5.1. Исходные положения

5.2. Уравнения однородной линии

5.3. Волновое сопротивление

5.4. Коэффициент распространения

5.5. Скорость распространения электромагнитной энергии по цепям связи

5.1. Исходные положения

Строгое решение задач распространения электромагнитной энергии по направляющим системам (кабелей, волноводы, световоды и т.д.) требует применения классической электродинамики и управлений Максвелла. На основе электродинамики можно рассмотреть практически все вопросы передачи, излучения, влияния, поглощения, экранирования в любых направляющих системах при различных диапазонах частот и скоростях передачи.

Правда, во многих случаях очень сложно искать точные решения на базе электродинамики. Под влиянием запросов практики в свое время были разработаны приближенные методы решения задач различных классов. Такими наиболее характерными методами являются методы теории цепей и, с другой стороны, теории лучевой оптики. В первом случае (квазистационарный режим) совершается переход от волновых электродинамических процессов к колебательным (λ >> D), а во втором случае (квазиоптический режим) – к лучевым процессам (λ<<D). При λ >> D в области сравнительно низких частот (до 10⁸ Гц) справедливы методы теории цепей и уравнения однородной линии. При λ<<D в области очень высоких частот (свыше 10¹³ Гц) справедливы уравнения лучевой оптики.

Однако оба эти режима являются предельными случаями строгих уравнений электродинамики, поэтому курс технической электродинамики (ТЭД) является основным (базовым) аппаратом изучения, исследования и расчета направляющих систем передачи.

5.2. Уравнения однородной линии

Качество передачи по линейным цепям связи и их электрические свойства полностью характеризуются первичными параметрами. По физической природе параметры цепи связи аналогичны параметрам колебательных контуров, составленных из элементов R, L, C. Разница состоит лишь в том, что в контурах эти параметры являются сосредоточенными, а в цепях связи они равномерно распределены по всей длине линий. Параметры R и L, включенные последовательно (продольные), образуют суммарное сопротивление Z=R+iωL, а параметры G и C (поперечные) – суммарную проводимость Y=G+iωC. Из указанных четырех параметров лишь R и C обусловливают потери энергии: первый – тепловые потери в проводах и других металлических частях кабеля (экран, оболочка, броня); второй – потери в изоляции.

Рис 2.1

Рассмотрим однородную цепь связи с первичными параметрами R, L, C и G (рис. 2.1). В начале цепи имеется генератор с сопротивлением Z₀, в конце – нагрузка Z_l. Обозначим напряжение и ток в начале цепи U₀L₀, в конце – U_lL_l. Выделим на расстоянии x от начала цепи бесконечно малый участок dx. Обозначим ток, проходящий по элементу цепи dx, I и напряжение между проводами через U. Тогда падение напряжения на участке dx будет равно: - dU/dx=I(R+iωL). Σтечка тока на участке: - dI/dx=U(G+iωC).

Произведя соответствующие преобразования и имея в виду, что ch x=(е^γx+е^–γx)/2 и sh x=( е^γx–е^–γx)/2, получим значения напряжения U_x и тока I_x в любой точке цепи x:

Практически оказывается удобнее пользоваться выражениями, устанавливающими зависимость напряжения и тока в начале цепи от напряжения и тока в конце цепи. Тогда, решая предыдущею систему относительно U₀ и I₀, получаем:

(2.3)

Уравнения (2.1) – (2.3) устанавливают взаимную связь токов и напряжений с параметрами цепи R, L, C и G или γ и Z _в и позволяют определить напряжения и ток в любой точке цепи в зависимости от значений U и I в начале или конце ее. Эти уравнения справедливы при любых нагрузках (Z ₀ и Z _l) на концах цепи.

При согласованных нагрузках Z ₀ =Z _l =Z _в и U₀/I₀ = =U_l/I_l = Z _в уравнения (2.1) - (2.3) упрощаются и принимают вид:

(2.4)

Практически наиболее часто пользуются уравнениями в виде U₀/U_l = е^γl и I₀/I_l = е^γl . Аналогично для мощности P=UI получим P₀/P_l = е^2γl. Таким образом, получены уравнения однородной цепи в общем виде при любых нагрузках по концам и при согласованных нагрузках.

Из приведенных формул следует, что распространение энергии по линии, ток и напряжение в любой точке цепи обусловлены в первую очередь параметрами γ и Z _в.

5.3. Волновое сопротивление

Волновое (характеристическое) сопротивление Z _в и коэффициент распространения γ являются вторичными параметрами линии и широко используются для оценки эксплуатационно-технических качеств линии связи. Волновое сопротивление – это сопротивление, которое встречает электромагнитная волна при распространении вдоль однородной линии без отражения, т. е. при условии, что на процесс передачи не влияют несогласованности на концах линии. Оно свойственно данному типу кабеля и зависит лишь от его первичных параметров и частоты передаваемого тока.

Электромагнитную волну можно представить в виде двух волн: волны напряжения, соответствующей электрической энергии, и волны тока, соответствующей магнитной энергии. Количественное соотношение, имеющее место между волной напряжения и волной тока в линии, и есть волновое сопротивление цепи. При этом, как следует из данного выше определения волнового сопротивления, необходимо рассматривать лишь падающую (движущуюся вперед) электромагнитную волну: Z _в=U_n/I_n. Если в линии выделить отдельно отраженную волну, то она, двигаясь к началу линии, также будет встречать сопротивление, равное волновому сопротивлению: Z _в=U₀/I₀.

Волновое сопротивление рассчитывается по формуле

По своей физической природе, что также следует из приведенной формулы, величина Z _в не зависит от длины волны и постоянна в любой точке цепи.

В общем виде волновое сопротивление является комплексной величиной и может быть выражено через его действительную и мнимую части:

Z _в = |Z _в| е^iφ_в = |Z _в| cos φ_в + i |Z _в| sin φ_в.

5.4. Коэффициент распространения

Электромагнитная энергия, распространяясь вдоль линии, уменьшается по величине от начала к концу линии. Ослабление или затухание энергии объясняется потерями ее в цепи передачи. Следует различать два вида потерь энергии: в металле и в диэлектрики. При прохождение тока по кабельной цепи происходит нагревание токопроводящих жил и создаются тепловые потери энергии. С ростом частоты эти потери увеличиваются: чем больше активное сопротивление цепи, тем больше потери энергии в металле. Потери энергии в диэлектрике обусловлены несовершенством применяемых диэлектриков (бумаги, резины и др.) и затратами энергии на диэлектрическую поляризацию (G=ωC tgδ). Βсе эти потери учитываются посредством коэффициента распространения γ.

Коэффициент распространения γ является комплексной величиной и может быть представлен в виде суммы действительной и мнимой частей ее:

Уравнение для токов и напряжения можно представить в следующем виде:

U₀/U_l = I₀/I_l = е^{(α + i β) l} = е^{α l} е ^{i βl} = A е ^{i φ} .

Модуль этого выражения А= е^αl характеризует уменьшение абсолютного значения тока или напряжения при прохождении по линии длиной l. Угол φ=βl характеризует изменение угла векторов тока или напряжения на этом же участке линии длиной l.

Аналогичные выражения для мощностей имеют вид

P₀/P_l = е^2γl = е^{2α l} е ^{i 2βl} .

Следовательно, действительная часть – αl коэффициента распространения показывает уменьшение электромагнитной энергии в конце линии по сравнению с началом:

|U₀/U_l| = |I₀/I_l|= е^{α l} ; P₀/P_l = е^2αl .

Мнимая часть выражения – βl показывает изменение фазы (угла) при распространении энергии по цепи:

βl = φ_0U – φ_lU = φ_0I – φ_lI; 2βl = φ_0P – φ_lP .

При передаче сигналов связи параметры α и β характеризуют соответственно затухание и изменение фаз тока, напряжения и мощности на участке кабельной цепи длиной 1 км и называются коэффициентом затухания и коэффициентом фазы. Коэффициент распространения γ = α + i β одновременно определяет изменение сигнала как по абсолютной величине, так и по фазе на 1 км длины кабеля.

Логарифмируя обе части приведенных выше выражений, получаем формулы для расчета величины затухания:

αl = ln |U₀/U_l| = ln |I₀/I_l| ; αl = [ln (P₀/P_l)]/2.

Затухание цепи по связи (α = αl) принято оценивать в децибелах (белах) или неперах. Для децибелов (белов) используется десятичная система логарифмов, а для неперов – натуральная.

Затухание в 1 бел (Б) соответствует уменьшению мощности в 10 раз, а ток или напряжения – в 3,17 раз.

5.5. Скорость распространения электромагнитной энергии по цепям связи

Электромагнитная энергия распространяется по линии с определенной скоростью. Посланный в линию сигнал достигает конца ее лишь через соответствующий промежуток времени. Скорость передачи зависит от параметров цепи и частоты тока. Она определяется из выражения υ = ω/β.

Из этой формулы видно, скорость распространения является функцией частоты f = ω/2π и коэффициент фазы β, который в свою очередь зависит от первичных параметров линии. Таким образом, если затухание цепи определяет качество и дальность связи, то коэффициент фазы β обусловливает скорость движения энергии по линии.

В диапазоне высоких частот, когда β = ω√ LC , скорость не зависит от частоты и определяется лишь параметрами кабеля:

.

При постоянном токе

На рис. представлена частотная зависимость скорости распространения электромагнитной энергии по кабельным линиям с диаметром токопроводящих жил 1,2 мм.

Анализируя приведенные выше формулы и кривые, можно отметить, что с возрастанием частоты скорость распространения электромагнитной энергии по кабельным линиям также существенно возрастает. Скорость распространения электромагнитной энергии по линии при постоянном токе составляет примерно 10 000 км/c, а при токах высоких частот имеет величину порядка 250 000 км/с, приближаясь к скорости света (c=300 000 км/с).