
как функции двух переменных . Эта функция, часто называемая функцией неопределенности (ФН) Вудворда, играет исключительно важную роль в теории сигналов. Геометрически ее можно представить трехмерной поверхностью над плоскостью , имеющей максимум, равный единице, в начале координат: 
. При отсутствии достоверных априорных сведений о возможных значениях ФН должна достаточно быстро спадать в любом направлении в плоскости . В качестве примера на нижеприведенном рисунке представлены два варианта функции неопределенности, причем вариант (b) является более предпочтительным, чем вариант (a), поскольку отвечает более острой функции.
Для того, чтобы охарактеризовать остроту 
, нередко используют ее горизонтальное сечение (называемое диаграммой неопределенности) на некотором фиксированном уровне, например, 0.5. Протяженность диаграммы неопределенности по оси t определяется временем корреляции сигнала. Это становится очевидным, если обратиться к сечению функции неопределенности вертикальной плоскостью 
, фактически приводящей к АКФ сигнала
Аналогичным образом, сечение поверхности 
вертикальной плоскостью 
представляет собой амплитудный спектр квадрата действительной огибающей сигнала. Протяженности 
вдоль оси частот, называемая полосой огибающей 
, обратно пропорциональна длительности сигнала T и определяет точность частотного измерения. Данная характеристика устанавливает также и протяженность диаграммы неопределенности вдоль оси F. С учетом этих замечаний пример диаграммы неопределенности представлен рисунком на следующем слайде.
Необходимость одновременного высокоточного измерения времени и частоты требует применения сигнала с острой функцией неопределенности. Очевидно, чем острее функция неопределенности, тем меньше площадь диаграммы неопределенности, которая пропорциональна произведению 
. Ориентация на простые сигналы приводит к противоречию между размерами 
. Действительно, для любого простого сигнала и, следовательно, 
, так что достичь значительной остроты функции неопределенности вдоль одного направления (например, ) невозможно иначе, как в обмен на одновременное растяжение ее в другом направлении ().
Использование широкополосных сигналов открывает путь к устранению противоречия между длительностью и шириной спектра сигнала. Синтез подходящего закона угловой модуляции обеспечивает требуемую полосу сигнала (время корреляции ) и, тем самым, нужную точность измерения запаздывания, тогда как длительность сигнала может быть выбрана независимо, гарантируя необходимую точность измерения частоты.
Сопоставив вышеприведенное заключение с аналогичными выводами предыдущих параграфов, можно видеть, что среди всех классических задач приема, рассмотренных к этому моменту, одновременная оценка времени и частоты является первой, в которой философия расширенного спектра востребована безоговорочно. Не существует никаких иных путей бесконфликтного параллельного повышения точности измерения запаздывания и частоты, помимо использования широкополосных сигналов.
3. Разрешающая способность и сложные сигналы
3.1. Разрешение сигналов
Для многих реальных систем весьма характерна ситуация, когда принятый сигнал фактически оказывается суперпозицией множественных реплик исходного «чистого» сигнала, каждая из которых имеет свои значения амплитуды, фазы, запаздывания и частоты. Перекрываясь во времени, эти копии интерферируют между собой, образуя достаточно сложный результирующий сигнал, что часто затрудняет извлечение необходимой информации. Процедура, направленная на разделение интерферирующих сигнальных копий или нейтрализацию их взаимного вредного взаимодействия, получила наименование разрешения сигналов.
Для более глубокой трактовки смысла проблемы обратимся к весьма показательному сценарию временного разрешения сигналов. В этом случае наблюдаемое колебание помимо шума содержит суперпозицию сдвинутых во времени копий сигнала с соответствующими значениями амплитуд 
и начальных фаз 
:
.
При взаимных временных сдвигах меньших длительности сигнала T копии суперпозиции перекрываются. Например, в случае только двух копий радиосигнала с 
, равными амплитудами и противоположными фазами имеет место ситуация, иллюстрируемая рисунком, на котором также приведена векторная диаграмма. Как видно, сигнальные копии подавляют друг друга, уменьшению общую энергию суперпозиции.
В общем случае векторная диаграмма множества сдвинутых во времени копий с различными амплитудами и фазами, представленная на рисунке, демонстрирует, что результирующая суперпозиция может оказаться существенно ослабленной по сравнению с наиболее сильными сигнальными копиями. Подобный эффект, называемый замиранием (федингом), является чрезвычайно вредным и порождает одну из наиболее серьезных проблем при разработке системы.
Физической причиной подобного феномена служит многолучевое распространение сигнала. Последнее будет обсуждаться в деталях в параграфе 4.5. Здесь же ограничимся лишь несколькими иллюстративными примерами. В цифровой связи, радиовещании, мобильной телефонии и т.п. колебание достигает приемной антенны по различным траекториям: параллельно с распространением по линии прямой видимости может существовать ряд путей, образованных различными отражателями (от земной поверхности, ионосферы, зданий, транспортных средств, элементов рельефа и т.п.). В радиолокации наряду с уже упомянутыми сигналами имеют место многочисленные эхо-сигналы, образованные отражением от различных частей одной и той же цели, либо от множества различных целей. Поскольку все пути распространения имеют различную длину, то значения временного запаздывания и начальной фазы соответствующих сигналов оказываются различными и, как правило, случайными.
Деструктивный эффект замираний мог бы быть полностью нейтрализован, если бы сигнальные копии не перекрывались, т.е. были бы разрешены во времени. Тривиальным путем к надежному временному разрешению является использование короткого сигнала, собственная длительность которого мала по сравнению с минимально возможным взаимным временным сдвигом сигнальных копий. Данный путь, однако, приводит к уже известному противоречию между ограничением на величину пиковой мощности и необходимостью поддержания фиксированной энергии сигнала (т.е. отношения сигнал-шум).
К счастью, как и при оценивании запаздывания (см. параграф 2.6), альтернативным и гораздо более изящным подходом достижения высокой разрешающей способности при удержании пиковой мощности в заданных пределах служит обращение к широкополосной философии. Поскольку очистка сигнала от шума является неотъемлемым этапом любой процедуры приема, то разрешающая способность определяется только длительностью сигнала на выходе согласованного фильтра (интервалом корреляции ). Таким образом, необходимо применение сигналов с малым значением , тогда как достаточная их длительность гарантирует вложение в сигнал необходимой энергии (нужное отношение сигнал-шум) при малой пиковой мощности. При использовании широкополосных сигналов с соответствующим законом внутренней угловой модуляции перекрывающиеся сигнальные копии на входе согласованного фильтра будут успешно разделены (разрешены) на его выходе благодаря эффекту временного сжатия, если только интервал корреляции меньше временного сдвига между репликами сигнала (см. рисунок справа). Очевидно, что требование к сигналу в задаче временного разрешения дословно повторяет уже сформулированное в задаче оценки запаздывания: остроконечность АКФ сигнала 
.
Понятия, введенные выше в контексте разрешения по времени легко обобщаются на задачи разрешения по другим параметрам. При наблюдении суперпозиции сигнальных реплик, отличающихся только частотным сдвигом, возникает задача разрешения по частоте, разрешающая способность в которой определяется длительностью сигнала, что и при измерении частоты. При этом, естественно, нет какой-либо нужды в применении широкополосной технологии. Если же наложенные друг на друга копии сигналов отличаются как временным, так и частотным сдвигами, то речь идет о частотно-временном разрешении, качество которого зависит от параметров функции неопределенности. Как и при частотно-временных измерениях, решение подобной задачи критически связано с широкополосной технологией: никакой иной путь не позволит добиться остроты функции неопределенности во всех направлениях в плоскости .
3.2. Заключение
В трех рассмотренных главах были вкратце исследованы канонические процедуры приема сигналов: обнаружение, различение, оценка параметров и разрешение. В соответствии с классическим подходом повсеместно постулировалась модель канала с аддитивным гауссовским шумом, и конечная цель состояла в выяснении того, в каких случаях в рамках подобной идеализации появляются импульсы к применению технологии расширенного спектра. Полученные выводы сгруппированы в ниже приведенной таблице, включающей параметры сигнала, влияющие на качество выполнения каждой из конкретных процедур, и степень мотивации к применению широкополосных сигналов для энергосберегающего улучшения качества приема.
Как свидетельствуют данные таблицы, было бы преувеличением считать, что классическая теория приема однозначно ориентирует на широкополосную идеологию. Лишь совместное измерение времени и частоты наряду с частотно-временным разрешением стимулируют к ее применению без всяких оговорок. Это может показаться странным и вызывающим вопросы по поводу оснований широкой популярности технологии распределенного спектра в современных беспроводных информационных системах. Как будет видно из дальнейшего, подобные основания весьма значительны и убедительно проявляют себя всякий раз, когда анализ базируется на более реалистичных моделях канала, чем порой излишне «академичная» гауссовская, или связан с привлечением некоторых дополнительных критериев качества.
Роль широкополосных сигналов в классических задачах приема.
|
Задача |
Параметры сигнала, определяющие качество |
Широкополосные сигналы |
|
Обнаружение, амплитудные и фазовые измерения |
Отношение сигнал-шум (только энергия сигнала). |
Не требуются |
|
Двоичная передача данных (M=2) |
Отношение сигнал-шум, коэффициент корреляции |
Не требуются |
|
М-ичная передача данных, M>2 |
Отношение сигнал-шум, коэффициенты корреляции между всеми сигналами |
Не требуются, но могут быть привлекательны в реализационном плане |
|
Измерение запаздывания и временное разрешение |
Отношение сигнал-шум, полоса сигнала |
Не требуются в отсутствие ограничений на мощность, необходимы при ограниченной мощности |
|
Измерение частоты, разрешение по частоте |
Отношение сигнал-шум, длительность сигнала |
Не требуются |
|
Частотно-временные измерения, разрешение по времени и частоте |
Отношение сигнал-шум, полоса и длительность сигнала |
Необходимы |
4. Преимущества систем с широкополосной передачей
4.1. Помехоустойчивость
Окружающая обстановка, в которой конкретная система передает и извлекает информацию, не всегда полностью дружественна по отношению к ней. На приемной стороне полезному сигналу могут сопутствовать наряду с тепловым шумом и иные искажения различной природы. Следуя повсеместно принятой терминологии, будем называть подобные искажения помехами. Этот термин применяется повсеместно для учета непреднамеренного воздействия, обусловленного системами, работающими в том же или смежном частотном диапазоне, так и создаваемого преднамеренно как средства радиоэлектронного противодействия. Рассмотрим две основные модели помех, начав с узкополосной помехи.
4.1.1. Узкополосная помеха
Данный тип помех наиболее характерен для ситуаций, когда некоторая соседствующая система или системы не имеют враждебных намерений по отношению к рассматриваемой, и создают помехи только как результат штатного функционирования. Предположим, что часть спектра сигнала подвергается воздействию не только АБГШ шума, но и помехи мощности J. Тогда спектр полезного сигнала, белого шума и помехи с полосой 
имеет вид, представленный на рисунке (a) справа. Назовем помеху узкополосной только по той причине, что занимаемая ею полоса 
уже полосы , занимаемой сигналом, и имеются области, где спектр сигнала не подвержен искажению помехой.
Предположим вначале, что рассматриваемая система не предпринимает никаких специальных мер для противодействия помехе за исключением, возможно, выбора подходящего сигнала. Подобного рода сценарий означает, что при проектировании возможность присутствия помехи принята в расчет на этапе выбора сигнала, однако система не подстраивает каждый раз закон модуляции сигнала и алгоритмы обработки под текущую помеховую обстановку. Другими словами, приемник системы всегда использует только фильтр, согласованный с АБГШ, невзирая на наличие или отсутствие помехи на входе. В первом приближении работа системы в этом случае характеризуется не классическим отношением сигнал-шум на выходе согласованного фильтра
,
а выходным отношением сигнал-(шум + помеха) 
, учитывающим наряду с АБГШ и деструктивное воздействие помехи. Для отыскания отношения сигнал-(шум + помеха) на выходе согласованного фильтра разделим выходную мощность сигнала 2EW на полную мощность 
отфильтрованных шума и помехи, поскольку последняя проходит через фильтр без всякого ослабления
Очевидно, что сигналы с широким спектром обладают иммунитетом к воздействию помехи. Поскольку 
, где P и T, как обычно, мощность и длительность сигнала соответственно, то при наложении ограничений на величину пиковой мощности сигнала (T не может быть уменьшено) существует только один способ повышения стойкости в отношении узкополосной помехи: использовать широкополосную стратегию.
Рассмотрим теперь иной сценарий, в котором система способна адаптировать приемник к текущей помеховой обстановке. При помехе, многократно превышающей естественный уровень АБГШ, оптимальная процедура обработки эквивалентна простому вырезанию частотного интервала спектра сигнала, в котором сосредоточена помеха. С этой целью используется полосовой режекторный фильтр, на выходе которого спектр сигнала и шума имеет вид, изображенный на рисунке (b). Подобный спектральный рисунок может трактоваться, как если бы исходный сигнал занимал лишь часть полосы , свободную от помех, и имел энергию 
. Тогда согласованный фильтр, очищая этот «остаточный» сигнал от АБГШ, обеспечивал бы выходное отношение мощностей сигнала и шума
которое снова свидетельствует о выгодах сигналов с широким спектром с точки зрения иммунитета к узкополосным помехам.
Итогом является следующий вывод: достижение высокой помехоустойчивости к узкополосной помехе без обращения к «грубой силе» (увеличению энергии и пиковой мощности) возможно только при расширении спектра сигнала независимо от его длительности, т.е. использовании широкополосной технологии.
4.1.2. Заградительная помеха
Во многих военных сценариях или приложениях, характерных для спецслужб, встречается ситуация, когда помеха создается преднамеренно как средство радиоэлектронного противодействия. В подобных случаях применяют так называемую заградительную шумовую помеху, спектр мощности которой покрывает спектр сигнала без пропусков 
(см. рисунок справа). Ясно, что заградительная помеха воздействует на сигнал как дополнительный АБГШ со спектральной плотностью мощности, равной 
. Поэтому отношение сигнал-(шум+помеха) по мощности после согласованного фильтра подавляемой системы
,
В этом случае, однако, для нанесения большего вреда постановщик постарается обеспечить значительное превышение спектром помехи спектра естественного шума, т.е. 
, откуда следует, что
.
Вновь можно констатировать, что при лимите как пиковой мощности полезного сигнала, так и мощностного ресурса постановщика помех, единственным способом повышения иммунитета системы к заградительной помехе является привлечение сигналов с большим значением частотно-временного произведения , т.е. широкополосных сигналов.
Последняя формула объясняет другое популярное название частотно-временного произведения . Как видно, отношение мощностей сигнала и шума с равномерным спектром в полосе сигнала увеличивается согласованным фильтром в 
раз по сравнению со входным значением 
. Таким образом, можно назвать выигрышем от обработки.
4.2. Низкая вероятность обнаружения
При радиоэлектронном противодействии эффективная помеха может быть организована только после обнаружения присутствия противостоящей системы в эфире и оценки таких ее параметров как несущая частота и ширина спектра. Поэтому широко распространен сценарий конфронтации двух систем, при котором первая (назовем ее защищаемой) старается действовать по возможности скрытно и предотвратить обнаружение своего сигнала, тогда как вторая (перехватчик) находится в постоянной готовности, предпринимая все меры для обнаружения активной работы первой. Принимая сторону защищаемой системы, исследуем возможности широкополосной передачи в плане обеспечения скрытности и низкой вероятности обнаружения присутствия сигнала в эфире.
Предположим, что защищаемая система использует сигнал с некоторым замысловатым законом модуляции, детали которого неизвестны перехватчику, не давая последнему шанса применить согласованный фильтр или коррелятор для обнаружения сигнала. При этом естественно полагать, что у перехватчика нет иного выбора, как считать перехватываемый сигнал случайным и пытаться обнаруживать его только по признаку появления или отсутствия некоторого избытка энергии в сканируемом участке частотного диапазона. Таким образом, энергетический приемник (радиометр), являющийся оптимальным при обнаружении ограниченного по полосе шумового сигнала на фоне АБГШ, принимается в качестве рабочего инструмента перехватчика. На нижеприведенном рисунке показана структура энергетического приемника.
Полосовой фильтр с полосой 
, пропускающей весь спектр сигнала или только его часть, фильтрует наблюдение с целью устранения внеполосного шума. Квадратичный амплитудный детектор осуществляет оценку мгновенной мощности, которая в дальнейшем интегрируется для выработки оценки энергии 
в пределах интервала наблюдения 
. Полученная оценка энергии сравнивается затем с порогом 
, и при выполнении неравенства 
принимается решение о наличии в наблюдении сигнала наряду с естественным шумом, тогда как непревышение порога трактуется как признак отсутствия сигнала. Качество работы приемника перехватчика будет главным образом зависеть от показателей энергетического приемника, настроенного на истинную частотно-временную зону перехватываемого сигнала. Это позволяет идеализировать априорную осведомленность перехватчика и предполагать, что ему известно, где в плоскости время-частота концентрируется энергия обнаруживаемого сигнала. Поскольку наблюдение вне длительности сигнала не содержит информации о его присутствии, можно положить 
.
На рисунке справа представлена прямоугольная аппроксимация спектра сигнала вместе с равномерной спектральной плотностью мощности естественного АБГШ (a) и амплитудно-частотной характеристикой полосового фильтра радиометра (b). С точки зрения перехватчика указанием на присутствие сигнала служит избыточная (сигнальная) спектральная плотность мощности 
, добавляемая сигналом к спектральной плотности мощности теплового шума 
.
Поскольку выходное напряжение 
квадратичного детектора равняется мгновенной входной мощности, то отношение сигнал-шум по напряжению на его выходе определится как
,
где 
и 
– соответственно мощность сигнала и шума на выходе полосового фильтра.
Для сглаживания случайных флюктуаций постоянной составляющей напряжения на выходе детектора на интервале наблюдения производится накопление 
статистически независимых отсчетов, так что результирующее отношение сигнал-шум на входе компаратора составит величину
.
Очевидно, что перехватчик, заинтересованный в максимизации характеристики приемника, должен выбрать ширину полосы пропускания ПФ максимально возможной, т.е. равной полосе сигнала: 
, обеспечивая наибольшее отношение сигнал-шум
,
где 
, как и ранее, отношение сигнал-шум на выходе согласованного фильтра приемника защищаемой системы.
Очевидно, что 
должно быть достаточно большим, поскольку в противном случае защищаемая система не сможет нормально функционировать. Ясно также, что у защищаемой системы имеется единственная возможность снизить риск обнаружения своего сигнала потенциальным перехватчиком: использовать широкополосный сигнал с максимально возможным частотно-временным произведением , обеспечивая 
. Возвращение к ранее приведенному рисунку позволяет физически обосновать подобное заключение. Расширение спектра сигнала при постоянстве энергии и длительности снижает его спектральную плотность мощности 
, маскируя ее под спектром естественного теплового шума, так что
.
В заключении еще раз подчеркнем, что действенным (фактически единственным) путем достижения высокой скрытности является использование широкополосной технологии.
Пример 4.2.1. Для надежной передачи цифровых данных вполне адекватным является отношение сигнал-шум 
(14 дБ). При использовании широкополосных сигналов с 
отношение сигнал-шум для приемника перехватчика оказывается 
(–8 дБ), что совершенно недостаточно для надежного обнаружения сигнала защищаемой системы. Не составляет труда убедиться, что если перехватчик готов мириться с вероятностью ложной тревоги 
, то вероятность правильного обнаружения составит 
, т.е. окажется чрезвычайно малой и не представляющей серьезной угрозы скрытности защищаемой системы.
Завершая параграф, отметим, что выгоды, связанные со скрытностью распределенного спектра, в наши дни широко эксплуатируются не только военными потребителями и спецслужбами. То обстоятельство, что широкополосный сигнал практически незаметен для оборудования систем радиоконтроля, серьезным образом влияет на лицензионную политику. В частности, рынок коммерческих систем, имеющих право выхода в эфир без получения лицензии, постоянно расширяется, и во многих регионах выделены специальные частотные диапазоны для подобного безлицензионного использования.
4.3. Криптозащищенность сигнала
Продолжая линию предыдущего параграфа, напомним, что единственной причиной, вынуждающей перехватчик использовать столь неэффективный инструмент как энергетический приемник, является отсутствие информации о тонкой структуре обнаруживаемого сигнала, т.е. его законе модуляции. По этой причине перехватчик не может обрабатывать сигнал по тем же алгоритмам, что и приемник защищаемой системы (т.е. осуществлять согласованную фильтрацию). Понятно, что при выборе закона модуляции из немногочисленного набора альтернатив, априорно известных перехватчику, последний может разгадать фактически использованную структуру сигнала с помощью простого перебора. Таким образом, важным фактором противоборства защищаемой системы с перехватчиком является применение сигналов с криптозащищенной (практически не поддающейся расшифровке) структурой.
Подобная задача весьма характерна и для защищаемых военных и коммерческих систем, постоянно присутствующих в эфире и потому не особенно озабоченных сокрытием самого факта активного функционирования. Первоочередным требованием для них является минимизация риска несанкционированного доступа к обслуживанию, адресованному лишь авторизованным пользователям, или фальсификации передаваемой информации.
В дисциплинах, связанных с информационной безопасностью, степень защиты данных определяется числом равновероятных конкурирующих ключей, которые криптоаналитик противной стороны должен перепробовать в попытке взломать шифротекст, т.е. засекреченные данные. В применении к структуре сигнала каждый из таких ключей есть не что иное, как конкретный закон модуляции, который обычно повторяется с некоторым периодом . Предположим, что сигнал построен из чипов (см. пример в 1.5.3) на основе -ичного алфавита, т.е. с использованием -символьной манипуляции чипов. Если полоса, отводимая системе, равна , то общее сигнальное пространство имеет размерность , т.е. закон модуляции можно считать сконструированным из чипов. Очевидно, что величина 
определяет общее число различных законов модуляции, т.е. конкурирующих ключей, и, значит, системный дизайнер в стремлении к высокой степени секретности модуляционного формата, должен ориентироваться на сигналы с достаточно большим частотно-временным произведением.
Заключением к дискуссии параграфа может служить следующий тезис: широкополосная технология весьма полезна в аспекте криптозащиты структуры сигнала.
Пример 4.3.1. Сигнал P-канала (P–код) в системе GPS является бинарным 
с полосой 
МГц. Его закон модуляции имеет регулярный характер и повторяется с периодом в семь суток. Будучи «спрятанным» под тепловым шумом, этот сигнал не может быть восстановлен путем посимвольного приема и только знание его тонкой структуры позволило бы эффективно очистить его от АБГШ. Чтобы предотвратить несанкционированный доступ к P-коду последний суммируется по модулю два с секретным ключом (W-кодом), маскирующим структуру результирующего Y-кода. Один символ W-кода перекрывает 20 символов P-кода, так что для взлома ключа перебором пришлось бы протестировать до 
вариантов. Так как 
, число проверяемых ключей больше чем два в степени десять миллиардов, т.е. невообразимо велико. По этой причине Y-код считается практически застрахованным от взлома, и в течение всей истории GPS случаи успешных криптоаналитических атак на него не засвидетельствованы.
4.4. Электромагнитная совместимость
Проблема электромагнитной совместимости (ЭМС) является одной из наиболее животрепещущих для современных беспроводных технологий. ЭМС подразумевает бесконфликтное сосуществование различных систем в эфире, несмотря на то, что каждая из них принимает не только свой собственный сигнал, но и сигналы остальных систем и в задачу системного разработчика входит минимизация потенциального вреда от подобного воздействия. К числу традиционных способов обеспечения ЭМС относятся детальное частотное планирование под контролем национальных и международных инстанций, использование узконаправленных антенн, улучшение избирательности радиочастотных трактов приемников и др. Приведенные ниже простые рассуждения показывают, что применение широкополосных сигналов может быть также внесено в этот список.
В части излучающей системы следующая логика представляется оправданной. Поскольку существует возможность сделать сигнал практически незаметным даже для специальных приемников радиомониторинга за счет усложнения закона модуляции (см. параграф 4.2), т.е. расширения спектра, подобный сигнал тем более не окажет вредного влияния на обычную принимающую систему, работающую в том же диапазоне. Задача состоит лишь в выборе такого частотно-временного произведения , которое позволило бы удержать спектральную плотность мощности на входе принимающей системы ниже заданного порога. Как самое грубое приближение примем за «достаточно низкий» уровень в 
дБ по отношению к тепловому шуму, что для сигнала с энергией E, мощностью P и выигрышем от обработки WT означает
или 
,
где снова целевой параметр определен в терминах отношения сигнал-шум «своего» приемника и выигрыша от обработки . Если бы, например, отношение сигнал-шум излучающей системы в точке расположения принимающей системы было 20 дБ, то величину 
можно было бы считать удовлетворительной в смысле ЭМС.
С позиций принимающей системы любой сигнал, пришедший от сторонней излучающей, может трактоваться как узкополосная или широкополосная помеха, и все аргументы в пользу широкополосности в борьбе с помехами (см. 4.1) дословно приложимы и к рассматриваемой задаче. Тем самым, широкополосная технология оказывается одним из действенных средств обеспечения ЭМС.
4.5. Эффекты распространения радиоволн в беспроводных системах
Проблемы, связанные с распространением волн в физических средах, достаточно сложны и нередко с трудом поддаются теоретическому анализу. Имеет место большое разнообразие факторов, вызывающих как детерминированное, так и случайное ослабление сигнала, достигающего приемной стороны. Как результат их воздействия принимаемый сигнал искажается не только аддитивным шумом (АБГШ), но и мультипликативной помехой, название которой вытекает из того факта, что она меняет интенсивность сигнала, т.е. перемножается с его амплитудой.
Начнем с идеализированной модели распространения в свободном пространстве, где отсутствуют препятствия между передающей и приемной антеннами, и излученная волна распространяется по единственно возможному пути, называемому линией прямой видимости (ЛПВ). Тогда на основе элементарной геометрии мощность принятого сигнала 
может быть предсказана с помощью формулы Фрииза:
,
где 
– мощность излученного сигнала, 
и 
– коэффициенты усиления передающей и приемной антенны соответственно, – длина волны несущего колебания, а D – расстояние между передатчиком и приемником. Как показывает последняя формула, ослабление мощности сигнала вдоль линии прямой видимости в свободном пространстве обратно пропорционально квадрату расстояния.
Модель распространения в свободном пространстве можно непосредственно использовать в расчетах линий связи, где окружающую обстановку можно уподобить открытому пространству, например, между космическими объектами или летательными аппаратами, наземным центром контроля и спутником и т.п. Среда распространения наземных систем намного менее благоприятна и главными факторами влияния на интенсивность сигнала оказываются затенение и многолучевой фединг (замирание).
Затенение обусловлено деталями ландшафта, препятствующими прямолинейному распространению: возвышенностями, растительностью, постройками и т.п. Вследствие их влияния интенсивность сигнала падает с расстоянием значительно быстрее, чем предсказывает формула Фрииза. Очевидно, что нерегулярный характер земных ландшафтов делает невозможной или бесполезной попытку создания некоторой универсальной теоретической модели затенения. Предложен целый ряд эмпирических моделей возможных зависимостей между принимаемой мощностью и длиной пути распространения. Среди специалистов в области мобильной связи одной из наиболее приемлемых признана модель Окамуры–Хаты (Ocumura-Hata). Согласно последней зависимость средней принятой мощности 
подчиняется равенству
,
в котором конкретное значение показателя 
зависит от типа подстилающей поверхности, изменяясь от 3 (сельская местность) до 5 (плотная городская застройка), а коэффициент – определяется частотным диапазоном и высотой антенн.
Принятая мощность, рассчитанная таким образом, дает лишь очень грубую отправную цифру, соответствующую усреднению по различным положениям приемника, равноудаленным на 
от передатчика. Флюктуации 
по дуге радиуса с центром в месте расположения передатчика значительны и часто аппроксимируются логнормальным законом, означающим, что распределение принятой мощности в децибелах 
, является гауссовским (нормальным):
.
Среднеквадратическое отклонение
величины 
обычно принимается лежащим в пределах от 6 до 12 дБ.
Затухание сигнала, обусловленное затенением, носит статический характер и даже для движущегося приемника принятая мощность меняется во времени сравнительно медленно в связи с относительно большой пространственной протяженностью элементов ландшафта (десятки-сотни метров). По этой причине затенение иногда фигурирует и под такими названиями, как крупномасштабные или долговременные замирания (фединг).
Рассмотрим теперь второй фактор, влияющий на интенсивность принимаемого сигнала: многолучевое распространение. В реальности излученный сигнал может достичь приемной антенны разнообразными путями. Прямой путь может оказаться одним из них, но может быть и полностью блокирован, тогда как все остальные пути обязаны своим происхождением рефракции волн, и, что гораздо характернее, отражению излученной волны различными объектами. Подобными отражателями могут оказаться здания, заводские трубы, воздушные суда, подстилающая поверхность и многое другое (см. рисунок).
Предположим, что, распространяясь по 
-му пути, переданный сигнал с комплексной огибающей приобретает амплитуду 
, задержку 
и начальную фазу 
. Тогда комплексная огибающая принятого сигнала запишется как
,
где, без потери общности, действительная амплитуда исходного сигнала принята равной единице.
В том случае, когда диапазон рассеяния по задержке 
, т.е. максимальное значение взаимной задержки между сигналами различных путей, не превосходит длительности сигнала, все многолучевые реплики перекрываются и интерферируют между собой. Хаотичность распределения отражателей или рассеивателей на пути распространения волн придает интерференционной картине непредсказуемый характер: мощность результирующего сигнала может, как возрастать, если фазы сигналов отдельных путей близки, так и спадать, если они противоположны (см. рисунок). Именно этот феномен и получил название многолучевого фединга (замирания, обусловленного многолучевым распространением), которому присваивают и другие названия: мелкомасштабный или кратковременный фединг. Причины, обуславливающие подобные наименования, поясняются примером.
Пример 4.5.1. Пусть излученный сигнал поступает на приемник по путям, созданным двумя отражателями (зданиями, машинами и т.п.), а прямой путь (ЛПВ) полностью блокирован препятствием (зданием). Отражатели ориентированы в пространстве таким образом, что излучаемые ими вторичные волны распространяются навстречу друг другу (см. рисунок слева на следующем слайде).
На входе приемника, расположенного на линии, соединяющей отражатели, будет наблюдаться суперпозиция двух интерферирующих колебаний, которая образует стоячую волну с периодом 
. Двигаясь вдоль оговоренной линии, приемник будет наблюдать чередование максимумов и минимумов амплитуды с периодом метров. Если амплитуды отраженных сигналов близки по величине (что вполне вероятно), то результирующая мощность спадает почти (или в точности) до нуля, когда приемник проходит узлы стоячей волны. Поскольку пространственное расстояние между соседними пиками сравнимо с длиной волны, то для систем, работающих в метровом и дециметровом диапазонах, временные циклы изменения на входе мобильного приемника будут достаточно короткими (обычно доли секунды).
График зависимости от времени, представленный на рисунке справа, отвечает значениям параметров, характерным для мобильной связи: 
м и скорости носителя приемника 
км/час. Как видно из диаграммы, даже при относительно невысокой скорости принимаемая мощность меняется достаточно быстро.
Разумеется, приведенный пример искусственно упрощен с тем, чтобы представить исследуемый эффект наиболее наглядно. В действительности, число одновременно принимаемых многолучевых сигналов 
может быть очень большим, делая интерференционную картину гораздо более сложной. Характерная временная зависимость принимаемой мощности на входе приемника мобильного телефона представлена на рисунке справа, которая наглядно демонстрирует нерегулярный характер изменения мощности, как и наличие глубоких провалов в интенсивности принимаемого сигнала.
Убедится в том, что эффект замираний носит весьма деструктивный характер, можно на примере передачи бинарных данных по каналу с быстрыми замираниями. При отсутствии замираний (стабильности энергии сигнала E, т.е. отношения сигнал-шум q) вероятность ошибки на бит определяется соотношением
.
Если амплитуда 
принятого сигнала случайна и меняется от одного сеанса приема к другому, то энергия сигнала для некоторого конкретного значения амплитуды составит 
, где 
– энергия эталонного сигнала, отвечающая случаю 
. Удобна нормировка, полагающая средний квадрат амплитуды флуктуирующего сигнала, равным единице, поскольку в этом случае средняя энергия совпадает с энергией эталонного сигнала
.
Тогда при фиксированной и равной амплитуде сигнала отношение сигнал-шум 
и условная вероятность ошибки 
становятся равными
.
Отметим, что среднее значение отношения сигнал-шум по мощности совпадает со значением отношения сигнал-шум 
для эталонного сигнала:
.
При флуктуирующем по амплитуде сигнале естественно принять за показатель качества коммуникационной системы значение , усредненное по всем
,
где 
– плотность распределения вероятности случайной амплитуды . Подобное усреднение особенно оправдано в случае быстрых флюктуаций, когда в течение одной сессии приема уровень сигнала меняется много раз (см. рисунок).
Одной из наиболее достоверных моделей быстрых флюктуаций является модель, описываемая законом Рэлея:
где использована ранее упомянутая нормировка среднего квадрата . График плотности вероятности Рэлея приведен на рисунке.
Правомерность применения рэлеевской модели базируется на центральной предельной теореме. Плотность вероятности суперпозиции примерно независимых и близких по вкладу случайных слагаемых стремится к гауссовской по мере роста их числа. Следовательно, интерференция множества пришедших по разным путям сигналов, подчиняющихся названным условиям, порождает на входе приемника гауссовский радиопроцесс. Если среди входных компонентов отсутствует доминирующая детерминированная составляющая (подобная ЛПВ сигналу), результирующий гауссовский процесс будет иметь нулевое среднее. Огибающая же такого процесса подчиняется рэлеевскому распределению и, таким образом, приходим к модели канала с рэлеевскими замираниями.
Осуществив усреднение, получаем
.
Количественно оценить масштаб вреда от замираний можно с помощью рисунка, на котором представлены вероятности ошибки передачи БФМ сигналов по гауссовскому (пунктир) и рэлеевскому (сплошная линия) каналам. Как следует из графиков, вероятность ошибки 
гарантируется для АБГШ канала при отношении сигнал-шум на бит близком к 10 дБ, тогда как для рэлеевского канала подобная достоверность передачи возможна лишь при отношении сигнал-шум не менее 27 дБ, т.е. большем в 50 раз. Столь внушительные энергетические потери от замираниями, становятся еще большими при ужесточении требований к надежности передачи и близки к 25 дБ (300 раз) при 
.
4.6. Разнесение
Основная идея борьбы с деструктивными эффектами многолучевости заключается в использовании разнесения, состоящего в организации нескольких независимых каналов или ветвей передачи. Хотя каждая из ветвей при этом по-прежнему подвержена рэлеевским (или другим) замираниям, вероятность того, что интерференционные картины во всех из них будут одновременно неблагоприятными, определяется правилом умножения вероятностей и, таким образом, существенно меньше вероятности «плохого» состояния индивидуальной ветви. Например, если каким-либо способом организованы две независимые идентичные ветви и вероятность возникновения неблагоприятных условий распространения в одной из них равна 0.1, то вероятность одновременного спада интенсивности сигнала в обеих будет 0.01, т.е. станет заметно меньше. С увеличением количества ветвей подобный выигрыш от разнесения становится все более и более заметным. Работая параллельно, ветви как бы подстраховывают друг друга, смягчая последствия замираний.
В зависимости от способа организации независимых каналов передачи выделяют несколько традиционных методов разнесения.
4.6.1. Пространственное (антенное) разнесение
Возникновение быстрых замираний обусловлено случайностью фазовых сдвигов многолучевых сигналов, что, в свою очередь, вызвано случайностью расположения отражателей, порождающих различные пути распространения. Как правило, фазовые диаграммы в двух точках пространства, разнесенных более чем на 7…10 длин волн, могут рассматриваться как независимые. Следовательно, отделенные в пространстве друг от друга расстоянием в 7…10 длин волны или более, две или несколько приемных антенн обеспечат практическую независимость параллельных интерференционных картин на приемной стороне, а значит каналов передачи (см. рисунок на следующем слайде).
После индивидуальной согласованной фильтрации сигналы с выхода своей антенны могут быть скомбинированы согласно алгоритму селекции ветви с максимальным сигналом или по максимуму отношения сигнал-шум (взвешенное суммирование, обеспечивающее максимально возможное результирующее отношение сигнал-шум).
Параллельные антенны можно использовать также и на передающей стороне, однако в этом случае ограниченный ресурс полной мощности передатчика приходится дробить между несколькими передающими антеннами, что снижает энергопотенциал каналов разнесения. Тем не менее разнесение на передаче в некоторых ситуациях может оказаться выгодным. Так этот метод разнесения используется базовыми станциями систем мобильного телефона третьего поколения.
Метод разнесения на приеме, несомненно, является очень эффективным и широко практикуемым инструментом (например, он используется базовыми станциями системы мобильного телефона в канале «вверх»), однако не является универсальным. Так он с трудом может быть применен в мобильных приемниках (т.е. в канале «вниз») из-за малых размеров трубок.
4.6.2. Частотное разнесение
Идея частотного разнесения связана с понятием полосы когерентности канала. Эта величина характеризует максимальную ширину частотного интервала, в пределах которого фединг может считаться плоским, т.е. замирания гармоник сигнала практически стопроцентно зависимы. При этом замирания гармоник, разделенных по частоте интервалом, превышающим полосу когерентности, принимаются за независимые. Очевидно, что одновременная передача одного и того же сигнала несколькими несущими, частоты которых разнятся на полосу когерентности или более, образует ряд ветвей разнесения. Следующий рисунок дает элементарное толкование этому методу разнесения.
Частотный интервал плоского фединга обратно пропорционален диапазону рассеяния по задержке , так что чем сильнее рассеяние многолучевых сигналов по времени, тем уже полоса когерентности. Так, для систем мобильной связи типичной является величина 
мкс, что соответствует полосе когерентности близкой 50 КГц. Тогда для организации разнесения по частоте несущие должны выбираться со сдвигом не меньшим 50 КГц. Отметим, что аналогично разнесению на передаче частотное разнесение также предполагает дробление ресурса полной излучаемой мощности (теперь между несущими), что тем не менее оказывается продуктивным. Примером использования разнесения по частоте служит система мобильного телефона GSM.
4.6.3. Временное разнесение
Временное разнесение базируется на флюктуациях многолучевого профиля во времени. Даже тогда, когда приемник неподвижен, интерференционная картина может меняться со временем из-за движения передатчика или окружающих отражателей. Вследствие этого возникает доплеровское рассеяние принимаемого сигнала, и чем шире его разброс, тем меньше время когерентности канала, т.е. интервал времени, в течение которого мощность результирующего многолучевого сигнала остается примерно постоянной. Вновь обращает на себя внимание дуальность частоты и времени: интервал корреляции в частотной области (полоса когерентности) обратно пропорционален диапазону рассеяния по задержке, тогда как аналогичный интервал во временной области (время когерентности) обратно пропорционален диапазону частотного (доплеровского) рассеяния. Поскольку в моменты, разделенные временем когерентности или более, многолучевые интерференционные картины можно считать независимыми, повторная передача нескольких копий одного и того же сообщения с соответствующим интервалом создает ряд ветвей разнесения. С некоторой адаптацией этот принцип используется в телекоммуникационных системах в форме процедуры перемежения совместно с корректирующими кодами. Для разнесения во времени символов некоторого кодового слова на интервал, превышающий время когерентности, производится перемешение символов группы следующих друг за другом кодовых слов. В результате поражающий данное кодовое слово пакет ошибок, обусловленный замиранием, распределяется между рядом слов в виде независимых, а модель канала трансформируется в модель без памяти. Подобная форма разнесения во времени реализована в системах мобильной связи стандарта GSM и IS-95 как в прямом, так и обратном канале. Однако сопутствующая этому методу задержка в передаче может существенно ограничить его применимость.
4.6.4. Многолучевое разнесение
Метод многолучевого разнесения уникален в том смысле, что он радикально меняет отношение к эффектам многолучевости, которые на первый взгляд представляются безоговорочно вредными. В самом деле, любой отражатель, причастный к приему сигнала, направляет к приемнику часть излученной энергии, которая в его отсутствие была бы безвозвратно потеряна. В обстоятельствах, когда соответствующе отраженные сигналы могут быть отделены друг от друга (разрешены во времени), их энергию можно использовать для улучшения характеристик системы в сравнении со случаем отсутствия многолучевости. Многолучевой канал как будто сам создает ветви разнесения, и единственной проблемой является адекватный выбор сигнала, который позволил бы разделить сигналы разных лучей.
Пусть время корреляции сигнала , т.е. протяженность его АКФ, не превышает минимальной взаимной задержки между последовательными во времени многолучевыми сигналами 
. Очевидно, что в такой ситуации все многолучевые сигналы после согласованного фильтра не перекроются и полностью разрешаются во времени, не мешая друг другу.
Ясно, что для применимости схемы многолучевого разнесения сигнал должен иметь узкую АКФ. Возвращаясь к дискуссии раздела 3.1, можно вспомнить, что лобовое решение этой задачи состоит в использовании коротких сигналов. Подобный путь, однако, предполагает излучение сигналов с высокой пиковой мощностью, что может оказаться неприемлемым во многих приложениях. Значительно более изящной представляется ориентация на широкополосные сигналы с 
. В этом случае вложение необходимой энергии происходит при умеренной пиковой мощности, что обеспечивается за счет большой длительности сигнала, тогда как разрешение во времени достигается после временной компрессии в согласованном фильтре. Рисунок на следующем слайде иллюстрирует подобный подход при передаче данных с бинарной ФМ.
Пусть требуемая скорость передачи составляет бит/сек. Возьмем широкополосный сигнал длительности 
и будем отображать каждый бит обычным для бинарной ФМ способом. Передача нулевого значения бита осуществляется прямым сигналом , а единичного – инверсией сигнала 
. При полосе 
и правильно синтезированном сигнале все многолучевые копии не будут перекрываться после временного сжатия в согласованном фильтре. Их комбинирование с учетом полярности (например, по методу с максимальным отношением) обеспечит более высокое качество, чем при использовании только одного из многолучевых сигналов, например, сигнала прямой видимости.
Реализованный подобным образом прием многолучевых сигналов называется RAKE («грабли») алгоритмом, поскольку пики на выходе согласованного фильтра напоминают в некоторой степени зубцы этого популярного садового инструмента. По этой причине каждый отдельный отклик фильтра получил наименование пальца. RAKE алгоритм с 3-мя и более пальцами применяется как в прямом, так и в обратном канале системы мобильного телефона стандарта IS-95. Проекты систем мобильной связи 3-го поколения также ориентированы на утилизацию достоинств RAKE приемников.
С точки зрения рассмотренной проблемы уместно ввести еще один термин: коэффициент расширения. Использование его для обозначения частотно-временного произведения типично для цифровых систем связи. Происхождение данного термина объясняется тем, что произведение 
показывает во сколько раз расширена полоса сигнала по сравнению с передачей данных простым сигналом.
Завершая данный параграф, в перечень достоинств технологии расширенного спектра может быть добавлено еще одно: возможность организации многолучевого разнесения.
5. Роль широкополосных сигналов в системах с множественным доступом
5.1. Многоабонентские системы и проблема множественного доступа
Многие современные беспроводные системы относятся к категории многопользовательских. В многопользовательской (многоабонентской) системе в пределах общего частотно-временного ресурса организуется множество линий связи, так что любому индивидуальному абоненту предоставляется право передавать или принимать свою собственную информацию параллельно с другими пользователями и независимо от них. При проектировании любой многопользовательской системы принципиальным моментом является обеспечение множественного доступа, т.е. возможности предоставления канала связи для одновременной работы многих абонентов. Реализация принципа множественного доступа связана с присвоением каждому потребителю присущего только ему сигнала (сигнатуры), посредством которого и осуществляется его идентификация. Очевидно, что выбор ансамбля сигнатур следует осуществлять тщательным образом, с тем чтобы, насколько это возможно, минимизировать взаимное влияние абонентов.
Для формализации задачи предположим, что данные -го пользователя образуют последовательность 
), где 
означает -й символ потока данных -го пользователя. Данная последовательность тем или иным способом модулирует специфический сигнал -го пользователя 
, образуя модулированный сигнал 
. Распространяясь по каналу, каждый из этих сигналов приобретает свои амплитуду 
и запаздывание 
, так что на приемник поступает групповой сигнал 
, искаженный канальным шумом 
.
Даже если приемник предназначен для восстановления данных только одного определенного (-го) пользователя оптимальная (максимально правдоподобная) стратегия восстановления пользовательских данных 
заключается в минимизации евклидова расстояния (или его квадрата) между наблюдением и различными копиями группового сигнала , соответствующими всем возможным комбинациям данных 
пользователей, и последующем удержании только данных -го пользователя.
Квадрат расстояния, подлежащий минимизации, определяется как
,
где
корреляция (скалярное произведение) наблюдения и задержанного на -го пользовательского сигнала, промодулированного последовательностью данных 
.
Минимизация квадрата расстояния 
по всем возможным сообщениям 
называется оптимальным многопользовательским алгоритмом и может оказаться практически нереализуемым в ситуациях, где число пользователей измеряется десятками или более. Альтернативным служит алгоритм стандартного или однопользовательского приема, сводящийся к максимизации корреляции 
по всем последовательностям данных 
. Очевидно, что последний совпадает с оптимальной (многопользовательской), если и только если третье слагаемое в выражении для квадрата расстояния вообще не зависит от передаваемых данных 
(оценки интенсивностей и запаздываний абонентских сигналов, как правило, осуществляются заранее и могут полагаться известными с необходимой точностью). Выполнение последнего условия гарантируется для схем модуляции, удовлетворяющих следующему соотношению:
,
где E – энергия сигнатуры, а 
– дельта-функция Кронекера: 
. Последнее соотношение свидетельствует об ортогональности сигналов всех пользователей и независимости их энергии от передаваемых данных (PSK, FSK). Называя этот метод множественного доступа ортогональным и возвращаясь к материалу, изложенному в разделах 1.3 и 2.4, вспомним, что при общей полосе 
и -ичной цифровой передачи данных с фиксированной скоростью бит/с максимальное число ортогональных сигналов ограничено как
5.2. Множественный доступ с частотным разделением
При множественном доступе с частотным разделением (МДЧР) (frequency division multiple access (FDMA)) каждая сигнатура формируется путем ортогонального кодирования частотным сдвигом, т.е. спектры сигнатур сдвинуты друг относительно друга и не перекрываются (см. рисунок). Если для передачи данных со скоростью используется -ичная ФМ, длительность символа данных 
, так что каждому пользователю должна отводиться полоса, не меньшая чем 
. Тогда в полной выделенной полосе могут располагаться не более чем 
неперекрывающихся спектров. При 
это в точности повторяет только что приведенную верхнюю границу. Если же 
и фазовая когерентность гарантирована, каждый из упомянутых спектров может эксплуатироваться двумя пользователями, несущие колебания которых отличаются лишь квадратурным фазовым сдвигом. В результате потенциальное число пользователей в схеме FDMA в точности совпадает с упомянутой границей.
На практике недостаточная избирательность фильтрующих цепей, дрейф опорного генератора и доплеровский сдвиг частот могут привести к частичному перекрытию соседних спектров, т.е. взаимным помехам между пользовательскими сигналами. Стремление минимизировать такого рода эффекты и сохранить необходимое качество разделения абонентских сигналов нередко вынуждает вводить между соседними спектрами защитные окна, теряя в реальном числе пользователей сравнительно с границей.
FDMA является старейшей и классической схемой множественного доступа, широко распространенной как в аналоговых, так и цифровых беспроводных системах (радио- и телевещание, мобильная связь и др.). Неперекрытие спектров сохраняет ортогональность пользовательских сигналов и, следовательно, их разделимость вне зависимости не только от данных, но и взаимных запаздываний. Благодаря этому отсутствует нужда в поддержании синхронизма сигналов на входе приемника, что часто рассматривается как немалое достоинство FDMA.
5.3. Множественный доступ с временным разделением
При множественном доступе с временным разделением (МДВР) (time division multiple access (TDMA)) ансамбль сигнатур образуется посредством временного ортогонального кодирования, т.е. сигнатуры представляют собой сдвинутые и не перекрывающиеся во временной области импульсы (см. рисунок на следующем слайде).
При -ичной ФМ полный выделенный временной ресурс (в системах с TDMA его часто называют кадром) делится на неперекрывающиеся слоты длительности . Если , то каждый слот может использоваться единственным пользователем и длительность передаваемого им символа данных не может быть меньше величины, обратной полосе 
. Поэтому общее число пользователей ограничено сверху величиной 
. Если же , то при соблюдении фазовой когерентности вновь два пользователя могут работать в одном и том же слоте на квадратурно-сдвинутых несущих. В итоге максимальное число пользователей в рамках TDMA опять совпадает с верхней границей, подтверждая эквивалентность TDMA и FDMA в части потенциального числа абонентов.
Схема TDMA находит применение в разнообразных системах, в частности, в мобильной связи второго поколения (GSM, IS-136 и др.). Несмотря на внешне подкупающую простоту, ее технологическая привлекательность далеко не безоговорочна. Во-первых, каждый пользовательский сигнал занимает лишь -ю (или возможно 
-ю) часть кадра, что означает рост пиковой мощности в (или ) раз по сравнению с непрерывной передачей при фиксированной энергии сигнала. Во-вторых, между абонентскими сигналами на входе приемника необходима жесткая синхронизация, поскольку иначе возникнет риск их перекрытия и, как результат, возникновения взаимных помех. Прямой путь преодоления подобного препятствия состоит во введении защитных пауз между соседними пользовательскими сигналами, устраняя тем самым возможность их перекрытия во всем диапазоне задержек. Протяженность пауз нередко значительна, что проявляет себя заметным сокращением числа пользователей.
В свете рассмотренных факторов схема TDMA в «чистом» виде не столь часто встречается в практических телекоммуникациях. В системах мобильной связи второго поколения, к примеру, она реализуется в сочетании с FDMA.
5.4. Множественный доступ с синхронным кодовым разделением
Как FDMA, так и TDMA базируются на расщеплении полного доступного частотно-временного ресурса между пользователями, так что каждому из них отдается в распоряжается только его «персональная» часть, и никакие сегменты ресурса в совместном пользовании не находятся. При FDMA подобная фрагментация осуществляется в частотной области (см. рисунок слева) так, что в распоряжение -го пользователя поступает весь временной ресурс 
, но только часть полного частотного ресурса 
. Когда максимальное число абонентов является главным приоритетом, 
. Дробление во временной области при TDMA (см. рисунок справа) предоставляет одному пользователю весь доступный частотный ресурс 
, но только часть полного временного кадра 
. Когда число пользователей должно
быть максимизировано, сигнал каждого пользователя в обеих схемах, имея из-за фрагментации ресурса частотно-временное произведение 
, автоматически оказывается простым.
Предположим, что передача организована так, что взаимные временные сдвиги между пользовательскими сигналами на входе приемного устройства отсутствуют. Тогда все абсолютные запаздывания сигналов можно без потери общности положить нулевыми: 
. Возьмем произвольное семейство 
ортогональных широкополосных сигналов, скажем, функций Уолша, и используем каждый из них как пользовательский сигнал для -ичной ФМ передачи данных. Каждая сигнатура занимает всю полосу и весь временной кадр 
(см. рисунок), передавая 
бит данных за интервал . Если , данный метод множественного доступа позволяет обслуживать до 
абонентов, тогда как при БФМ возможно удвоение , поскольку два разных абонента могут использовать сдвинутые по фазе квадратурные реплики одной и той же сигнатуры. Как видно, максимальное число пользователей вновь в точности совпадает с верхней границей, как это уже было при FDMA и TDMA.
В рассмотренной схеме множественного доступа грамотное кодирование сигнатур, взамен расщепления частотного или временного ресурсов, обеспечивает их ортогональность. Именно поэтому она ниже, как и повсеместно, фигурирует под аббревиатурой CDMA (code division multiple access – множественный доступ с кодовым разделением, МДКР). Достоинства CDMA в сравнении с классическими FDMA и TDMA (помехоустойчивость, низкая вероятность обнаружения, осуществимость RAKE-алгоритма др.) автоматически следуют из широкополосной природы CDMA сигнатур. В то же время, синхронизация сигнатур критически важна в обеспечении их ортогональности и разделении абонентов на приемной стороне. Чтобы дифференцировать описанный вариант CDMA от рассматриваемого позднее добавим к его названию определение синхронный (S-CDMA). Синхронный вариант CDMA достаточно легко реализуется в системах с единственным передатчиком (подобно базовой станции в сотовой сети), одновременно посылающим потоки данных, из которых каждый адресован определенному пользователю. Благодаря этому S-CDMA используется как платформа физического уровня линии «вниз» в сотовых сетях с CDMA поколений 2G (cdmaOne) и 3G (WCDMA, cdma2000).
5.5. Асинхронное кодовое разделение
Для многих приложений типична ситуация, когда задержки абонентских сигналов могут варьироваться в широком диапазоне, делая синхронизацию сигнатур на входе приемника проблематичной или вообще невозможной. Наглядный пример такого рода дает мобильная сотовая связь, где расстояния мигрирующих потребителей от базовой станции постоянно меняются, а с ними и время прихода пользовательских сигналов на приемник линии «вверх». В принципе, каждый потребитель, зная собственное текущее положение относительно базовой станции, а значит, и задержку распространения , имеет возможность передавать свой сигнал с упреждением . В результате задержки распространения будут скомпенсированы, и все абонентские сигналы на входе приемника базовой станции будут синхронизированы. Применение подобной процедуры, однако, привело бы к серьезному усложнению мобильных терминалов, что – по крайней мере до недавнего времени – не считалось экономически целесообразным.
Проанализируем последствия асинхронизма принимаемых пользовательских сигналов. Поскольку сигнатуры абонентов в рамках CDMA перекрываются в частотной области, они не могут оставаться ортогональными в широком диапазоне взаимных задержек. Следствием этого является возникновение межпользовательской помехи, т.е. ненулевого отклика приемника -го пользователя на сигналы других абонентов.
Рассмотрим стандартный приемник -го пользователя. Без потери общности можно считать, что 
, переписав как
,
где в выражении для группового сигнала осуществлена замена на 
с тем, чтобы отличить подлинно передаваемые данные от предполагаемых в процессе принятия решения .
Первый и последний члены в последнем соотношении являются соответственно вкладами собственного, т.е. -го сигнала и теплового аддитивного шума в отклик приемника -го пользователя. В случае отсутствия сторонних абонентов 
второе слагаемое обратилось бы в нуль, и исследуемая задача не отличалась бы от рассмотренной в главе 2. При 
и произвольных запаздываниях сигнатур второе слагаемое отлично от нуля, отражая вклад сторонних пользовательских сигналов в выходной эффект -го приемника, т.е. взаимную помеху или помеху множественного доступа (ПМД).
Простейшие оценки влияния ПМД можно получить, отождествляя сторонние сигналы со случайными шумоподобными процессами. В любой реальной асинхронной CDMA системе должны быть предприняты меры по выравниванию интенсивностей всех пользовательских сигналов на входе приемника с целью устранения эффекта «близкий-далекий». Поэтому можно считать, что в результате эффективного контроля мощности интенсивности всех сигналов идентичны и равны 
. Тогда для 
независимых сторонних пользователей, общая спектральная плотность ПМД составит
.
Теперь отношение сигнал-(шум+помеха) по мощности 
, учитывающее как ПМД, так и тепловой шум, можно записать как
,
где q – обычное отношение сигнал–шум в отсутствии ПМД: 
. Тогда максимальное (предельное) отношение сигнал-помеха, отвечающее отсутствию теплового шума 
, будет
.
Последний результат дает возможность оценить максимальное число пользователей, которое может обслужить асинхронная CDMA система при заданном частотно-временном ресурсе . При передаче данных с использованием БФМ или ФМ-4 отношение сигнал-(шум+помеха), равное 7 дБ 
, обеспечивает вероятность ошибки на бит не хуже 
, что дает следующую оценку для потенциального числа пользователей
.
В то же время, система с FDMA способна обслужить пользователей в рамках того же полного частотно–временного ресурса 
, что примерно в 2,5 раза больше. Подобный результат может подтолкнуть к мысли о бесперспективности асинхронного варианта CDMA в сравнении c FDMA. Однако далее, мы убедимся, что в системах, базирующихся на повторном использовании частотного ресурса в пространственно удаленных зонах (например, сотовых системах), асинхронная версия CDMA значительно превосходит FDMA по максимальному числу обслуживаемых абонентов.
5.6. Асинхронное кодовое разделение в сотовых сетях
В рамках сотовой философии пространственное затухание радиоволн проявляет свое позитивное качество, открывая путь к многократному использованию одних и тех же физических каналов (например, частотных полос при FDMA или временных слотов при TDMA) разными передатчиками, если взаимное удаление последних достаточно для приемлемого снижения уровня сигнала каждого в зонах покрытия остальных. Повсеместно принято аппроксимировать индивидуальную ячейку сотовой сети правильным шестиугольником, так что рисунок сети напоминает медовые соты (см. рисунок), объясняя названия и самой сети, и ее ячеек.
Большая емкость системы, реализующей при сотовой топологии асинхронный вариант CDMA по сравнению с FDMA (как и TDMA), объясняется тем фактом, что в сетях с FDMA каждая ячейка может использовать только достаточно небольшую часть общей полосы . Действительно, пусть в пределах одной конкретной ячейки выделены 
частотных (физических) пользовательских каналов. Указанные частотные каналы не могут быть использованы в соседних ячейках.
В противном случае на приемник базовой станции (BS1) данной ячейки будут воздействовать помехи, создаваемые мобильной станцией (MS3), которая обслуживается соседней базовой станцией (BS2) (см. ранее приведенный рисунок). Другими словами, наборы частот всех сот вокруг любой конкретной ячейки должны отличаться от множества частот, используемого центральной сотой. Таким образом, возникает конфигурация, называемая кластером, в пределах которой повторное использование множества частот запрещено. Регулярная шестиугольная структура сот, в которой распределение частот между ячейками удовлетворяет вышеприведенному условию, может существовать только при некоторых определенных размерах кластера. Наиболее типичным является 7-сотовый кластер, фрагмент топологии которого представлен на рисунке предыдущего слайда. Следовательно, лишь седьмая часть общего числа физических каналов (частот), допускаемых полным частотно–временным ресурсом 
системы, может использоваться отдельной ячейкой. Отсюда следует оценка максимального числа пользователей на одну соту в системах с FDMA или TDMA в предположении асинхронной работы, характерной для канала вверх:
.
Рассмотрим теперь канал «вверх» CDMA сотовой системы, в которой все ячейки используют одну и ту же частотную полосу без дробления спектрального ресурса между ними. Другими словами, сигнатуры всех сот, включая соседние, занимают одну и ту же спектральную полосу и кластер состоит из единственной ячейки. Ясно, что приемник БС некоторой конкретной соты будет принимать помехи множественного доступа не только от абонентов своей соты, но и от МС, обслуживаемых сторонними базовыми станциями.
В любой асинхронной CDMA системе для нейтрализации эффекта «близкий-далекий», характеризующего возможность подавления или маскирования (вследствие ограниченности динамического диапазона приемника) сильным сигналом пользователя, расположенного вблизи от BS, слабого сигнала от удаленной MS, жизненно важна точная регулировка мощности. Будем считать, что в пределах ячейки, обслуживаемой BS1 (см. предыдущий рисунок), мощность сигнала, принимаемого базовой станцией от любой мобильной, поддерживается постоянной и равной . Тогда приемник, настроенный на сигнал мобильной станции MS1, будет испытывать мешающее воздействие как от внутренних пользователей (т.е. станции MS2), так и внешних (обслуживаемых другой базовой станцией), т.е. MS3. Если обозначить число пользователей, приходящееся на одну ячейку, снова через 
, то помехи множественного доступа, обусловленные внутренними пользователями, будут характеризоваться спектральной плотностью мощности (поскольку широкополосная природа помех будет восприниматься как аддитивный шум), равной
.
Оценим теперь мощность 
«внешнего» сигнала на входе приемника BS1. Используя обозначения, приведенные на предшествующем рисунке, и полагая экспоненту ослабления мощности от расстояния в модели Окамуры–Хаты, равной 
, получаем
,
где учтен тот факт, что мощность сигнала MS3 на входе приемника BS2 поддерживается равной .
Полагая, что любое положение MS3 внутри соты покрытия BS2 равновероятно, и аппроксимируя шестиугольную ячейку кругом радиуса , можно найти значение 
, усредненное по всем возможным позициям MS3:
.
Вычисление данного интеграла приводит к следующему результату
.
Как видно, среднее значение мощности принятого сигнала от MS соседней соты, более чем в 20 раз меньше мощности «собственной» для данной BS мобильной станции. Можно предположить, что помехи множественного доступа от удаленных ячеек будут во много раз меньше, чем от соседних. Поэтому, спектральная плотность мощности межсотовых помех 
может быть оценена только с учетом помех от первого слоя из шести ближайших ячеек:
,
так что полная (учитывающая как внешние, так и внутренние ПМД) спектральная плотность мощности помехи будет
.
Этот результат допускает дальнейшую ревизию для «чистой» телефонии, поскольку каждый из участников диалога делает паузы, тратя какое-то время на прослушивание и обдумывание. Очевидно, что на время таких пауз передатчик молчащей стороны можно выключить или, по крайней мере, значительно снизить его мощность, что стандартах с CDMA способствует снижению уровня ПМД и, следовательно, потенциальному увеличению числа пользователей, обслуживаемых одной сотой.
За типичное значение фактора речевой активности, т.е. доли общей продолжительности разговора, в течение которого участник соединения активен, часто принимается 
. Соответственно, взвешивание средней спектральной мощности ПМД этим коэффициентом трансформирует полученное выше соотношение следующим образом
.
В результате «предельное» отношение сигнал-помеха становится равным
.
При прежнем условном отношении сигнал-(помеха+шум), равном 7 дБ, максимальное число пользователей, приходящееся на одну ячейку, будет
.
Оценка, даваемая этим неравенством, примерно шестикратно превышает емкость соты c FDMA при одном и том же частотно-временном ресурсе. Таким образом, потенциально асинхронный вариант CDMA заметно выигрывает в абонентской емкости соты в сравнении с более традиционными ортогональными схемами множественного доступа на основе FDMA и TDMA.
Интересной чертой систем с асинхронным кодовым разделением, иногда причисляемой к достоинствам, является «мягкий» характер отказов в обслуживании. Во всех реальных многопользовательских системах физические каналы (поднесущие частоты в FDMA, временные слоты в TDMA или сигнатуры в CDMA) не закрепляются за потребителями раз и навсегда. Вместо этого сеть сама управляет совокупностью каналов трафика и выделяет пользователю один из них только тогда, когда от него поступит заявка на соединение. В системах с FDMA или TDMA число физических каналов жестко фиксировано и время от времени может произойти отказ в обслуживании (жесткая блокировка), т.е. игнорирование сетью пользовательского запроса по причине занятости всех каналов трафика.
Иные сценарии характерны для сетей CDMA. Во-первых, если число уже активных абонентов равно условно-номинальному, вновь поступившую заявку, тем не менее, можно удовлетворить, присвоив входящему пользователю сигнатуру, отличную от уже занятых. Это приведет к некоторому (обычно, небольшому) уменьшению отношения сигнал-(шум+помеха), и, следовательно, качества обслуживания всех активных пользователей. Таким образом, вместо прямого отказа происходит «мягкая блокировка».
Материалы главы дают основание резюмировать, что широкополосная философия является гибким и эффективным средством в реализации множественного доступа, а сотовые сети связи дают весьма благодатную почву для наиболее убедительного проявления преимуществ CDMA.
6. Широкополосные дискретные сигналы
6.1. Широкополосная модуляция
К настоящему моменту стало понятно, что для превращения сигнала в широкополосный необходимо соответствующее управление его комплексной огибающей , т.е. модуляцией мгновенной амплитуды и мгновенной начальной фазы . Как уже отмечалось ранее, «чистая» амплитудная модуляция не является эффективным инструментом обеспечения широкополосности, поскольку она расширяет спектр лишь ценой концентрации энергии сигнала в коротких временных интервалах, что неизбежно приводит к увеличению пиковой мощности.
В зависимости от характера используемой модуляции все широкополосные сигналы можно разделить на непрерывные и дискретные. Для первых закон модуляции, т.е. комплексная огибающая , – непрерывная функция времени, тогда как модулируемые параметры вторых (амплитуда, частота, начальная фаза) – кусочно-постоянны, скачкообразно изменяя свои значения только в дискретные моменты времени. Пример непрерывного широкополосного сигнала будет кратко рассмотрен в начале следующей темы, однако в дальнейшем основное внимание будет фокусироваться на дискретных сигналах в силу их доминирующего распространения в большинстве современных и перспективных коммерческих широкополосных систем.
6.2. Обобщенная модель и категории дискретных сигналов
Версия дискретного сигнала, которая наиболее типична для современных широкополосных систем, может быть описана следующим образом: дискретный сигнал есть последовательность элементарных символов (импульсов) фиксированной формы, повторяющихся с некоторым фиксированным временным интервалом. Упомянутый элементарный импульс, именуемый далее чипом, исчерпывающе характеризуется комплексной огибающей 
, задающей его форму и закон внутренней угловой модуляции, если последняя присутствует. Традиционно (но не обязательно), временной интервал 
между последовательными чипами равен или больше длительности чипа 
. Модуляция всего сигнала сводится к манипулированию амплитудами, фазами и, возможно, частотами отдельных чипов. В соответствии с этим словесным описанием формальное представление комплексной огибающей дискретного сигнала дается равенством
,
где в дополнение к уже расшифрованным обозначениям 
и 
– соответственно комплексная амплитуда и частота (измеряемая сдвигом относительно фиксированной центральной частоты) -го чипа. Очевидно, что последовательность 
определяет действительные амплитуды чипов, т.е. их амплитудную модуляцию. Аналогично, последовательности 
и 
задают законы модуляции чипов по фазе и частоте. Рисунок слева иллюстрирует смысл некоторых введенных обозначений.
В рамках описанной общей модели можно выделить несколько категорий дискретных сигналов в зависимости от конкретных деталей модуляции чипов.
1. Если манипулируются лишь комплексные амплитуды чипов, а их частоты одинаковы 
, сигнал называется амплитудно-фазоманипулированным (АФМ). Традиционное название последовательности комплексных амплитуд чипов 
– кодовая последовательность или просто код.
2. Если манипуляции подлежат только фазы чипов АФМ сигнала, а их амплитуды неизменны 
, АФМ сигнал именуют фазоманипулированным (ФМ). ФМ сигналы характерны для так называемых широкополосных систем с прямым расширением спектра (см. раздел 11.1).
3. Среди ФМ сигналов возможна дальнейшая классификация в зависимости от модуляционного алфавита. В случае бинарных комплексных амплитуд с алфавитом 
(или эквивалентно
сигнал является бинарным ФМ (БФМ). Квадратурный ФМ алфавит 
, (или эквивалентно 
) порождает сигнал с квадратурной ФМ (КФМ или ФМ-4). Если же ФМ алфавит принадлежит множеству 
(или эквивалентно 
), то получаем –фазные (ФМ-М) сигналы.
4. Если управлению подвергаются только частоты чипов, а комплексные амплитуды неизменны, сигнал является частотно-манипулированным (ЧМ). Кодовая последовательность подобного сигнала представляет собой последовательность частот 
. Сигналы этого типа используются, в частности, в системах с прыгающей частотой (см. раздел 11.1).
Возможна и классификация дискретных сигналов, учитывающая его конечность или периодичность:
1. Импульсный или апериодический сигнал содержит конечное число N чипов, т.е. является пакетом из манипулированных импульсов:
,
что следует из обобщенной модели дискретного сигнала в предположении неравенства нулю действительных амплитуд 
только для 
, тогда как при 
и 
. Длительность апериодического сигнала 
.
2. Периодический сигнал характеризуется повторяющимся законом модуляции с периодом в чипов: 
, 
. Период последнего в единицах реального времени 
, и любой такой сигнал получается, очевидно, повторением с периодом 
апериодического, являющегося, в свою очередь, однопериодным сегментом периодического сигнала.
В обоих случаях параметр будем называть длиной дискретного сигнала (кода).
6.3. Корреляционные функции АФМ сигналов
Корреляционные функции, характеризующие схожесть сдвинутых во времени копий сигналов, критически важны в задачах измерения времени и разрешения. Искусство дизайна широкополосных систем, как это демонстрируется далее, во многих аспектах подразумевает умение находить сигналы с должными корреляционными свойствами. Цель настоящего раздела состоит в получении обобщающего выражения для корреляционных функций АФМ сигналов.
Вне зависимости от того является ли дискретный сигнал финитным или периодическим для вычисления его автокорреляционной функции (АКФ) достаточен интервал 
. Подстановка обобщенной модели АФМ дискретного сигнала в выражение, определяющее АКФ, приводит к следующему соотношению
,
в котором
АКФ одного чипа. Замена индекса суммирования на 
представляет последний результат как
,
где
– АКФ кодовой последовательности 
, характеризующая схожесть последней со своей копией, сдвинутой на позиций.
Сравнение выражения для АКФ АФМ сигнала с его моделью позволяет заключить, что АКФ АФМ сигнала может сама интерпретироваться как АФМ сигнал! При этом чипом последнего служит АКФ 
исходного чипа, тогда как кодовой последовательностью оказывается АКФ 
кодовой последовательности 
исходного сигнала. Следовательно, при заданном чипе 
АКФ АФМ сигнала полностью определяется АКФ кодовой последовательности (в дальнейшем АКФ кода), и синтез АФМ сигналов с хорошими корреляционными свойствами состоит в отыскании последовательностей с хорошими АКФ.
Для построения многопользовательских CDMA систем требуются семейства дискретных сигналов с приемлемыми взаимными корреляционными свойствами. Если синхронизация всех сигнатур (асинхронный вариант CDMA) невозможна, то неизбежно возникают помехи множественного доступа (ПМД), уровень которых определяется взаимной корреляционной функцией (ВКФ) между 
–й и –й сигнатурами:
свидетельствующей о подобий –й и –й сигнатур, сдвинутых во времени на . Повторяя проделанные при определении АКФ АФМ сигналов выкладки, снова приходим к заключению, что при заданном чипе свойства ВКФ АФМ сигналов полностью определяются ВКФ кодов 
–й и –й сигнатур (при 
ВКФ становится АКФ):
,
характеризующей степень сходства k-й последовательности со сдвинутой на позиций репликой l-го кода.
6.4. Вычисление корреляционных функций кодовых последовательностей
Рассмотрим кодовую последовательность 
. Если она используется для формирования импульсного сигнала, то в общей модели АФМ сигнала 
для всех отрицательных и 
, так что апериодическая или импульсная АКФ 
кода 
вычисляется как
.
Очевидно, что апериодическая АКФ представляет собой скалярное произведение вектора 
с собственной копией, нециклически сдвинутой на позиций. Последнее означает, что при сдвиге вектора 
вправо 
или влево 
сумма в учитывает только перекрывающиеся компоненты и его сдвинутой копии, а все остальные полагаются равными нулю. Например, для вычисления 
первоначально следует записать одну под другой исходную последовательность и ее комплексно сопряженную копию, сдвинутую вправо на одну позицию, а затем выполнить поэлементное перемножение и просуммировать полученные произведения:
.
Обратимся теперь к периодическому сигналу, т.е. положим 
. Тогда в выражении для АКФ сумма всегда содержит слагаемых, поскольку 
и т.д., периодическая АКФ 
вычисляется как
,
причем индекс суммирования 
вычисляется по 
.
В этом случае скалярное произведение вычисляется для исходной кодовой последовательности и ее циклически сдвинутой копии, где при 
крайних левых «пустых» позиций заполняются символами, «вытолкнутыми» вправо. Например, схема вычисления 
выглядит следующим образом:
.
Из вышеприведенных определений непосредственно вытекает связь между периодической и апериодической АКФ
Отметим, что нормированные версии апериодической и периодической АКФ определяются как
,
где
.
Пример 6.4.1. Приведенная слева таблица иллюстрирует вычисление апериодической и периодической 
АКФ бинарной последовательности длины 
. Здесь, как это обычно принято, символы бинарного алфавита +1 и –1 представлены знаками + и – соответственно. Два последних столбца таблицы содержат значения ненормированной АКФ, а затененные клетки отвечают символам, не участвующим в вычислении апериодической АКФ. Нормированные АКФ получаются в результате деления всех полученных значений АКФ на 
. Непосредственная проверка подтверждает связь между апериодической и периодической АКФ: 
, 
, 
, 
.
На рисунке построены ненормированные АКФ БФМ видеосигнала с прямоугольными чипами длительности 
, модулированными рассматриваемой кодовой последовательностью.
Говоря о взаимной корреляции двух последовательностей одной длины, можно вновь различать апериодическую 
и периодическую 
ВКФ, определяемые как
и 
.
Для ВКФ остается в силе и соотношение устанавливающее связь между периодической и апериодической версиями:
.
6.5. Корреляционные функции ЧМ сигналов
Решим теперь ту же задачу, но в приложении к ЧМ сигналам. Комплексную огибающую ЧМ сигнала можно записать как
.
Тогда, интересуясь только значениями АКФ ЧМ сигналов при задержках, кратных длительности чипа: 
, где – целое, после аналогично выполненных выше преобразований получаем
.
Типичным для ЧМ является использование равномерного частотного алфавита, в котором 
, где шаг по частоте не меньше полосы, занимаемой чипом. Таким образом, спектры двух чипов с частотами и 
, не перекрываются, а сами чипы ортогональны независимо от их временного рассогласования всякий раз, как 
. Учитывая последнее, интеграл отличен от нуля только для тех значений , при которых частоты и 
совпадают, а значение АКФ аккумулирует число совпадений частот в последовательности 
и его копии 
, сдвинутой на чипов.
Пример 6.5.1. Пусть ЧМ сигнал описывается последовательностью частот вида 
, где все значения определены в числе 
. Тогда для вычисления ее апериодической и периодической АКФ следует записать одну по другой данную последовательность и все ее сдвинутые копии, а затем осуществить подсчет числа совпадений между исходной последовательностью и ее копии, сдвинутой на m позиций.
6.6. Выигрыш от обработки
В заключении главы осуществим оценку выигрыша от обработки, присущего дискретным сигналам. Для АФМ сигналов полоса оценивается величиной 
, а длительность сигнала составляет 
, так что выигрыш от обработки составит 
, т.е. в точности совпадает с длиной кодовой последовательности. Для ЧМ сигналов с различными номиналами разнос между соседними частотами, как правило, выбирается порядка 
с тем, чтобы минимизировать общую полосу, занимаемую сигналом 
, при длительности равной . В результате выигрыш от обработки составляет 
, т.е. равен произведению длины (в числе чипов последовательности) на число различных частот .
7. Широкополосные сигналы в задачах временного измерения, синхронизации и разрешения
7.1. Требования к АКФ: дополнительный экскурс
Вернемся к задачам измерения запаздывания (синхронизации) и разрешения по времени. Принципиальное условие, которое должно выполняться в обеих этих задачах, состоит в использовании сигналов, длительность T которых значительно превосходит время корреляции . Большая длительность обеспечивает возможность вложения в сигнал энергии, диктуемой необходимым отношением сигнал-шум, без увеличения пиковой мощности, как правило, жестко лимитированной сверху. В свою очередь, малое время корреляции позволяет осуществить временную компрессию сигнала в согласованном фильтре, а значит, позволяет осуществить измерение запаздывания с высокой точностью и качественное разрешение по времени сигналов, перекрывающихся на входе фильтра. Поскольку 
, то достижение «остроты» АКФ сигнала при возможно лишь при большом значении выигрыша от обработки , т.е. привлечении широкополосной технологии.
Уточним, какого рода АКФ можно считать «острой» или «хорошей» в контексте рассматриваемых задач приема. Нетрудно показать, что АКФ любого реализуемого сигнала не может в точности равняться нулю вне отрезка 
, если время корреляции меньше длительности сигнала . Таким образом, наряду с так называемым основным лепестком или центральным пиком, сосредоточенным внутри отрезка , АКФ будет иметь и боковые лепестки, находящиеся за его пределами (см. рисунок).
Присутствие боковых лепестков имеет преимущественно вредные последствия как при измерении запаздывания, так и при разрешении по времени. Действительно, оптимальная (МП) оценка запаздывания сигнала предполагает фиксацию временного положения максимума огибающей 
на выходе согласованного фильтра, а огибающая АКФ по форме повторяет отклик цепочки согласованный фильтр–детектор на незашумленный сигнал. В реальной ситуации зашумленных наблюдений всегда имеется вероятность возникновения такого ложного максимума вне «тела» основного пика АКФ, который может превзойти истинный, а значит, привести к аномальной ошибке измерения.
При временном разрешении суперпозиции двух сдвинутых во времени копий радиосигнала с разными амплитудами основной лепесток более слабой копии может оказаться полностью спрятанным под боковым лепестком сильной (см. рисунок). Сценарий такого рода дает характерный пример неразрешенных сигналов, хотя основной лепесток АКФ значительно уже длительности самого сигнала.
Суммируя сказанное, можно в следующей, наиболее общей редакции сформулировать требования к широкополосным сигналам со стороны задач измерения запаздывания и временнóго разрешения: АКФ сигнала должна иметь достаточно острый центральный пик и по возможности низкий уровень боковых лепестков. В следующих разделах главы обсуждаются пути и инструменты достижения этой фундаментальной цели.
7.2. Сигналы с непрерывной частотной модуляцией
Исторически одним из первых найденных сигналов, для которых осуществимо временнóе сжатие согласованным фильтром, оказался импульсный сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ). Как следует из названия, мгновенная частота такого сигнала линейно изменяется в течение его длительности. Рассмотрим радиосигнал, мгновенная частота 
которого возрастает со временем по закону
,
где 
– девиация, т.е. полный диапазон изменения частоты, а – как обычно, центральная частота. Полная мгновенная фаза 
сигнала является интегралом от мгновенной частоты и, следовательно, фаза ЛЧМ импульса описывается квадратичным законом
При прямоугольной действительной огибающей комплексная огибающая ЛЧМ сигнала имеет вид
Подставляя последнее соотношение в выражение для АКФ, ее можно найти формально без особых затруднений. Однако менее формальная и весьма прозрачная физически логика позволяет прийти к нужному итогу быстрее.
Из теории частотной модуляции хорошо известно, что когда индекс модуляции 
достаточно велик (
), спектр частотно-модулированного колебания содержит компоненты всех мгновенных частот, причем его форма приближается к действительной огибающей сигнала. Таким образом, в нашем случае спектр располагается в диапазоне 
и имеет форму, близкую к прямоугольной (см. рисунок ниже). Теперь АКФ может быть найдена обратным преобразованием Фурье. Так как энергетический спектр сигнала прямоуголен, его обратное преобразование Фурье оказывается функцией вида 
, так что нормированная комплексная огибающая АКФ ЛЧМ сигнала представима в виде
,
что иллюстрируется рисунок.
Как следует из рисунка, полная (т.е. измеренная между двумя ближайшими к началу координат нулями) ширина основного лепестка АКФ составляет 
. Условно можно принять ширину основного лепестка на некотором ненулевом уровне равной 
, придя к выводу, что согласованный фильтр осуществляет временную компрессию ЛЧМ сигнала в 
раз.
Пример 7.2.1. ЛЧМ импульс с девиацией частоты 
МГц и длительности 
мкс характеризуется выигрышем от обработки 
и временной компрессией согласованным фильтром примерно в 100 раз.
Вместе с тем ЛЧМ сигнал обладает и рядом серьезных недостатков:
1. Серьезным недостатком ЛЧМ сигнала являются заметные боковые лепестки АКФ. Ближайший из них к началу координат имеет уровень по отношению к основному 
(–13,5 дБ), который не зависит от выигрыша от обработки , т.е. не может быть уменьшен увеличением девиации 
. Существуют эффективные методы снижения боковых лепестков с помощью сглаживания огибающей сигнала либо применения специальных взвешивающих окон, иначе говоря, рассогласованной обработки в приемнике. При этом выигрыш в уровне боковых лепестков достигается в обмен на расширение основного пика и/или потери в отношении сигнал-шум.
2. Другой изъян ЛЧМ сигнала – гребнеобразная форма ФН 
. Для одновременного измерения запаздывания и частоты так же, как и для частотно-временного разрешения, наилучшей является игольчатая функция неопределенности, имеющая единственный центральный пик в начале координат и резко спадающая во всех направлениях частотно-временной плоскости.
Как следует из рисунка, представляющего пример диаграммы неопределенности ЛЧМ сигнала, последний не может служить эффективным инструментом в решении упомянутых задач. Когда пара значений 
попадает в эллипс диаграммы направленности, точность оценивания названных параметров резко падает, поскольку копии сигнала со всеми подобными парами имеют высокую корреляцию, т.е. трудноразличимы. То же самое справедливо и в части разрешения подобных расстроенных по времени и частоте копий: высокая степень сходства делает задачу их разделения весьма проблематичной.
Непрерывные ЛЧМ сигналы и их модификации до настоящего времени весьма распространены в разнообразных широкополосных системах радио- и гидролокации. В современных же коммерческих телекоммуникациях или общедоступных системах дальней навигации они не находят широкого применения, отдавая приоритетные позиции дискретным сигналам.
7.3. Критерии хорошей апериодической АКФ АФМ сигналов
Вспомним, что АКФ 
АФМ сигнала сама оказывается АФМ сигналом, чипом которого служит АКФ исходного чипа, а кодовой последовательностью – АКФ исходного кода 
. Подобная конструкция явно свидетельствует, что при заданном чипе профиль полной АКФ полностью определяется АКФ кода. В частности, если длительность чипа не превышает периода следования чипов 
, «высота» 
любого бокового лепестка в точке просто повторяет значение АКФ кода 
при сдвиге на позиций (см. рисунок слева). Следовательно, минимизация уровня боковых лепестков АКФ является наивысшим приоритетом при конструировании сигналов всякий раз, когда в задачи системы входят измерение запаздывания или временное разрешение. Разумеется, в идеале хотелось бы, чтобы все боковые лепестки имели нулевой уровень, однако это абсолютно невозможно для апериодических (импульсных) АФМ сигналов.
Действительно, для АФМ сигнала конечной длины 
и 
, тогда крайний правый боковой лепесток нормированной апериодической АКФ кода будет
Этот результат напрямую оправдывает ориентацию на минимаксный критерий синтеза сигналов, предписывающий стремиться к минимизации уровня максимального из боковых лепестков АКФ апериодического кода. Формально задача формулируется как
.
В свете данного критерия предпочтительны кодовые последовательности с наименьшим максимальным боковым лепестком, однако подобное требование всегда сопровождается ограничением на метод модуляции или, более конкретно, на алфавит кода, которому принадлежат символы последовательности. Тогда требования к наилучшему сигналу можно оформить как следующую оптимизационную задачу: на множестве всех возможных последовательностей длины N с символами из заранее оговоренного алфавита найти последовательность (или последовательности) с минимальной величиной максимального бокового лепестка апериодической АКФ.
7.4. Оптимизация апериодических ФМ сигналов
Сформулированная выше оптимизационная задача, подобно многим задачам дискретной оптимизации, не имеет какого-либо общего аналитического решения, и типичным подходом к ней является полный перебор. Ограничимся классом ФМ сигналов, нередко признаваемых наиболее привлекательными.
Для любого ФМ сигнала 
, так что 
, и крайний правый боковой лепесток апериодической АКФ 
. Таким образом, для максимального бокового лепестка АКФ апериодического ФМ сигнала справедлива нижняя граница
.
ФМ сигналы, достигающие данной границы, безусловно, оптимальны в свете минимаксного критерия. В литературе они обычно фигурируют под названием кодов Баркера по имени одного из первых их исследователей. Фактически Баркер описал оптимальные бинарные коды, лежащие на данной границе. Традиционно бинарные последовательности символов считаются особо привлекательными, поскольку их алфавит в наибольшей степени согласуется с цифровой элементной базой, минимизируя сложность формирования и обработки. В следующей таблице приведены все бинарные коды Баркера. АКФ дискретного сигнала, манипулированного кодом Баркера длины , представлена на рисунке ниже.
Проиллюстрируем вкратце процедуру согласованной фильтрации сигнала Баркера, прибегнув к конкретному примеру.
Пример 7.4.1. На рисунке показана структура согласованного фильтра для сигнала Баркера длины 
. Первый ее блок – линия задержки с отводами, шаг которых равен периоду следования чипов . Сигналы с отводов подаются на сумматор с весами, последовательность которых зеркальна по отношению к коду. Вторым блоком схемы служит фильтр, согласованный с одиночным чипом (СФОИ). На рисунке справа представлены осциллограммы, пронумерованные соответственно точкам схемы и воспроизводящие подробности согласованной фильтрации видеосигнала Баркера с прямоугольными чипами. Когда последний чип сигнала приходит на вход фильтра, все предшествующие чипы появляются на входах сумматора в положительной полярности и суммируются в фазе, генерируя главный пик АКФ. До и после этого момента на выходе фильтра наблюдаются боковые лепестки
К сожалению, бинарные коды Баркера существуют только для длин, перечисленных в вышеприведенной таблице. Еще в начале 60-х годов Турин и Сторер доказали их несуществование для любых иных нечетных длин и для четных, по крайней мере, в диапазоне 
. Согласно последним публикациям верхняя граница отодвинута до 1 898 884, и вероятность существования бинарных кодов Баркера четной длины вне этого диапазона крайне мала. Значительные усилия неоднократно предпринимались по поиску небинарных ФМ кодов Баркера с эквидистантным фазовым алфавитом (многофазные или М-ичные ФМ коды), однако достигнутые на этом пути результаты пока далеки от обнадеживающих. Оказалось, что даже весьма скромный прирост длины можно получить только в обмен на значительное увеличение объема фазового алфавита. Например, небинарный код Баркера длины 
требует, по меньшей мере, 
эквидистантных значений фазы. Большой размер алфавита неизбежно сопряжен с серьезными усложнениями аппаратной реализации, а также резким ужесточением требований к допустимым реализационным погрешностям, дрейфу параметров и т.п.
Существование кодов Баркера только малой длины подталкивает к поиску приемлемых бинарных последовательностей большей длины с уровнем боковых лепестков выше границы для 
. Поскольку ненормированная АКФ любой бинарной последовательности есть сумма слагаемых , возможные значения для «небаркеровких» кодов принадлежат множеству 
. Гарантию нахождения глобально оптимального (т.е. имеющего минимально возможное значение 
при заданном ) бинарного кода может обеспечить лишь полный перебор всех возможных кодов. К сожалению, вычислительный ресурс, необходимый для подобной оптимизации, экспоненциально возрастает с увеличением длины и выходит за грань реальности при длинах больше 50.
По этой причине популярной становится стратегия поиска бинарных кодов с приемлемо малым – без гарантии глобальной оптимальности уровнем апериодического бокового лепестка . Общая идея алгоритма решения такой задачи сводится к предварительному отбору некоторого достаточно узкого подмножества последовательностей, в котором подозревается наличие кодов с подходящими корреляционными свойствами, и последующему полному перебору, минимизирующему только в пределах отобранного подмножества. Одним из примеров подобной стратегии является поход, основанный на соотношении, которое связывает апериодическую АКФ с периодической:
,
где через 
обозначен максимальный боковой лепесток периодической АКФ кодовой последовательности. Откуда непосредственно следует, что
.
Последнее неравенство позволяет сделать весьма примечательный вывод: необходимым условием «хорошей» апериодической АКФ является хорошая (имеющая малый максимальный боковой лепесток ) периодическая АКФ. Иначе говоря, последовательности с хорошей апериодической АКФ могут быть найдены только среди последовательностей с хорошей периодической АКФ. Как будет показано позднее, существуют достаточно продуктивные аналитические инструменты построения последовательностей с хорошими периодическими АКФ. Эта возможность закрепляет за периодической АКФ приоритетную роль в синтезе последовательностей с приемлемыми корреляционными свойствами и оправдывает акцент следующего раздела на изучении свойств периодической АКФ.
8. Бинарные последовательности с оптимальными периодическими автокорреляционными свойствами
8.1. Идеальная периодическая АКФ. Минимаксные бинарные последовательности
Мотивация интереса к последовательностям с хорошей периодической АКФ не ограничивается лишь их привлекательностью как исходного материала для построения хороших апериодических последовательностей. Для многих приложений характерно использование дискретных сигналов в периодическом варианте (непрерывная локация, навигация, пилотные каналы мобильной связи и т.п.), что предопределяет критическое влияние свойств периодической АКФ (ПАКФ) на качество функционирования системы. Отметим также, что не существует никаких принципиальных ограничений к достижению нулевого уровня боковых лепестков ПАКФ ФМ сигналов, как это имело место в апериодической версии, поскольку в выражении
сумма при любом значении содержит слагаемых, которые потенциально могут скомпенсировать друг друга, обеспечивая нулевой результат. Тогда естественно стремление к отысканию ФМ кодовых последовательностей с идеальной ПАКФ, все боковые лепестки которой равны нулю
.
Дискретный видеосигнал с прямоугольными чипами, манипулированными кодом с подобными свойствами, также будет обладать идеальной ПАКФ: основные лепестки, повторяющиеся с периодом , и свободное от любых боковых лепестков пространство между ними (см. рисунок).
Аналогичным будет и отклик фильтра, согласованного с однопериодным сегментом сигнала. Следовательно, при идеальности ПАКФ имеет место идеальная (без боковых лепестков) временная компрессия сигнала согласованным фильтром. Иллюстрацией сказанному для радиосигнала служат диаграммы на рисунке.
Как и ранее, наиболее привлекательны в реализационном плане бинарные 
последовательности с идеальной ПАКФ. Простое необходимое условие существования бинарных кодов с идеальной ПАКФ может быть получено в результате суммирования значений ненормированной ПАКФ при всех возможных сдвигах :
где знак комплексного сопряжения опущен за ненадобностью, поскольку все 
, а
– постоянная составляющая (разность между числом «+1» и «–1» на одном периоде) кодовой последовательности . Поскольку последняя всегда принимает лишь целочисленные значения, а ПАКФ, как сумма «», может принять нулевое значение только при четном числе слагаемых (длине кода) , то необходимое условие идеальности периодической АКФ для бинарной последовательности имеет вид
Все подобные длины были проанализированы Турином в начале 60-х, который показал, что в диапазоне 
единственным бинарным кодом с идеальной ПАКФ является тривиальный код длины 4 вида:{+1 +1 +1 –1}. Согласно более поздним результатам несуществование подобных последовательностей установлено вплоть до длин 
. Возможность их существования за пределами названного диапазона представляется крайне сомнительной.
Очевидно, что в отсутствие бинарных кодов с идеальной 
периодической АКФ следующими по привлекательности являются последовательности, для которых 
принимает значения при 
, т.е. 
. Рассмотрим разность
,
в которой все ненулевые слагаемые равны двум, а их число всегда четно. Следовательно, указанная разность всегда кратна четырем
,
где t – целое.
Очевидно, можно надеяться на отыскание бинарных кодов со всеми положительными боковыми лепестками 
только при длинах вида 
и со всеми отрицательными 
при длинах 
, где 
– целое. Поскольку данные последовательности обладают теоретически минимальным уровнем боковых лепестков периодической АКФ 
для бинарных кодов нечетной длины, то их называют минимаксными.
Из двух возможных вариантов второй оказывается наиболее продуктивным. В настоящее время известно пять мощных регулярных правил генерирования минимаксных последовательностей с боковыми лепестками ПАКФ равными 
, два наиболее популярных из которых будут рассмотрены в дальнейшем.
8.2. Начальные сведения о конечных полях и линейных последовательностях
Для объяснения вышеупомянутых конструкций минимаксных бинарных последовательностей необходимо некоторое начальное представления о конечных полях. Назовем конечным полем (полем Галуа) конечное множество элементов, на котором определены две операции, именуемые (по аналогии с обычной арифметикой) сложением и умножением и обозначаемые привычными символами «+» и «∙». В любом поле обязательно присутствуют нулевой «0» и единичный «1» элементы, которые оставляют любой элемент поля неизменным в операциях сложения и умножения соответственно. Таблицы сложения и умножения в поле строятся таким образом, чтобы указанные операции были коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и обратимы. Последнее означает, что определены также операции вычитания и деления на ненулевой элемент. В частности, у каждого элемента имеется противоположный по сложению, а для любого ненулевого существует обратный по умножению элемент. Очевидно, что поле представляет собой множество, в пределах которого операции с элементами подобны операциям с действительными числами в обычной арифметике.
Простейшим конечным полем является поле порядка 2 (число элементов поля), обозначаемое как GF(2), элементы которого «0» и «1» подчиняются правилам арифметики по модулю 2 (см. таблицу слева).
Введем в рассмотрение последовательность 
с элементами (символами) 0 и 1 из конечного поля 
, подчиняющуюся линейной рекурсии:
где коэффициенты 
– фиксированные константы, принадлежащие . Элементы линейной последовательности вычисляются один за другим по правилам сложения и умножения в поле , причем каждый последующий определяется предшествующими, так что, задав начальных элементов 
, можно сгенерировать всю последовательность. Такая последовательность называется линейной (рекуррентной) последовательностью над полем памяти .
Любая линейная рекуррентная последовательность (ЛРП) может быть сформирована с помощью регистра сдвига с линейной обратной связью (РСЛОС), структурная схема которого представлена на рисунке справа. Регистр состоит из двоичных ячеек памяти (разрядов, триггеров), обозначенных квадратами, каждая из которых имеет 2 возможных состояния и хранит тот или иной элемент в течение тактового интервала. Схема тактовой синхронизации (на рисунке не показана) управляет работой регистра таким образом, что после каждого тактового импульса состояние любого разряда передается следующему слева направо. Схема обратной связи содержит умножители элементов (состояний), хранящихся в разрядах, на константы 
и сумматоров. Обе арифметические операции выполняются, разумеется, по правилам поля .
Предположим, что начальные состояния (т.е. начальные символы последовательности) 
записаны в разряды регистра слева направо. Тогда состояние выхода петли обратной связи определится равенством
и после подачи тактового импульса содержимое ячеек регистра сдвига примет вид 
, генерируя состояние обратной связи
,
так что после подачи тактового импульса состояние обратной связи будет 
и т.д. Обобщая, можно видеть, что в каждом такте текущее содержимое регистра 
формирует состояние обратной связи 
, которое является следующим символов ЛРП и входным сигналов для первой ячейки регистра сдвига. Таким образом, полностью линейная рекуррентная последовательность может быть непосредственно считана с крайнего правого разряда, начиная с самого первого символа 
, или с любого другого разряда, но с определенным опережением во времени.
Поскольку число различных состояний регистра конечно (не более 
), то любая линейная рекуррентная последовательность оказывается периодической (по крайней мере, после некоторого переходного процесса). Если регистр окажется в нулевом состоянии (нули во всех разрядах), все последующие символы будут также нулевыми, т.е. генерируемая линейная последовательность окажется вырожденной, состоящей только из нулей. Понятно, что подобная последовательность практически бессмысленна, так что нулевое состояние регистра в процессе генерирования последовательности должно быть исключено. В итоге остается самое большее 
разрешенных состояний регистра, означая, что максимальный период (длина) линейной последовательности не может быть больше .
Линейные рекуррентные последовательности, имеющие максимально возможный период
,
играют особую роль в современных информационных технологиях и называются последовательностями максимальной длины или просто m-последовательностями. Будучи полностью детерминированными, они обладают многими свойствами, присущими случайным последовательностям типа последовательности исходов подбрасывания правильной монеты, поэтому m–последовательности служат примером псевдошумовой последовательности. Два следующих замечательных свойства являются ключевыми для понимания ценности –последовательностей в плане построения кодов с хорошей автокорреляцией.
1. Свойство уравновешенности. На одном периоде –последовательности число единиц 
всегда превышает число нулей ровно на единицу
.
2. Свойство сдвига и сложения. Поэлементное сложение (разумеется, по модулю 
) некоторой -последовательности и ее копии, циклически сдвинутой на позиций, дает нулевую последовательность, если взаимный сдвиг m кратен периоду N:
– целое,
либо некоторую новую сдвинутую (на l позиций) копию исходной -последовательности в противном случае:
.
8.3. Периодическая АКФ m–последовательностей
Причиной особого интереса к m–последовательностям служат их хорошие автокорреляционные свойства. Преобразуем –последовательность в бинарный код 
посредством отображения по следующему правилу
.
Полученная таким образом последовательность действительных бинарных символов также назовем бинарной -последовательности. Для устранения риска перепутывания можно при необходимости использовать дополнительную маркировку типа «бинарная 
последовательность» или «бинарная 
последовательность». Отличительной особенностью бинарных -последовательностей служит принадлежность их к числу минимаксных
.
Теперь становится очевидным, что дискретный видеосигнал, манипулированный подобного рода бинарным кодом, будет обладать периодической АКФ, представленной на рисунке слева: главные пики уровня , повторяющиеся с периодом 
и равномерный фон отрицательных боковых лепестков на уровне .
Для генерирования -последовательности с помощью регистра сдвига памяти необходимо и достаточно использовать в рекурсии (или РСЛОС) множители 
, являющиеся коэффициентами специального полинома степени n
,
называемого примитивным полиномом. Примитивные полиномы существуют для любого натурального , обеспечивая тем самым существование минимаксных бинарных кодов на основе – последовательности любого периода вида
Примитивные полиномы подробно табулированы в ряде руководств по современной алгебре и теории кодирования, а также в некоторых книгах по широкополосной связи.
Пример 8.3.1. Пусть 
. Из таблиц найдем примитивный полином третьей степени:
,
определяющий коэффициенты линейной рекурсии 
:
и структуру РСЛОС генератора на рисунке ниже.
При начальном состоянии регистра 
порождается m–последовательность 
периода 
.
Легко увидеть, что на одном периоде последовательности число единиц 
на единицу превосходит число нулей 
. Посимвольное сложение исходной последовательности 
с ее сдвинутой на одну позицию влево копией дает последовательность, которая является копией исходной, но с другим циклическим сдвигом. Иначе говоря, 
. И наконец, прямая проверка (достаточно проверить только при сдвигах 
) показывает, что периодическая АКФ бинарного кода 
принимает значения
Структура фильтра, согласованного с одним периодом сигнала, манипулированного полученным бинарным кодом, представлена на рисунке справа. Эпюры напряжений в характерных точках показаны на рисунке ниже. Можно видеть, что выходной отклик содержит главные пики треугольной формы, повторяющиеся с периодом , и равномерный фон отрицательных боковых лепестков, уровень которых в семь раз меньше уровня главных пиков.
Дискретные сигналы, основанные на бинарных -последовательностях чрезвычайно популярны в современных информационных системах, благодаря оптимальным периодическим корреляционным свойствам и простоте формирования и обработки. В то же время, множество длин, при которых данные последовательности существуют, достаточно разрежено. По этой причине целесообразно исследовать еще один интересный класс бинарных минимаксных последовательностей.
8.4. Дополнение о конечных полях
Расширим немного наши знания о конечных полях. Аналогично арифметике по модулю два можно использовать правила сложения и умножения по модулю числа 
, удерживая после обычных операций сложения и умножения целых чисел только остаток от деления результата на целое . Если является простым числом, то эти операции порождают конечное поле 
порядка (т.е. содержит элементов), называемое простым полем.
Пример 8.4.1. Взяв 
и составив таблицы сложения и умножения (см. таблицу справа), содержащие остатки от деления на 5, приходим к операциям, обладающим всеми характерными свойствами поля: эти операции удовлетворяют законам коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Кроме того, присутствует нулевой (не изменяющий результата сложения) и единичный (не изменяющий результата умножения) элементы. Данные операции являются обратимыми: любому элементу можно сопоставить обратный элемент по сложению 
, такой что 
, а для любого ненулевого элемента существует обратный элемент по умножению 
. В то же время не существует поля с арифметикой по модулю 4: элемент 
не имеет обратного по умножению элемента, поскольку обычное произведение любого целого на 2 дает четное число, остаток от деления которого на 4 также будет четным.
В любом поле автоматически присутствуют степени любого элемента с обычными правилами обращения с ними:
.
Однако в отличие от поля вещественных чисел, в конечном поле имеется конечное число различных степеней элемента , поскольку общее число элементов поля конечно. Специфический элемент 
поля , степени которого пробегают все ненулевые элементы поля называется примитивным. Следовательно, все степени примитивного элемента вида: 
различны и совпадают с некоторым ненулевым элементом поля. Можно доказать, что в любом конечном поле существует (не единственный) примитивный элемент.
Пример 8.4.1. (продолжение) Элемент 2 в поле 
является примитивным, поскольку его 
степеней 
, 
, 
, 
, 
, … различны и, как видно, исчерпывают все ненулевые элементы поля . С другой стороны, элемент 4 не является примитивным, т. к. 
, 
, 
и элементы 2 и 3 не являются некоторой степенью 4.
Поскольку любой ненулевой элемент поля есть некоторая степень примитивного элемента 
, то вполне естественно назвать показатель этой степени логарифмом элемента по основанию :
.
Двузначным характером (символом Лежандра) 
ненулевого элемента поля называется функция, принимающая значения 
и в зависимости от четности или нечетности логарифма элемента :
В дальнейшем понадобятся следующие свойства двузначного характера.
1. Характер единицы поля равен единице: 
.
2. Характер – мультипликативная функция, иными словами, характер произведения ненулевых элементов есть произведение их характеров: 
.
3. Свойство уравновешенности: сумма характеров всех ненулевых элементов поля равна нулю: 
.
4. Характер элемента, противоположного единице, т.е. 
принимает значения :
8.5. Последовательности Лежандра
Бинарные последовательности Лежандра формируются на основе двузначного характера. Возьмем простое и построим простое поле . Отождествим его элементы 
с номерами позиций символов периодической бинарной последовательности периода 
. Тогда для периодической версии последовательности Лежандра правило формирования определяется в виде
Используя свойства двузначного характера, достаточно просто доказать, что ПАКФ последовательности Лежандра длины 
для любого 
, т.е. в точности совпадает с ПАКФ m–последовательности
.
Следует отметить, что присвоение первому элементу последовательности значения –1 приведет к тому же конечному результату.
Пример 8.5.1. Длина 
принадлежит множеству вида 
. В поле 
элемент 
является примитивным, поскольку возведение его в степень 0, 1, …, 5 генерирует все различные ненулевые элементы : 
. Как прямо видно из этого ряда, логарифмы элементов 1, 2, и 4 четны, тогда как элементов 3, 5 и 6 – нечетны. Следовательно, 
, и 
. Расстановка символов +1 на позициях 
и –1 на позициях 
дает последовательность Лежандра:
.
Вычисления, поясняемые таблицей слева, подтверждают, что все боковые лепестки ПАКФ данной последовательности, равны –1.
Последовательности Лежандра образуют достаточно мощный класс бинарных кодов с минимаксной периодической АКФ. Так например, в диапазоне от 50 до 1500 имеется только пять длин, для которых существуют -последовательности, тогда как для последовательностей Лежандра это количество равно 114.
8.6. Вновь о бинарных кодах с хорошими апериодическими АКФ
Сведения, накопленные о бинарных последовательностях с хорошими периодическими АКФ, дают теперь возможность вернуться к идее, состоящей в использовании таких последовательностей в качестве исходного материала для поиска кодов с нужными свойствами апериодических автокорреляций. Как было показано ранее, хорошими апериодическими свойствами могут обладать только последовательности с хорошими периодическими корреляционными свойствами.
Рассмотрим некоторую кодовую последовательность 
длины . Любой ее циклический сдвиг 
, имеет ту же периодическую АКФ, что и исходный код, так как периодическая АКФ инвариантна к циклическому сдвигу. Апериодическая же АКФ циклически сдвинутой копии может отличаться от АКФ первоначальной последовательности. Данный факт служит основой широко распространенного алгоритма поиска кодов с приемлемой апериодической АКФ, описанного ниже.
1). Для требуемой длины тем или иным способом отбирается некоторое множество последовательностей-кандидатов, имеющих хорошие периодические АКФ. Пусть, например, их число равно .
2). На втором этапе осуществляется полный перебор по критерию минимума максимального бокового лепестка апериодической АКФ среди всех однопериодных сегментов последовательностей-кандидатов. Очевидно, что всего необходимо произвести 
тестовых проверок.
3). Итогом поиска является один или несколько сегментов одной или нескольких последовательностей, имеющий минимальное значение среди всех последовательностей, отобранных на первом этапе. Разумеется, нет никаких гарантий глобальной оптимальности полученного кода среди всех возможных бинарных последовательностей данной длины.
Пример 8.6.1. Для длины 
, удовлетворяющей условию существования -последовательности, имеются два примитивных бинарных полинома степени 3: 
и 
. Непосредственная проверка показывает, что -последовательности, генерируемые ими, зеркальны друг другу, т.е. одна из них получается чтением другой справа налево. К подобному преобразованию инвариантны и периодическая, и апериодическая АКФ, поэтому в множество кандидатов достаточно включить только одну -последовательность, скажем, из примера 8.3.1: 
. Кроме того, является простым числом вида , т.е. последовательность Лежандра данной длины также существует, а именно последовательность примера 8.5.1: 
, к которой можно добавить ее модификацию с первым символом, замененным на –1. Последняя полностью повторяет отобранную -последовательность, тогда как первая – после замены знаков всех элементов – совпадает с циклически сдвинутой отброшенной -последовательностью. Поскольку изменение полярности вновь не влияет на периодическую и апериодическую АКФ, лишь одна из четырех рассмотренных минимаксных последовательностей достаточна для включения в множество кандидатов. Пусть ею будет последовательность Лежандра, начинающаяся символом +1.
Вычисление ее апериодической АКФ дает следующие значения 
, и 
. После циклического сдвига на одну позицию влево приходим к последовательности 
, для которой 
, 
, т.е. максимальный апериодический боковой лепесток хуже, чем у исходной. Следующий циклический сдвиг дает 
и 
, , т.е. не улучшает первоначальный результат. После следующего сдвига приходим к последовательности 
, имеющей апериодическую АКФ с боковыми лепестками 
, т.е. с 
. Данная последовательность является глобально оптимальной среди всех ФМ кодов, поскольку ни один из таковых не может обладать меньшим максимальным апериодическим боковым лепестком. В действительности, найден бинарный код Баркера длины 7.
На основании описанной выше процедуры было найдено множество бинарных кодов с приемлемыми свойствами апериодической АКФ длин вплоть до тысяч, уровень боковых лепестков которых хорошо аппроксимируется соотношением
.
Для иллюстрации продуктивности данного метода на рисунке следующего слайда представлены апериодические АКФ двух бинарных кодов длины 
. Первый (a) получен в результате укорочения последовательности Лежандра длины 
и последующей оптимизации его циклических сдвигов, как описывалось ранее. Как видно, боковые лепестки данной АКФ имеют достаточно низкий уровень 
или 
дБ. Для сравнения на рисунке (b) представлена АКФ кода, используемого в 3G системе мобильной связи стандарта WCDMA для первичной синхронизации (поиска сот), который обладает большим уровнем боковых лепестков 
или 
дБ. Конечно, необходимо иметь в виду, что при выборе кода для поиска соты в WCDMA приходилось считаться со многими факторами, включая реализационные, которые могли оказаться важнее хорошей автокорреляции.
9. Дискретные сигналы с идеальной периодической АКФ
Хотя бинарные m–последовательности и последовательности Лежандра наряду с тремя другими классами бинарных кодов обладают максимальным периодическим боковым лепестком 
, снижающимся с ростом длины, все же вероятны ситуации, когда нужное значение для них можно получить лишь за счет неприемлемо больших длин . К примеру, для многих локаторов, сонаров и других дальномерных систем требование временного разрешения сигналов в динамическом диапазоне более 80 дБ является вполне рутинным. Для его выполнения на основе оптимальных бинарных кодов длины последних должны превышать 
, что может неоправданно замедлить процедуру начального поиска. Разумеется, во многих подобных сценариях наилучшим выбором были бы последовательности с идеальной ПАКФ, которая, однако, нереализуема на множестве бинарных кодов, традиционно считающихся наиболее привлекательными технологически. В настоящем разделе анализируются возможности осуществления идеальной периодической АКФ в случаях, когда алфавит последовательности не ограничен рамками противоположной бинарной пары .
9.1. Бинарные последовательности с непротивоположными символами
Замена противоположного алфавита 
на некоторый бинарный непротивоположный позволяет обратить в нуль все периодические боковые лепестки любой бинарной минимаксной последовательности. Простейший путь построения упомянутого алфавита – добавление константы 
(в общем случае комплексной) к начальной последовательности 
с заменой тем самым символов +1 и –1 на 
и 
соответственно. Периодическая АКФ модифицированной таким образом последовательности вычисляется непосредственно:
,
где 
, как обычно, постоянная составляющая исходной последовательности .
Для любой минимаксной последовательности 
, т.е. 
. Так как изменение знака всех элементов последовательности не меняет АКФ, можно, не ограничивая общности, считать 
. Поэтому, потребовав равенства боковых лепестков последовательности 
нулю и учитывая минимаксные свойства исходной последовательности, получаем уравнение для комплексной неизвестной :
.
Найдем потенциально наиболее интересные решения последнего уравнения. Когда желателен действительный алфавит, 
, то имеем квадратное уравнение
с корнями 
. Новые бинарные непротивоположные символы и теперь можно поделить на с целью сохранения +1 как символа нового алфавита. После этого правило преобразования бинарной минимаксной последовательности в последовательность с идеальной АКФ предстает в виде: все символы –1 заменяются на
,
тогда как все элементы +1 остаются без изменения.
Описанное решение приводит к алфавиту из двух противоположных символов разной амплитуды, т.е. к амплитудной модуляции (см. рисунок (a)).
Альтернативным решением служит непротивоположный ФМ алфавит, к которому легко прийти, положив чисто мнимым: 
. Тогда имеет решения 
, а новые символы 
и 
после деления на принимают вид 1 и 
, где 
(рисунок (b)).
Представленный непритязательный способ преобразования алфавита, едва ли можно признать эффективным в практическом отношении. Как видно, его результатом являются довольно экзотические значения комплексных амплитуд кода, установка и поддержание которых с требуемой точностью технологически достаточно проблематичны.
9.2. Многофазные коды
На основе небинарной (
) ФМ можно строить разнообразные многофазные последовательности с идеальной периодической АКФ. Известен ряд правил их конструирования, которые в большей или меньшей степени родственны двум наиболее популярным алгоритмам. Первый из них, приводящий к кодам Чу (или квадратичных вычетов), состоит в прямой дискретной аппроксимации закона линейной частотной модуляции. Код Чу существует для любой длины и генерируется как
.
Хотя коды Чу служат достаточно красивым академическим примером ФМ последовательностей с идеальной АКФ, их практическая ценность далеко не бесспорна, поскольку объем фазового алфавита для них линейно растет с длиной, и при значительных интервал между соседними фазами становится чрезвычайно малым. Из-за этого требования к точности установки и поддержания значений фаз, устойчивости к влиянию окружающей среды и т.п. могут оказаться технологически невыполнимыми.
Аналогичные оговорки (хотя и в меньшей степени) справедливы и в отношении другого часто упоминаемого семейства многофазных последовательностей: кодов Франка. Последние также базируются на ступенчатой аппроксимации линейной частотной модуляции, однако значительно более грубой, и существуют только для длин, являющихся квадратами целых чисел 
. Правило их генерирования имеет вид
,
где, как обычно, 
символизирует округление неотрицательного 
в сторону нуля.
Из сравнения правил формирования видно, что фазовый шаг алфавита для кодов Франка меньше чем для кодов Чу в 
раз, так что объем алфавита первых растет с длиной значительно медленнее.
9.3. Троичные последовательности
Перейдем к рассмотрению последовательностей, чьи элементы могут принимать наряду с бинарными значениями еще и нулевое. Другими словами, введем троичный алфавит 
, технически означающий комбинирование бинарной ФМ с паузами, т.е. интервалами времени, в течение которых чипы отсутствуют. Нетрудно понять, что расширение бинарного алфавита до троичного не ведет к сколько-нибудь ощутимым усложнениям в части формирования и обработки сигнала, однако оно, как показано ниже, открывает дорогу к построению последовательностей с идеальными периодическими корреляционными свойствами. Единственным отрицательным моментом перехода к новому алфавиту следует считать снижение эффективности распределения энергии во времени, обусловленное введением 
пауз на периоде последовательности , которое может быть оценено величиной пик–фактора излучения, т.е. отношением пиковой мощности к средней: 
.
Следовательно, желательно отыскание троичных последовательностей, имеющих не только идеальную периодическую АКФ, но и малое число нулей на периоде, т.е. пик-фактор, незначительно превышающий единицу. Без подобного ограничения задача вырождается и имеет тривиальное решение: код с единственным ненулевым символом на периоде , соответствующий одиночному чипу, повторяющемуся с периодом , безусловно обладает идеальной периодической АКФ, не представляя никакой ценности с точки зрения технологии расширенного спектра.
К настоящему моменту известен ряд правил генерирования троичных последовательностей с заявленными свойствами. Наиболее мощное из них порождает последовательности, длина и пик-фактор которых даются соотношениями
,
где 
– натуральная степень простого числа , а – нечетное натуральное. Последовательности этого типа определены для любой комбинации 
в пределах оговоренных ограничений и, следовательно, выбором достаточно большого 
значение их пик-фактора можно сделать сколь угодно близким к единице.
В наиболее простой форме конструирование троичных последовательностей с указанными параметрами удается описать, опираясь на -ичные -последовательности. Пусть 
– -ичная -последовательность, где – простое нечетное. Каждый ее символ является элементом простого поля . Преобразуем данную последовательность в троичную, отображая нулевой элемент в действительный нуль, а ненулевые элементы в их двузначные характеры. После этого поменяем знаки всех элементов на нечетных позициях. Описанный алгоритм формализуется как
,
где 
. На следующем рисунке приведена структура, реализующая данное правило, которая содержит генератор -последовательности, блок отображения элементов -последовательности в значения характера или нуль, и умножитель, осуществляющий коммутацию полярности нечетных символов.
Пример 9.3.1. Пусть 
. Тогда с помощью примитивного над полем 
полинома 
может быть построена m–последовательность длины 
, задаваемая линейной рекурсией 
. При начальном состоянии регистра 
генерируется последовательность: 
.
В поле имеются только два ненулевых элемента, из которых лишь элемент 2 примитивен. Очевидно, 
и, следовательно, ненулевые элементы -последовательности заменяются по правилу 
, 
, а нули отображаются в вещественный нуль. В результате получается троичная последовательность периода 26
.
Изменение знаков элементов с нечетными номерами (начиная с нуля) приводит последовательность к окончательному виду
.
Полученная троичная последовательность имеет период 
и пик-фактор 
. Вид ПАКФ иллюстрирует следующий рисунок.
9.4. Подавление боковых лепестков вдоль оси запаздываний
Предположим, что проектировщик системы не склонен отказываться от бинарных последовательностей и, в то же время, не удовлетворен достижимым для них уровнем боковых лепестков периодической АКФ 
. В подобных обстоятельствах эффективно разрешить эти противоречивые запросы, можно «имитацией» идеальной периодической АКФ за счет отказа от согласованной фильтрации в пользу специальной рассогласованной обработки, устраняющей боковые лепестки на всем периоде сигнала.
Рассмотрим некоторую последовательность 
периода , которая манипулирует чипы длительности , и фильтр с конечным импульсным откликом, осуществляющий суммирование сигнальных копий, задержанных на 
и взвешенных коэффициентами 
, как показано на рисунке слева. При подаче на вход последовательности 
, отклик фильтра описывается последовательностью 
, элементы которой находятся сверткой
Наложим на фильтр следующие требования
,
означающие физически, что выходной сигнал фильтра имеет ненулевые главные пики, повторяющиеся с периодом , тогда как все боковые лепестки между ними равны нулю. Подобный фильтр, называемый далее фильтром подавления боковых лепестков (ФПБЛ), имитирует своим откликом идеальную периодическую АКФ. В связи с нереализуемостью (за единственным тривиальным исключением) идеальной периодической АКФ в классе бинарных кодов ФПБЛ оказывается рассогласованным и, следовательно, проигрывает согласованному фильтру в выходном отношении сигнал-шум.
Кратчайший путь отыскания коэффициентов фильтра в явном виде – применение дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Последовательность 
и компоненты ее ДПФ-спектра 
связаны друг с другом прямым и обратным ДПФ:
.
Наша цель – получение на выходе фильтра дискретной дельта-функции, имеющей единственный ненулевой элемент на периоде. Спектр такой последовательности равномерен: 
. Тогда на основании теоремы о свертке спектр последовательности на выходе фильтра 
, где спектр последовательности коэффициентов фильтра 
есть не что иное, как передаточная функция ФПБЛ:
.
Как показывает последнее равенство, ФПБЛ физически реализуем для любой периодической последовательности, ДПФ-спектр которой не содержит нулевых компонент. Вычислив обратное ДПФ, приходим к явному выражению для коэффициентов ФПБЛ
.
Как известно, согласованная обработка обеспечивает максимум отношения сигнал–шум на выходе фильтра. Очевидно, что использование ФПБЛ, отличающегося от СФ, приведет к энергетическим потерям, которые и служат платой за достижение идеальности сжатия. Оценим величину потерь в отношении сигнал-шум.
Если бы фильтр был согласованным, его коэффициенты составляли бы последовательность, зеркальную ко входной: 
, и амплитуда выходной последовательности оказалась бы равной 
, поскольку входная последовательность – бинарная. Для входного шума, имеющего время корреляции в пределах и дисперсию 
, дисперсия на выходе согласованного фильтра 
. Таким образом, отношение сигнал-шум по мощности 
на выходе согласованного фильтра
.
Подобным же образом, амплитуда выходной последовательности ФПБЛ 
, а дисперсия шума
.
С учетом связи между периодической АКФ произвольной последовательности и ее энергетического спектра, а также выражения для спектра коэффициентов фильтра получаем следующее выражение для дисперсии шума на выходе фильтра
,
после чего отношение сигнал-шум по мощности 
на выходе ФПБЛ принимает вид
.
Теперь можно рассчитать энергетические потери 
ФПБЛ по отношению к согласованному фильтру как
.
Следовательно, потери ФПБЛ в отношении сигнал-шум определяются неравномерностью энергетического спектра 
входной последовательности
Возможность устранения всех периодических боковых лепестков по существу означает ориентацию на новый критерий синтеза бинарных последовательностей, альтернативный минимизации максимального бокового лепестка . Более естественной представляется минимизация цены устранения боковых лепестков, которой, разумеется, являются потери в отношении сигнал-шум .
Как и во многих задачах, касающихся бинарных последовательностей, глобально оптимальная бинарная последовательность фиксированной длины с минимальными потерями может быть найдена только полным перебором. Разумеется, экспоненциальный рост необходимого вычислительного ресурса препятствует продвижению поиска далеко за рамки указанного диапазона. Однако на данный момент известны многие регулярные правила построения бинарных последовательностей сколь угодно большой длины с очень малыми потерями (хотя и без гарантии их глобальной оптимальности).
Рассмотрим специальный класс бинарных последовательностей с двухуровневой периодической АКФ, т.е. постоянным уровнем боковых лепестков
Для последовательностей данного типа
,
где 
– нормированный уровень бокового лепестка АКФ, а коэффициенты ФПБЛ определяются соотношением
.
Первое слагаемое правой части этого равенства соответствует последовательности , считываемой справа налево, т.е. коэффициентам согласованного фильтра. Таким образом, для последовательности с двухуровневой АКФ ФПБЛ можно получить, слегка модифицируя согласованный фильтр вычитанием из всех его коэффициентов определенной константы. Более того, для бинарных последовательностей этого класса коэффициенты ФПБЛ принимают лишь два возможных значения 
, где 
– по-прежнему постоянная составляющая последовательности, т.е. разность между количествами положительных и отрицательных единиц на периоде: 
.
Пример 9.4.1. Построим ФПБЛ для периодического бинарного кода Баркера длины : 
, для которого 
, и постоянная составляющая 
. Периодическая АКФ такого кода, как легко поверить непосредственно, является двухуровневой с 
. На рисунке (a) показана ПАКФ (т.е. отклик согласованного фильтра) периодического сигнала с прямоугольными чипами, модулированного рассматриваемым кодом. Согласованный фильтр для данной последовательности легко трансформируется в ФПБЛ заменой коэффициентов +1 на 
и –1 на 
, которая с соответствующим масштабированием равносильна замене –1 на –2 при неизменности всех коэффициентов +1 (см. рисунок (b). Отклик ФПБЛ на данный сигнал построен на рисунке следующего слайда, на котором оцифровка диаграмм соответствует точкам схемы. Выходной сигнал фильтра имеет желаемую форму, т.е. нулевой уровень боковых лепестков. Легко подсчитать, что энергетические потери в ФПБЛ 
(0,46 дБ).
10. Дискретные частотно-манипулированные сигналы
10.1. ЧМ сигналы с оптимальной апериодической АКФ
Начнем краткое обсуждение задачи построения ЧМ сигналов с хорошими корреляционными свойствами с напоминания, что требование малого уровня эквивалентно минимизации числа совпадающих частот в частотном коде 
и его копии, сдвинутой на позиций. Очевидно, что при числе чипов (т.е. длине), не большей числа доступных частот , нулевой уровень боковых лепестков 
достигается тривиальным использованием частотного кода, все элементы которого 
различны. Практически, однако, интереснее ситуация, когда 
, так что среди элементов 
имеются повторяющиеся, и, следовательно, по крайней мере, одно совпадение частот в сдвинутых копиях частотного кода неизбежно, т.е. 
.
Одним из широко используемых способов задания ЧМ сигналов является их описание с помощью массива (матрицы) размера 
, в которой горизонтальное и вертикальное направления отождествляются со временем и частотой соответственно, а определяет объем частотного алфавита (т.е. число различных частот, используемых при модуляции). В –м вертикальном столбце этой матрицы помечается только единственный элемент (например, точкой или закрашиванием), что отвечает частоте –го чипа.
Пример 10.1.1. Матрица, изображенная на рисунке, отвечает закону модуляции ЧМ сигнала длиной 
и 
.
Таким образом, минимизация означает построение решетки с наименьшим числом совпадений меток в исходной решетке и ее копии, сдвинутой по горизонтали на позиций. Одной из наиболее характерных задач этого рода является синтез так называемых радарных решеток – 
решеток с единственной помеченной клеткой в каждом столбце и 
, т.е. с числом упомянутых совпадений не более одного. Вполне объясним интерес к отысканию радарных решеток максимальной длины при фиксированном объеме частотного алфавита , поскольку это равносильно минимизации 
при ограничениях на частотный ресурс. Определим простейшую верхнюю границу длины радарной решетки.
Рассмотрим последовательность и заметим, что для получения не более одного совпадения все разности между номерами позиций с одинаковыми частотами должны быть различными. Действительно, пусть 
и 
. Тогда в исходной последовательности и ее копии, сдвинутой на 
позиций, будет не менее двух совпадений. Обозначим через 
число символов (частот) среди 
, повторяющихся раз. Тогда
.
Подсчитаем теперь число возможных разностей между номерами позиций с идентичными частотами. Имеется повторений какой-то частоты, и, значит, 
таких разностей именно для этой частоты. Поскольку имеется частот, повторяющихся раз, то общее число названных разностей составит 
, и, так как повторения среди этих разностей запрещены, должно выполняться неравенство
,
правая часть которого есть максимальное число неравных положительных разностей на числовом множестве 
. Трином 
не имеет действительных корней и, следовательно, положителен при любом . Поэтому сумма
,
что с учетом ранее введенных обозначений дает 
, или
.
Полученная граница не является точной. Известна более точная граница, которая в асимптотической версии имеет вид
,
что понижает правую часть предшествующего выражения приблизительно на 
.
Абсолютно точные, т.е. действительно достижимые, верхние границы длины известны на данный момент для значений 
. Для указанного диапазона максимально реализуемая длина 
радарных решеток определяется как
Пример 10.1.2. Частотный код {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 7, 4, 3, 9, 9, 5, 8, 2, 6, 5, 1, 4, 2, 1, 3, 7}, задающий номера частот из некоторого алфавита объема 
или, что эквивалентно, номера помеченных строк в каждом столбце решетки, имеет максимально возможную длину 
. Определяющее свойство радарной решетки, т.е. возможность единственного совпадения частот при всех ненулевых сдвигах, подтверждается непосредственной проверкой.
В дополнение к сказанному, известны регулярные правила построения радарных решеток длины 
для любого четного и для 
, равного произведению простых чисел вида 
, т.е. 
.
Сонарные решетки являются дальнейшим обобщением радарных, сохраняющим свойство «не более одного совпадения» для произвольной ненулевой комбинации горизонтального и вертикального сдвигов. С физической точки зрения такое требование отражает желание иметь слабую корреляцию сигнальных копий, сдвинутых как во времени, так и по частоте. Имея в виду подход к выбору шага алфавита ЧМ сигналов, частотные сдвиги, трансформирующие текущую частоту в ближайшую из алфавита, более характерны для сонаров, нежели радиолокационных систем, с чем и связана установившаяся терминология. Известен, например, ряд регулярных алгоритмов построения массивов Костаса, т.е. квадратных 
сонарных массивов, иначе говоря ЧМ последовательностей длины, равной числу частот.
11. Критерии выбора сигналов в широкополосных многоабонентских сетях
11.1. Широкополосная передача данных
В многопользовательской сети с кодовым разделением (CDMA) каждый из абонентов передает или принимает свои данные, используя некоторую индивидуальную сигнатуру, причем выбор ансамбля из сигнатур должен быть таким, чтобы гарантировать должную совместимость пользователей. Транспортировка потока данных с помощью -й сигнатуры подразумевает ее модуляцию, часто – с учетом широкополосной природы CDMA сигнатур – называемую широкополосной. Различают две классические разновидности широкополосной модуляции: с прямым расширением спектра (ПРС) и с расширением спектра прыгающей частотой (ПЧРС). Первая из них гораздо характернее для современных коммерческих беспроводных приложений, поэтому обсуждение второй будет предельно кратким.
Общая идея ПРС состоит в АФМ модуляции потоком данных АФМ сигнатуры. Для облегчения усвоения идеи рассмотрим вначале простейший случай цифровой передачи данных с помощью БФМ без расширения спектра. Обозначим через 
информационный (модулирующий) сигнал -го пользователя (см. рисунок), в котором положительные и отрицательные импульсы длительности 
передают значения информационного бита 0 и 1 соответственно. Если последовательность 
описывает битовый поток -го пользователя, то 
. БФМ передача сигнала данных означает попросту перемножение его с непрерывным гармоническим колебанием несущей частоты (см. рисунок, где четвертьпериодный сдвиг косинуса делает эпюру нагляднее), формирующее посылаемый модулированный сигнал
.
Обсудим теперь, какие изменения внесет прямое расширение в двоичную передачу данных, если ПРС реализуется с использованием БФМ последовательности. Пусть 
– -я пользовательская БФМ сигнатура, т.е. дискретный сигнал, составленный из чипов длительности , манипулированных некоторой специфической для каждого пользователя бинарной последовательностью. Пусть на интервале одного бита данных содержится чипов сигнатуры. Тогда ПРС БФМ сигнала данных сводится всего лишь к введению еще одного умножения на сигнатуру :
.
Поскольку полосы упомянутых выше сигналов обратны длительностям бита 
и чипа 
соответственно, ПРС расширяет спектр в раз. Последний факт оправдывает еще одно наименование частотно-временного произведения и выигрыша от обработки 
– коэффициент расширения. Технически операции умножения могут быть выполнены в произвольном порядке, например, как показывают рисунок на предыдущем слайде (ПРС бинарной -последовательностью длины 
), битовый поток 
можно вначале умножить на сигнатуру , модулируя далее непрерывную несущую произведением 
. Можно сказать, что в этом случае битовый поток сперва модулирует бинарную видеосигнатуру, а затем результат используется для бинарной ФМ несущей.
В результате распространения по каналу сигнал приобретает задержку и начальную фазу 
, а также испытывает ослабление, которое далее игнорируется как не влияющее на анализируемые эффекты, имея на входе приемника вид
.
Типичный БФМ-приемник содержит петли временной и фазовой синхронизации, оценивающие текущие значения задержки и начальной фазы . На данном этапе вопрос о точности оценивания можно оставить в стороне, полагая, что приемнику известны истинные значения и .
Тогда приемник для восстановления текущего (-го) бита должен лишь сделать выбор между сигналом 
и его противофазной копией. Для оптимального выполнения этой операции следует вычислить корреляцию
между наблюдаемым колебанием 
и местной опорной копией сигнатуры , и вынести решение соответственно полярности 
. Эту же оптимальную процедуру можно, однако, выполнить в два этапа, устранив сначала расширение спектра, а затем осуществив обычную демодуляцию данных, как если бы они были переданы без всякого расширения. Предположим, наблюдение умножается на формируемую в приемнике видеокопию 
сигнатуры, точно синхронизированную с принимаемым сигналом. Полезная составляющая наблюдения после этой операции изменяется как
,
где учтена бинарность сигнатуры 
, в силу которой 
. Как видно, после такого шага принятый сигнал не обладает никакими чертами широкополосного, полностью повторяя сигнал несущей, бинарно манипулированной потоком данных. Вследствие этого операцию умножения наблюдения на копию сигнатуры можно назвать сжатием спектра. Следующий рисунок иллюстрирует процедуру трансформации широкополосного сигнала с прямым расширением в обычный бинарный БФМ сигнал с модуляцией потоком данных.
Введенные выше понятия и термины можно подкрепить кратким анализом в категориях частотной области. Для этого обратимся к следующему рисунку, на котором приведены спектральные плотности мощности 
исходного потока данных и его широкополосной версии 
соответственно. Для последовательности битовых импульсов длительности 
, полярности которых случайны и независимы, спектр мощности 
. Трактуя поток данных после ПРС вновь как случайную последовательность импульсов с независимыми полярностями (на этот раз длительности ) придем к спектру мощности той же формы, но с полосой, расширенной в раз: 
. Передача в эфире широкополосного сигнала обладает всеми преимуществами распределенного спектра, но сжатие спектра на приемной стороне возвращает его в исходную полосу, превращая сигнал в узкополосный и позволяя воспользоваться простейшими технологиями демодуляции данных.
Идея прямого расширения спектра, рассмотренная выше применительно к БФМ передаче данных в варианте использования бинарных сигнатур, легко обобщается на более широкий диапазон сигнатур и методов модуляции данными. Пусть 
обозначает комплексное колебание, отвечающее потоку данных -го пользователя, передаваемых в некотором цифровом формате (АМ, М-ичная ФМ, КАМ и др.). При М-ичной цифровой передаче данных состоит из соприкасающихся прямоугольников длительности 
, манипулированных комплексными символами, принадлежащими конкретному алфавиту М-ичной модуляции. Пусть 
– комплексная огибающая CDMA сигнатуры -го пользователя. Ее алфавит может быть выбран независимо от алфавита модуляции данных, например, может быть бинарным, квадратурным, АФМ и т.д. Тогда прямое расширение означает умножение модулирующего сигнала данных 
на сигнатуру 
и использование произведения 
в качестве комплексной огибающей передаваемого сигнала:
.
Принятый полезный сигнал представляет собой задержанную и сдвинутую по фазе его копию
с комплексной огибающей
.
Постоянство 
на интервале 
означает, что для выделения -го символа приемник должен произвести выбор между M конкурирующими копиями одной и той же сигнатуры 
, умноженной на различные символы данных 
. При этом корреляция вида
служит (после соответствующей нормировки) достаточной статистикой для вынесения нужной оценки и может трактоваться, как пара отсчетов с выходов интеграторов демодулятора, если опорным сигналом в комплексном умножителе служит 
. После умножения на подобную опору полезная компонента наблюдаемой комплексной огибающей
на интервале -го символа данных становится просто одной из M возможных копий видеосигнала 
, умноженного на различные комплексные коэффициенты . Если чипы сигнатуры не имеют амплитудной модуляции, т.е. есть ФМ сигнал, 
и, как видно из предыдущего равенства, умножение на 
переводит комплексную огибающую полезного широкополосного сигнала в форму, характерную для обычной (не широкополосной) M-ичной модуляции данными, т.е. осуществляет сжатие спектра. Благодаря этому можно вновь разбить действия приемника на два этапа: сжатие спектра, а затем обычная М-ичная демодуляция.
Остановимся более подробно на техническом воплощении комплексного умножения и извлечения комплексной огибающей из реально наблюдаемого действительного колебания . Вспомнив основные правила комплексной арифметики
,
можно видеть, что умножитель двух комплексных величин и 
содержит четыре обычных умножителя и два сумматора (см. рисунок). Входные комплексные операнды 
задаются своими реальными и мнимыми частями, а выходом служит пара из вещественной и мнимой частей произведения 
.
Получение комплексной огибающей наблюдения основывается на определении : 
. Применяя правило комплексного умножения и формулу Эйлера, имеем 
. Умножение обеих частей этого выражения на 
и 
, после применения тригонометрических тождеств приводит к равенствам:
.
Первые слагаемые правых частей этих равенств – колебания видеочастоты (поскольку комплексная огибающая есть закон модуляции, т.е. низкочастотна по определению), тогда как остальные являются радиосигналами с центральной частотой 
. Ширина спектра закона модуляции значительно меньше 
. Следовательно, фильтр нижних частот (ФНЧ) легко отфильтрует высокочастотные компоненты, пропустив на выход только вещественную и мнимую части желаемой комплексной огибающей . Описанная техника восстановления комплексной огибающей из действительного наблюдения реализуется схемой на рисунке.
Как итог предыдущего обсуждения рисунок справа иллюстрирует базовые операции, выполняемые передающей и приемной сторонами в общей схеме широкополосной системы с прямым расширением спектра. Модулятор (рисунок а) реализует алгоритм расширения спектра, удерживая только вещественную часть комплексного произведения. В демодуляторе (рисунок b) комплексная огибающая наблюдения, восстановленная согласно ранее приведенной схемы, вначале подвергается сжатию спектра перемножением с опорой 
, после чего подается на вход стандартного М-ичного демодулятора для выработки решения о принятых символах.
При расширении спектра за счет прыгающей частоты используются ЧМ сигнатуры, и модуляция данными также, как правило, выполняется с помощью ЧМ. В зависимости от соотношения между длительностями чипа и символа данных ПЧРС традиционно классифицируют на две разновидности: быстрое и медленное. Для быстрого ПЧРС 
, где 
– натуральное число, тогда как для медленного –
, где 
– натуральное. Другими словами, при быстром ПЧРС на один символ данных приходится несколько скачков частоты, тогда как при медленном – в течение одного символа сигнатуры может быть передано несколько символов данных. Чтобы лучше понять существо ПЧРС, обратимся к примерам.
Пример 11.1.1. Позаимствуем ЧМ сигнатуру из примера 10.1.1 для расширения спектра быстрым ПЧРС в комбинации с бинарной ЧМ данными. При этом число различных частот сигнатуры 
, ее длина , и один символ данных передает один бит информации, так что 
. Предположим, что в схеме быстрого ПЧРС 
, т.е. на один бит данных приходится 8 скачков частоты. Тогда вся последовательность ЧМ чипов передается в течение одного бита.
Если бит данных равен нулю, этот частотный профиль передается на несущей частоте , тогда как для бита, равного единице, несущая частота принимает значение 
. Естественно, разность между частотами и должна быть не меньше полосы, занимаемой сигнатурой, т.е. 
. На рисунке (a) следующего слайда изображен передаваемый частотный профиль, соответствующий потоку битов данных вида 
. Как можно видеть, спектр одиночного бита данных, полоса которого до расширения была примерно 
, расширяется до полосы 
, т.е. становится в раз шире.
На приемной стороне сжатие спектра выполняется обычно переносом наблюдаемого колебания вниз на промежуточную частоту 
. С этой целью используется гетеродинирование опорной несущей 
, модулированной в соответствии с профилем ЧМ сигнатуры с необходимой задержкой во времени (рисунок (b)). Как результат, сигнал промежуточной частоты оказывается обычным узкополосным колебанием, частотно-манипулированным передаваемыми данными, где нулевой бит соответствует низкой частоте, а единичный – высокой. Таким образом, спектр отдельного символа данных сжимается до прежней ширины , позволяя использовать стандартный бинарный ЧМ демодулятор для восстановления принятых данных.
Следующий пример поясняет идею медленного ПЧРС.
Пример 11.1.2. Используем прежнюю сигнатуру вновь в комбинации с бинарной ЧМ данными, положив равными длительности чипа и символа данных: 
. Последнее означает, что текущая частота остается постоянной в течение всей длительности бита данных, и скачки частоты происходят только при переходе от бита к биту. Частотный профиль сигнатуры 
-кратно растягивается во времени и его длина охватывает битов данных (см. рисунок (а)). Предположим, что в течение бита данных с номером частота сигнатуры равна . Тогда передаваемая частота становится равной 
в случае нулевого бита данных и 
для бита, равного единице. Рисунок (b) показывает последовательность передаваемых частот для битового потока 
. Принципиальное различие быстрого и медленного ПЧРС очевидно: медленное не расширяет спектр отдельного символа данных, увеличивая только общую полосу, занимаемую системой. Система попросту время от времени переходит с одной рабочей частоты на другую, причем внутри группы символов данных фиксированной длины переключений не происходит. На приемной стороне перенос спектра на промежуточную частоту выполняется гетеродинированием с опорной несущей 
, модулированной ЧМ профилем (с соответствующей задержкой) сигнатуры (рисунок (с)). Эта операция возвращает колебание в полосу, соответствующую простой (без ПЧРС) ЧМ данными (рисунок (d)), после чего для восстановления передаваемых данных можно использовать стандартный ЧМ демодулятор.
11.2. Синтез ансамблей сигнатур для CDMA систем с прямым расширением спектра
Снова напомним, что в многопользовательской сети с кодовым разделением (CDMA) каждый из абонентов передает или принимает свои данные с использованием индивидуального сигнала расширения спектра, называемого абонентской сигнатурой. Для облегчения усвоения рассмотрим случай цифровой передачи данных с помощью БФМ при ПРС с использованием БФМ последовательности. При принятии за базовый однопользовательского приемника оптимальная когерентная демодуляция бинарного ФМ сигнала с прямоугольной формой битового сигнала состоит в интегрировании на интервале длительности бита принятого колебания, умноженного на когерентный по несущей частоте образец, и принятии решения о значении бита в соответствие с полярностью напряжения после интегрирования. Поскольку приемник k-го пользовательского сигнала восстанавливает битовый поток посредством операции сжатия спектра, т.е. умножением на задержанную соответствующим образом сигнатуру k-го абонента, полезный эффект после интегрирования имеет вид
Поскольку на входе демодулятора присутствуют еще и сигналы других пользователей, то на его выходе также будет присутствовать помеха множественного доступа (ПМД). Компонент указанной помехи, обусловленный сигналом –го пользователя, представим как
где задержка 
–го пользовательского сигнала определена относительно сигнала k–го пользователя, а множитель, который отвечает за ослабление, обусловленное фазовым сдвигом –го сигнала, отбрасывается с целью получения оценки максимального уровня ПМД.
Возможны два варианта построения CDMA системы.
1. СинхроннаяCDMA система, в которой все абонентские потоки данных и все сигнатуры жестко синхронизованы, т.е. имеют нулевые взаимные временные сдвиги на входе приемника 
. Следующий рисунок подчеркивает строгое временное совпадение между чипами всех сигнатур, а также границами передаваемых символов данных в синхронном варианте CDMA. Тогда, учитывая, что сигнал 
постоянен и равен в течение длительности бита, имеем
.
Очевидно, что оптимальным вариантом ансамбля сигнатур является такой, который гарантирует полное отсутствие помехи множественного доступа:
что означает ортогональность всех сигнатур. Существует множество способов построения ортогональных широкополосных ансамблей различной длины (коэффициента расширения) . Одним из примеров являются функции Уолша или, в общем случае, матрицы Адамара, порождающие ортогональные бинарные коды. Альтернативным выбором являются циклически сдвинутые копии любой последовательности с идеальной периодической АКФ, например, троичной, многофазной и др. При любом конкретном выборе ортогональных сигнатур размерность сигнального пространства жестко лимитирует их число (а, значит, и число пользователей ): 
.
Если же число пользователей (сигнатур) превосходит размерность пространства 
, то имеет место специфический случай, называемый перенасыщением, чем подчеркивается избыточность количества сигнатурных векторов, исключающая шанс их ортогональности. Очевидно, что при этом все сигнатуры не могут быть ортогональными и, значит, присутствие ПМД неизбежно. Хорошим инструментом оценки минимально возможного уровня ПМД служит граница Велча, согласно которой полный квадрат корреляции (total squared correlation – (TSC)) во множестве из K N – мерных векторов (т.е. кодовых последовательностей сигнатур) 
, удовлетворяет неравенству
Поскольку 
содержит равных единице квадратов корреляций векторов с самими собой, разность 
включает лишь «вредные» корреляции между несовпадающими векторами, значения которых требуется иметь как можно меньшими. Всего охватывает 
подобных пар векторов, так что средний квадрат корреляции на одну пару сигнатур
Очевидно, что ансамбль последовательностей, достигающий данной границы (последовательностей, лежащих на границе Велча), является наилучшим возможным для однопользовательского приемника по критерию минимума полной мощности ПМД и обеспечивает предельное (в пренебрежении шумом) отношение сигнал-помеха для перенасыщенного ансамбля
2. АсинхроннаяCDMA система, в которой взаимные задержки и фазовые сдвиги между отдельными пользовательскими сигналами случайны. При принятии за базовый однопользовательского приемника решение о значении текущего символа -го абонента принимается на основе корреляции
,
где – задержка -го сигнала относительно -го сигнала. Теперь строгое совмещение границ символов данных и чипов различных пользователей поддерживаться не может из-за произвольности относительных временных сдвигов абонентских сигналов.
В предположении, что границы чипов всех сигналов синхронизированы, т.е. взаимные задержки кратны : 
, где 
– целое, такое что 
, ситуация поясняется следующим рисунком (для случая k=1), подчеркивающим, что в асинхронном варианте CDMA – в отличие от синхронного – символы данных сторонних пользователей могут изменяться во время приема текущего символа -го пользователя. В то же время главным фактором, осложняющим синтез асинхронного ансамбля, оказывается необходимость различения каждой сигнатуры со всеми возможными сдвинутыми копиями других сигнатур, отсутствующая при синхронном кодовом разделении.
При выборе семейства сигнатур для асинхронных CDMA сетей типичны два подхода: детерминированный и статистический. В рамках первого подхода основной целью является гарантированное удержание максимума ПМД в пределах заранее установленного уровня, тогда как второй ориентирован на достижение приемлемого уровня ПМД в среднем.
11.3. Подходы к синтезу ансамблей сигнатур для асинхронного кодового разделения с ПРС
Детерминированный подход, как правило, базируется на предположении, что во время приема символа данных -го пользователя символы данных всех других пользователей неизменны, т.е. 
. Тогда ситуация отличается от исследованной ранее синхронной только взаимным временным рассогласованием сигнатур. Если период сигнатуры совпадает с выигрышем от обработки , равным числу чипов на длительности одного символа данных, или, что эквивалентно, числу чипов, интегрируемых коррелятором, то уровень ПМД определяется как
,
т.е. повторяет (прямо или с противоположным знаком) значение периодической ВКФ –й и –й сигнатур. Отсюда следует первое необходимое требование, предъявляемое к сигнатурам – низкая величина их взаимной корреляции. Поскольку корреляционные функции дискретных сигналов непосредственно определяются корреляционными функциями их кодовых последовательностей (кодов), то приходим к требованию низкого уровня ВКФ –го и –го кодов сигнатур 
и 
:
,
где осуществлено обобщение на произвольный (а не только бинарный) алфавит сигнатур.
Если на диапазон возможных взаимных задержек не наложено никаких ограничений, -я сигнатура может присутствовать в виде любой из своих циклически сдвинутых копий, так что имеется 
различных -мерных векторов, каждый из которых является потенциальным источником ПМД в -м приемнике. Следовательно, приходим к необходимости иметь в ансамбле сигнатур максимум взаимного корреляционного пика
минимально возможным (основные лепестки всех АКФ полагаются одинаковыми: 
).
Если канал подвержен эффектам многолучевости, то любая собственная циклически сдвинутая копия -го сигнала может также стать помехой -му приемнику. Предположим, что может существовать до 
подобных копий, т.е. рассеяние по задержке в многолучевом канале возможно вплоть до периода сигнатуры. Другим основанием для включения собственных циклических копий в исследуемое множество векторов служит желание иметь низкий уровень автокорреляционных боковых лепестков, что важно при поиске сигнала. После подобного расширения имеется 
векторов, корреляцию которых желательно снизить до минимума, так что и максимальный (по всем ненулевым временным сдвигам сигнатур) автокорреляционный пик
должен контролироваться по уровню.
В итоге приходим к минимаксному критерию синтеза ансамбля сигнатур, ориентированному на минимизацию корреляционного пика:
.
В идеале в качестве сигнатур в асинхронном варианте CDMA с прямым расширением должен использоваться такой ансамбль последовательностей, все представители которого имеют идеальную периодическую АКФ и нулевую периодическую ВКФ. Последние требования явно противоречат друг другу, делая ансамбли этого сорта гипотетическими. Действительно, условия идеальности АКФ и нулевой ВКФ означают не что иное, как нулевой уровень корреляции между всеми циклическими сдвигами последовательностей периода , т.е. существование 
ортогональных векторов в –мерном пространстве, что невозможно.
Поскольку максимальное значение любой величины никогда не меньше среднего: 
, то для оценки корреляционного пика можно воспользоваться границей Велча с заменой на
,
устанавливающей нижнюю границу минимально возможного значения корреляционного пика во множестве K асинхронных сигнатур длины N.
При дополнительных ограничениях на ФМ алфавит данная граница может оказаться достаточно слабой, особенно при числе последовательностей, соизмеримом с . В частности, для достаточно больших ансамблей бинарных последовательностей точнее оказывается граница Сидельникова
.
Комбинация асимптотических (K>>1) версий указанной границы и границы Велча приводят к следующему результату
Ансамбли, для которых 
, достигает предела, предсказываемого границей, разумеется, оптимальны по критерию минимума корреляционного пика, и иногда называются минимаксными.
Альтернативой детерминированному подходу служит статистический, который ориентирует синтез сигнатур в направлении максимального сходства между помехой множественного доступа и некоторого эквивалентного случайного аддитивного шума. Напомним, что преимущество асинхронной версии CDMA в абонентской емкости основывается именно на этом подобии, что позволяет ей функционировать при отношении сигнал-(помеха + шум), которое для АФМ сигналов может быть записано в виде
.
Не составляет труда заметить, что результаты синтеза детерминированных сигнатур в значительной степени удовлетворяют последнему соотношению. Действительно, максимальный уровень ПМД мощности, привносимый одиночным источником помехи (сторонним пользователем), относительно мощности полезного сигнала составляет
,
при условии, что ансамбль сигнатур оптимален относительно границы Велча. Тогда 
независимых источников помех создадут общий относительный уровень помех, равный
,
что близко выражению, которое получается обращением приведенного ранее отношения сигнал-(помеха + шум). Отличие в коэффициенте «2» объясняется «неполной» асинхронностью, допущенной автоматически сведением проблемы к рассмотрению только кодовых последовательностей, тогда как границы чипов и фазы всех сигнатур считаются синхронизированными. Близость результатов показывает, что статистический подход к синтезу сигнатур вполне адекватен и его широкое практическое использование полностью оправдано, особенно в тех случаях, когда период сигнатуры охватывает большое число передаваемых символов данных.
В идеале случайные бинарные коды сигнатур могут быть получены как результат подбрасывания правильной монеты с присвоением текущему символу кода значений +1 и –1 в зависимости от выпадения «орла» или «решетки». Все сигнатуры формируются независимо друг от друга случайным независимым выбором элементов каждой из них, т.е. подбрасыванием монеты. При подобной схеме формирования коды сигнатур представляют собой независимых дискретных по времени случайных процессов с независимыми значениями.
Фактически сигнатуры не могут быть строго случайными, поскольку приемник должен априори знать закон модуляции сигнатуры с тем, чтобы сформировать необходимую опору в корреляторе. Для реализации свойства случайности на базе детерминированных правил кодирования, необходимы так называемые псевдослучайные последовательности. Так, например, в стандарте IS-95 мобильного телефона базовые станции используют различные сдвиги во времени одной и той же расширенной – последовательности длины 
(расширение означает добавление одного избыточного символа) для различения сигналов, излучаемых разными базовыми станциями. В рассматриваемом стандарте эта «родительская» последовательность называется коротким кодом в отличие от длинного кода, реализующего асинхронный вариант CDMA в канале «вверх», в качестве которого выступает расширенная – последовательность длины 
(период которой в реальном времени составляет 41 сутки). Каждому мобильному абоненту присваивается строго индивидуальный временной сдвиг этого кода.
В стандартах третьего поколения с CDMA также находят применение псевдослучайные сигнатуры. Например, в стандарте UMTS (3GPP) для аналогичных целей используются усеченные коды Голда длины 
как в прямом, так и в обратном каналах.
12. Оптимальные и асимптотически оптимальные ансамбли дискретных сигнатур
Известен единственный нетривиальный пример ансамбля сигнатур, корреляционный пик которого строго удовлетворяет границе Велча – ансамбль кубичных вычетов. Однако данный ансамбль представляет скорее теоретический, чем практический интерес, поскольку свидетельствует только об обоснованности представленной границы.
С другой стороны, список известных асимптотически оптимальных ансамблей достаточно представителен. Среди других он включает множество кодов, которое, в отличие многофазных кодов с идеальной ПАКФ, может иметь и практическую значимость. Одной из причин этому служит тот факт, что объем алфавита этих ансамблей фиксирован и не возрастает с увеличением длины N. Так например, существуют ансамбли с трехфазным алфавитом длины 
, состоящие из 
сигнатур и обладающие величиной корреляционного пика, стремящегося к границе Велча при 
Ниже ограничимся лишь кратким обсуждением тех из них, которые либо нашли широкое практическое применение, либо особо показательны на фоне остальных.
12.1. Частотно-сдвинутые бинарные m-последовательности
Возьмем бинарную m-последовательность 
периода и используем ее в качестве сигнатуры для первого пользователя. Сформируем остальные сигнатур посимвольным умножением 
на дискретные гармоники частот 
:
.
Тогда квадрат модуля периодической ВКФ k-й и l-й последовательностей
.
Рассмотрим вначале случай 
, т.е. 
. Тогда, если 
, то получаем основной лепесток АКФ k-й сигнатуры, т.е. 
. Если же 
, то сумма в выражении для ВКФ есть сумма всех корней из единицы степени N и, значит, равна нулю.
Пусть теперь 
. Тогда, согласно свойству сдвига и сложения m-последовательностей, 
для некоторого t, и квадрат модуля ВКФ
,
что оказывается 
-й компонентой энергетического ДПФ-спектра последовательности . Поскольку энергетический спектр последовательности есть ДПФ от ее периодической АКФ, а последняя равна –1 для любого ненулевого сдвига и при 
, то
.
Последняя сумма отличается от нуля и равна N только при , так что, сводя вместе все полученные результаты и переходя к нормированным корреляциям, имеем
Отсюда видно, что корреляционный пик ансамбля
,
т.е. практически совпадает с границей Велча. Таким образом, рассматриваемый ансамбль является асимптотически оптимальным и эффективным образом реализует асинхронную схему CDMA.
Одним из его достоинств в сравнении с другими многофазными ансамблями является возможность генерирования сигнатур простым сдвигом несущей частоты. Действительно, сдвиг несущей на 
эквивалентен линейному приращению фазы между последовательными чипами на 
, что в точности совпадает с предписанием правила формирования ансамбля.
Очевидно, что осуществление сдвига частоты не составляет значительной проблемы для современной электроники. Блестящим подтверждением этому служит использование указанного ансамбля в российской глобальной навигационной системе космического базирования ГЛОНАСС, в которой для организации дальномерного канала пониженной точности применяются кодовые сигнатуры данного вида длины 
с длительностью чипа 2 мксек.
Хотя известно достаточно много и других многофазных минимаксных ансамблей, бинарные семейства традиционно считаются приоритетными в плане технологической привлекательности, поэтому остальная часть раздела посвящается некоторым важным примерам ансамблей бинарных сигнатур.
12.2. Ансамбли последовательностей Голда
Метод построения последовательностей Голда основывается на использовании бинарных последовательностей максимальной длины. Пусть имеется бинарная –последовательность 
длины 
. Путем децимации с индексом 
вида
построим последовательность 
с таким же периодом 
. Децимация означает выбор каждого -го символа последовательности 
и запись выбранных символов друг за другом, так что 
. Сформируем ансамбль из K сигнатур следующим образом
где . Выражая это словесно, строим сигнатур посимвольным перемножением на циклические копии 
, а в качестве еще двух сигнатур берем сами исходные -последовательности. В итоге имеем всего 
сигнатур. На практике традиционно бинарные -последовательности формируются сначала в алфавите , т.е. над полем с помощью РСЛОС, с последующим отображением элементов на вещественную пару . Поэтому удобна реализация правила конструирования ансамбля с помощью двух -разрядных РСЛОС, генерирующих предшественники 
и 
последовательностей и . Тогда, взамен умножения на 
, можно просуммировать предшественники по модулю 2 с последующим отображением результата на множество : 
. Следующий рисунок иллюстрирует практическое воплощение конструкции Голда в описанном варианте.
Оценка корреляционного пика ансамбля Голда приводит к следующему результату
Как видно, при любом нечетном значении памяти n ансамбли сигнатур Голда асимптотически 
близки к нижней границе Сидельникова, т.е. оптимальны, тогда как при четном n, не кратном четырем, их проигрыш в уровне по отношению к граничному составляет около 3 дБ. Следует отметить, что при 
ансамбль Голда также существует с тем же значением корреляционного пика, как и при 
, но с числом последовательностей на одну меньше.
Ансамбли Голда пользуются исключительной популярностью в современных CDMA системах. Достаточно сказать, что они используются в глобальной спутниковой навигационной системе GPS для разделения сигналов космических аппаратов, в 3G системе мобильной связи стандарта WCDMA для скремблирования CDMA кодов и т.п.
Пример 12.2.1. Построим последовательности Голда длины 
. Ансамбль столь малой длины практически бесполезен, однако помогает в иллюстрации идеи конструкции. Начнем с бинарной 
m-последовательности, впервые встретившейся в примере 8.3.1: 
. Индекс децимации 
удовлетворяет оговоренным условиям. В результате децимации имеем последовательность 
. Посимвольное суммирование и по модулю два дает последовательность 
, которая после отображения на алфавит превращается в первую последовательность Голда 
. Сдвиг вправо на одну позицию и сложение по модулю 2 с дает последовательность 
, которая после перехода к символам становится второй последовательностью Голда 
. Еще пять последовательностей Голда получаются в результате дальнейших сдвигов , сложения по модулю 2 с и изменения символов на . Совместно с и , преобразованными к алфавиту , имеем 
последовательностей всего. Проверка оптимальности корреляционного пика в этом простейшем случае не имеет особого смысла, поскольку заранее ясно, что при 
ненормированная периодическая корреляция (кроме основного лепестка АКФ) не может превзойти значения 5.
12.3. Множества Касами и их расширения
Конструкция Касами в принципиальном плане весьма близка к описанной выше конструкции Голда. Выполним децимацию бинарной m-последовательности четной памяти 
с индексом 
. Очевидно, это значение d не взаимно просто с периодом 
последовательности , так что полученная последовательность 
имеет период, являющийся делителем N. Можно показать, что если инициализирована так, что 
, то «короткая» последовательность окажется бинарной m-последовательностью периода 
.
В данной схеме сигнатур Касами длины N образуются посимвольным перемножением исходной «длинной» m-последовательности с различными циклическими копиями , а еще одной сигнатурой служит сама длинная последовательность, так что:
где . Таким образом, имеется всего 
таких сигнатур периода N. Разумеется, вновь умножение последовательностей , можно выполнить как сложение по модулю 2 их предшественников , , но в отличие от ансамбля Голда для формирования короткой последовательности требуется РСЛОС вдвое меньшей длины 
(см. рисунок на следующем слайде).
Ансамбль Касами также обладает минимаксными свойствами
.
Сравнение двух бинарных ансамблей показывает значительный (6 дБ) выигрыш множеств Касами в уровне корреляционного пика у ансамблей Голда той же длины в обмен на значительно меньшее (в 
раз) числа сигнатур K.
Следует отметить, что для бинарных сигнатур границы корреляционного пика можно несколько уточнить, учтя, что их ненормированные корреляции принимают только целочисленные значения. В результате выясняется, что как ансамбли Голда с нечетной памятью, так и ансамбли Касами строго (а не только асимптотически) оптимальны по уровню корреляционного пика среди всех бинарных сигнатурных ансамблей.
Пример 12.3.1. Построим ансамбль Касами длины 
. Начнем с бинарной m-последовательности длины 
на основе примитивного полинома 
с начальным состоянием РСЛОС 
. Имеем 
. Децимация этой последовательности с индексом 
дает m-последовательность периода три 
. Сумма по модулю 2 последовательности с тремя сдвинутыми копиями после перехода к алфавиту образует первые три сигнатуры Касами:
,
,
.
Четвертой служит после преобразования символов в : 
. Непосредственная проверка показывает, что все их ненормированные ВКФ, как и боковые лепестки ненормированных АКФ первых трех последовательностей, принимают лишь значения –5 и 3, так что 
.
Сравнительно малое число сигнатур в обсуждаемом множестве придает особую важность найденному Б. Ж. Камалетдиновым элегантному методу почти двукратного расширения ансамбля Касами без ухудшения корреляционного пика. Пусть n кратно 4: 
, где r – целое, так что 
. При такой длине в дополнение к множеству Касами существует и другой бинарный ансамбль того же объема 
, называемый ансамблем бент-последовательностей и обладающий тем же минимаксным свойством 
. В самых общих чертах построение бент-последовательностей вновь состоит в посимвольном перемножении двух исходных последовательностей: «длинной» m-последовательности периода 
и некоторой специальной последовательности, базирующейся на так называемой бент-функции. Детали такой конструкции достаточно замысловаты и здесь не обсуждаются, однако принципиальным является то, что нормированная ВКФ любой бент-последовательности с любой из первых последовательностей Касами по абсолютной величине не превосходит корреляционного пика ансамблей Касами и бент-последовательностей. В итоге можно составить ансамбль, включающий 
последовательностей Касами и бент-последовательностей и обладающий прежним значением корреляционного пика 
. Полученный таким образом ансамбль уникален в том смысле, что среди всех известных бинарных ансамблей с корреляционным пиком 
только он содержит наибольшее число сигнатур 
.
12.4. Ансамбли Камалетдинова
Известны и другие бинарные минимаксные ансамбли, нередко отличающиеся от рассмотренных лишь тонкой структурой последовательностей, но не значениями длины N, объема K и корреляционного максимума . На этом фоне заслуживают особого интереса ансамбли, открытые Б. Ж. Камалетдиновым и существующие для длин, отличных от длин ансамблей Голда и Касами.
Чтобы нагляднее описать идею, остановимся на несколько суженной версии конструкций Камалетдинова, что, однако, не сопряжено с какими-либо изъятиями в части охватываемых длин или достижимых параметров. В первой схеме Камалетдинова возьмем простое нечетное 
вида 
и расширим определение двузначного характера 
из раздела 8.4 на нулевой элемент , положив 
(
приведет к тому же конечному результату). Отождествим номер символа в последовательности с элементом поля , оперируя с ним по модулю p, и образуем 
p-ичных последовательностей 
над (т.е. с элементами из этого поля) по правилу:
где вся арифметика соответствует правилам, 
– примитивный элемент и . Можно заметить, что каждая последовательность образована суммированием последовательностей с взаимно простыми периодами p и p–1 
и, следовательно, ее период 
. Отобразим теперь данные последовательности на бинарный алфавит , используя введенное расширение двузначного характера
.
Полученный таким образом ансамбль бинарных сигнатур имеет параметры
.
Длину N можно сделать достаточно большой выбором 
, имея 
и 
, что после сравнения с границей свидетельствует об оптимальности (по меньшей мере, асимптотической) ансамбля по уровню корреляционного пика.
Пример 12.4.1. Пусть 
. Прямая проверка подтверждает, что элемент 
примитивен в . Тогда последовательности 
и 
вида 
и 
соответственно обе имеют период 
. Комбинирование их по модулю 7 с последовательностью 
периода 7, предписываемое (7.57), дает 
семеричных последовательностей периода 
. Первая из них, например, 
. Замена семеричных элементов их расширенными характерами согласно правилу 
и 
преобразует последовательности в 8 бинарных сигнатур, например, 
.
Вторая схема Камалетдинова использует как основу p-ичную 
линейную последовательность 
, полученную децимацией с индексом 
сдвигов 
p-ичной m-последовательности памяти 
, т.е. длины 
. Поскольку d делит , то последовательность 
имеет период 
. Теперь построим 
последовательностей над
и отобразим их на бинарный алфавит , используя введенное расширение двузначного характера. В результате получим ансамбль бинарных сигнатур с параметрами
.
Вновь при больших длинах отношение 
и , подтверждая оптимальность (по меньшей мере, асимптотическую) и этого ансамбля.
Пример 12.4.1. В данном случае отсутствует запрет на 
и -ичная m-последовательность памяти и длины 
может быть сформирована с помощью примитивного полинома над второй степени 
, или, эквивалентно, с помощью рекурсии 
. При начальном состоянии РСЛОС 
последовательность 
. Децимация ее сдвигов с индексом 
, дает две последовательности периода 4: 
и 
. После посимвольного сложения с последовательностью 
получатся 
последовательностей периода 
: 
и 
. Последний шаг, состоящий в замене их элементов расширенными характерами 
, 
, приведет к ансамблю Камалетдинова из двух бинарных последовательностей длины 
: 
и 
. Найти их АКФ и ВКФ можно вручную, убедившись в итоге в справедливости равенства .
Резюмируем итоги предпринятого анализа в форме таблицы, представляющей длину (с перечислением всех длин существующих ансамблей в диапазоне 
), число сигнатур и квадрат максимума корреляции бинарных сигнатурных ансамблей. Таблица весьма выразительно демонстрирует весомость конструкций Камалетдинова: в оговоренном интервале они добавляют 11 новых длин к тем восьми, для которых существуют ансамбли Голда и Касами,
13. Поиск и автосопровождение дискретных широкополосных сигналов
13.1. Задача синхронизации
Специфика приемника широкополосного сигнала проявляет себя главным образом в операции сжатия спектра, требующей точного синхронизма местной широкополосной опоры с ПРС-кодом принятого сигнала. Начальная (например, при первичной активации приемника) расстройка локального эталона по времени и частоте относительно принятого сигнала может оказаться достаточно большой. К числу факторов, обуславливающих подобное рассогласование, относятся автономность эталонов передающей и приемной сторон, широкий диапазон вариаций расстояния от передатчика до приемника, доплеровский сдвиг частоты, вызванный их взаимным движением и пр. Таким образом, связанные с синхронизацией действия приемника состоят в предварительной (до демодуляции данных) подстройке собственной сужающей опоры за счет измерения и компенсации указанного рассогласования. При этом в широкополосных системах требования к точности подобной синхронизации особенно высоки, так как при временном рассогласовании между ПРС-кодом и местной сжимающей опорой порядка длительности чипа или более никакого сжатия спектра, а значит, и последующей правильной демодуляции не произойдет. Имея это в виду, сосредоточим внимание на точном измерении запаздывания (или фазы кода) приходящего сигнала.
Можно видеть, что с теоретической точки зрения в задаче синхронизации по времени нет ничего нового: для согласования локальной опоры с принятым сигналом следует лишь измерить временной сдвигt принятого сигнала относительно местного генератора. Затем, если необходимо, генератор приемника может быть скорректирован по времени и, тем самым, синхронизирован с принятым сигналом. В силу правила МП оптимальный измеритель должен формировать оценку 
этого параметра как запаздывание, максимизирующее корреляцию
опорной копии расширяющего сигнала с наблюдением . Если же начальная фаза сигнала случайна и не содержит информации об измеряемом значении , аналогичная процедура производится относительно корреляций комплексных огибающих наблюдения и сдвинутых во времени копий расширяющего сигнала:
.
Одним вариантом реализации данного алгоритма служит структура с согласованным фильтром (СФ), воспроизводящая 
в реальном времени:
а также детектор огибающей (ДО) и решающее устройство (РУ), фиксирующее момент достижения максимума напряжением на его входе. В реальном времени этот момент смещен относительно оценки на известную величину длительности сигнала (см. рисунок ).
В плане технического воплощения эта схема применительно к широкополосному сигналу большой длины может оказаться, однако, не лучшим выбором, требуя выполнения операций суммирования в течение длительности одного чипа. При достаточно большом значении выигрыша от обработки и широкой полосе данное условие может привести к чрезмерным требованиям к быстродействию цифрового фильтра.
Для преодоления упомянутой реализационной проблемы на практике процедура временного оценивания в широкой зоне неопределенности часто выполняются в виде двух последовательных этапов. Задачей первого из них, называемого поиском (кода), является грубое измерение нужного параметра и выдача его предварительной оценки для инициализации второго этапа, называемого автосопровождением или слежением. Этот второй этап, обычно выполняемый специальными петлями слежения за кодом, вырабатывает точные временные оценки, которые далее напрямую используются местным эталоном для сведения сжимающей опоры с ПРС-кодом принятого сигнала. Однако, для «втягивания» в состояние слежения схема автосопровождения нуждаются в первичных целеуказаниях, например, в знании временного положения принятого сигнала с точностью до длительности чипа или около того.
13.2. Поиск сигнала (кода)
Рассмотрим систему с прямым расширением спектра, в которой приемной стороне постоянно доступен «чистый» (не модулированный потоком данных 
) расширяющий сигнал. Для многих реальных ситуаций подобное предположение является вполне оправданным благодаря наличию специального пилотного канала, способствующего установлению синхронизации.
Пусть вычисление корреляции или 
осуществляется с помощью коррелятора, а не согласованного фильтра. Одиночный коррелятор способен вычислить за один раз только единственное значение корреляции наблюдения и местной копии сигнала, имеющей некоторый конкретный временной сдвиг, так что измерение рассогласования во времени может быть выполнено только последовательно. Если уровень корреляции мал (ниже некоторого установленного порога), то поисковая система изменяет величину задержки сигнальной копии и переходит к проверке следующей корреляции. Подобные операции продолжаются до тех пор, пока величина задержки сигнальной копии не приблизиться к истинному значению, что обеспечит высокий (превышающий порог) уровень корреляции. Данная стратегия получила название последовательного поиска и для видеосигнала может быть реализована структурой, показанной на рисунке слева. Если же рассматривается радиосигнал со случайной фазой, то операция умножения в корреляторе осуществляется над комплексными огибающими и перед подачей на вход решающего устройства результат интегрирования берется по абсолютной величине. Для каждого значения решающее устройство сравнивает текущую корреляцию с порогом, а затем либо сигнализирует об окончании поиска и установлении истинного значения задержки в опорном сигнале в случае превышения порога, либо предписывает местному генератору увеличить фазу реплики на его выходе и перейти к следующей попытке с обновленным значением .
Иллюстрацией упомянутым шагам поиска служит следующий рисунок, на котором приведены диаграммы, отвечающие последовательному поиску периодического расширяющего кода 
с 
в условиях пренебрежимо малого уровня шума и при интервале интегрирования, равном одному периоду (в реальных системах этот интервал может быть как меньше, так и больше величины ).
Серьезным недостатком этого метода является большое время, затрачиваемое на последовательно вычисляемые корреляции. Действительно, по сравнению со стратегией на основе согласованного фильтра время, затрачиваемое на последовательную процедуру, увеличивается примерно в число шагов раз. В свою очередь число шагом равно или больше интервала неопределенности , так что полное время поиска может быть грубо оценено как
,
где 
– время интегрирования (анализа) на шаг процедуры, а 
– аналогичная характеристика, выраженная в числе длительностей чипа 
.
Пример 13.2.1. Как правило, в широкополосных системах отношение сигнал-шум на чип достаточно мало. Характерным может считаться значение в 
дБ. В то же время для обеспечения надежности в принятии решения отношение сигнал-шум на входе РУ должно быть порядка 10 дБ. Последнее означает, что интегрирование осуществляется на интервале в 
чип. При типичной длительности чипа 
мксек и числе шагов процедуры поиска 
получаем, что 
сек, которое, конечно, нельзя считать допустимым.
Существуют различные методы ускорения процедуры поиска. Наиболее употребляемой является стратегия, сочетающая комбинацию последовательного анализа в ячейке (т.е. при конкретном значении t) с последовательно-параллельной схемой поиска. Первый термин означает, что анализ в каждой ячейке осуществляется за несколько (как правило, два) этапов. На первом из них достаточно низкий порог гарантирует малую вероятность пропуска сигнала, несмотря на малое время анализа 
. В то же время вероятность ложной тревоги оказывается значительно больше той, что была бы приемлема в ранее описанном одноэтапном методе. Благодаря сокращенному времени анализа ложные ячейки в среднем просматриваются быстро, однако довольно многие из них (до 10% и даже более) принимаются за истинные. Для отсеивания ложных ячеек, ошибочно признанных истинными на первом этапе, организуется второй этап с гораздо большей надежностью, чем первый. Это достигается соответствующим выбором параметров: большего времени анализа 
и более высокого порога, обеспечивающих полные (совместно с первым этапом) вероятности ошибок на ячейку, необходимые для получения требуемой вероятности правильного завершения поиска. Подобный подход обеспечивает выигрыш во времени поиска в 
раза.
Второй термин означает использование в процедуре поиска набора параллельных корреляторов, работающих автономно и сканирующих каждый свою часть области неопределенности. В этом случае исходная зона поиска попросту разбивается на 
подобластей, каждая из которых включает 
ячеек, где – число параллельных корреляторов, и соответственно время поиска уменьшается в раз. Последовательно-параллельные схемы весьма характерны для реального оборудования и особенно эффективны при наличии таких аппаратных узлов, которые, присутствуя в приемнике по необходимости, в ходе поиска свободны от своей основной нагрузки.
13.3 Слежение за сигналом
После завершения процедуры поиска вырабатывается грубая оценка временного запаздывания ПРС-кода принятого сигнала с ошибкой в пределах долей длительности чипа. Для достижения точного синхронизма местной широкополосной опоры (сигнала сжатия) с принятым сигналом и поддержания его в течение всего последующего сеанса приема сообщения используется схема автоподстройки по задержке (АПЗ) (иначе, петли автоподстройки по времени). С ее помощью осуществляется непрерывное измерение временного рассогласования принятого и опорного сигналов и подстройка местного генератора в направлении уменьшения ошибки, т.е. производит слежение за сигналом.
Рассмотрим наиболее типичную схему АПЗ, называемую ранней–поздней, основанную на сравнении корреляций принятого сигнала с двумя разделенными по времени промежутком 
копиями: поздней 
и ранней 
(для простоты анализу подлежат видеосигналы):
.
Очевидно, что усреднение этих величин даст отсчеты АКФ сигнала расширения спектра:
.
Определим сигнал ошибки как
и отметим, что его среднее
,
есть разность двух копий АКФ, сдвинутых по на величину . В результате получаем зависимость усредненного сигнала ошибки от рассогласования между принятым и опорным сигналами, описываемую дискриминационной кривой, которая представлена слева на следующем слайде для случая 
. Ранняя и поздняя копии 
показаны на рисунке пунктирными, а дискриминационная кривая – сплошной линией.
Вид этой характеристики непосредственно определяет структуру схемы АПЗ с ранним и поздним стробами. Она отличается от стандартной петли слежения за фазой только способом выработки сигнала ошибки. Генератор опоры формирует раннюю и позднюю 
копии сигнала, которые могут быть считаны с двух разрядов регистра сдвига, разнесенных еще на один разряд (в случае использования –последовательности дополнительного сдвигающего регистра не требуется, поскольку данная последовательность формируется РСЛОС). После очистки от шумов в фильтре петли для приближения к среднему значению сигнал ошибки подается на генератор управляемый напряжением (ГУН). Последний увеличивает частоту опорного генератора, если временное рассогласование положительно (опорный сигнал отстает от принимаемого сигнала), и уменьшает ее в случае отрицательного (когда опора опережает). Понятно, что в стационарном режиме схема АПЗ удерживает сигнал ошибки близким к нулю, обеспечивая синхронизм между локальной опорой и принятым сигналом. Структура данной версии АПЗ приведена на рисунке следующего слайда. Отметим, что в рассматриваемом варианте кодовую копию , синхронизированную с входным сигналом и необходимую для сжатия спектра, можно считать с разряда, разделяющего раннюю и позднюю опоры.
Если петля фазовой автоподстройки частоты в приемнике предварительно синхронизирована с несущей принимаемого сигнала, так что радиосигнал может быть когерентно трансформирован в свой видеочастотный эквивалент, то рассмотренную схему АПЗ можно использовать и применительно к радиосигналу. По этой причине ее нередко называют когерентной. В ситуациях, когда предварительная фазовая синхронизация неосуществима или нецелесообразна, можно использовать некогерентную схему АПЗ, основанную на сравнении квадратов модулей двух корреляций. Последние вычисляются между наблюдаемой комплексной огибающей и комплексными огибающими двух опор, являющихся, как и прежде, ранней и поздней копиями кода сигнала.
