8.2.1. Основные понятия случайного процесса в системе массового обслуживания
8.2.1. Основные понятия случайного процесса в системе массового обслуживания
Система массового обслуживания (СМО) состоит из какого-либо числа обслуживающих единиц (например, числа каналов связи). Работа любой СМО состоит в выполнении поступающего на нее потока требований (заявок). Заявки поступают на систему в случайные и не случайные моменты времени. Обслуживание каждой поступившей заявки продолжается какое-то время, после чего канал освобождается. В зависимости от числа каналов СМО обладает пропускной способностью, которая позволяет более или менее справляться с потоком заявок. Различают:
· абсолютную пропускную способность – число заявок, которое система может обслужить в единицу времени;
· относительную пропускную способность – среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поданных.
В большинстве случаев моменты поступления заявок, а также длительность их обслуживания случайны. В связи с этим в потоке заявок могут образовываться так называемые сгущения и разряжения. Сгущения могут приводить либо к отказам в обслуживании, либо к образованию очередей. Разряжения могут приводить непроизводительным простоям отдельных каналов или системы в целом. Таким образом, процесс функционирования СМО представляет собой случайный процесс.
Случайный процесс, протекающий в СМО, состоит в том, что система в случайные моменты времени переходит из одного состояния в другое: меняется число занятых каналов, число заявок в очереди и т. п. СМО представляет собой физическую систему дискретного типа с конечным (счетным) множеством состояний, а переход системы из одного состояния в другое происходит скачком в тот момент, когда происходит какое-то новое событие (поступление новой заявки, уход заявки из очереди и т. п.).
Рассмотрим физическую систему Х со счетным множеством состояний [1]:
х1,х2, . . .хn, . . .
В любой момент времени t система Х может находится в одном из этих состояний. Обозначим рk(t) (k=1, 2, . . . n, . . .) вероятность того, что в момент времени t система будет находится в состоянии хk. Для такого случая будет справедливо равенство:
(8.1)
Совокупность вероятностей рk(t) для каждого момента времени t характеризует данное сечение случайного процесса, протекающего в системе. Случайные процессы в дискретной системе со счетным множеством состояний бывают двух типов: с дискретным и непрерывным временем. Для случайных процессов с дискретным временем переходы из одного состояния в другое могут происходить только в строго определенные, заранее известные моменты t1, t2, . . . Для случайных процессов с непрерывным временем смена состояния системы возможна в любой момент времени t. Случайные процессы протекающие в СМО, как правило, представляют собой процессы с непрерывным временем.
В качестве примера рассмотрим одноканальную СМО (одна телефонная линия), в которой заявка, заставшая канал занятым, не становится в очередь, а покидает систему (получает отказ). Эта система с непрерывным временем и двумя возможными состояниями: х0 – канал свободен, х1 – канал занят. Переходы из одного состояния в другое обратимы. Для n-канальной системы имеются следующие состояния: х0 – все каналы свободны; х1 – один канал занят; х2 – занято два канала и т. д. На рисунке 8.1 показаны схемы возможных переходов.
Рисунок 8.1 – Переходы состояний для одноканальной и n-канальной систем
Другим примером дискретной системы с непрерывным временем является одноканальная СМО с четырьмя состояниями: х0 – канал исправен и свободен; х1 –канал исправен и занят; х2 – канал неисправен и ждет ремонта; х3 – канал неисправен и ремонтируется. Схема возможных переходов для этого случае показана на рисунке 8.2.
Рисунок 8.2 – Переходы для одноканальной системы с ремонтом
Для СМО основным фактором, обуславливающим протекающие в ней процессы, является поток заявок (вызовов). Поэтому математическое описание любой СМО начинается с описания потоков вызовов.
8.2.2. Характеристики и свойства потоков вызовов
Поток вызовов – последовательность вызовов, поступающих один за другим в какие-либо моменты времени (вызовы, поступающие от группы абонентов или группы устройств телефонной сети, поток информации, поступающий на ЭВМ, поток телеграмм и т. п.).
Потоки вызовов подразделяются на следующие виды:
· детерминированные – с фиксированными моментами поступления;
· случайные – потоки, в которых моменты поступления вызовов зависят от случайных факторов.
Детерминированные потоки являются частным случаем случайных потоков и на практике встречаются редко. В связи с этим в теории телетрафика основное внимание уделяется рассмотрению случайных потоков вызовов.
Основными характеристиками случайных потоков являются:
1) параметр потока l(t) в момент времени t есть предел отношения вероятности поступления не менее одного вызова в промежутке (t, t +Dt) к величине этого промежутка Dt при Dt®0:
, (8.2)
где i – количество вызовов
2) интенсивность потокаm(t) в момент времени t есть предел отношения приращения математического ожидания числа вызовов в промежуток времени (t, t +Dt) к величине этого промежутка Dt при Dt®0:
, (8.3)
где m(0,t) m(0,t+Dt) – математические ожидания числа вызовов за промежутки времени (0,t) (0,t+Dt).
Интенсивность m(t) характеризует случайный поток в момент времени t числом поступающих вызовов. Параметр характеризует этот же поток за ту же единицу времени числом вызывающих моментов, т. е. моментов поступления одного или одновременно группы вызовов. Поэтому для любого случайного потока имеет место соотношение: 
.
Основными свойствами случайных потоков являются:
1) стационарность – стационарным называется поток, если вероятность поступления определенного количества вызовов за любой промежуток времени определяется лишь длительностью этого промежутка и не зависит от момента его начала;
2) ординарность – ординарным называется поток, в котором вероятность поступления более чем одного вызова за малый промежуток времени пренебрежительно мала по сравнению с вероятностью поступления одного вызова;
3) отсутствие последствия – поток вызовов называется потоком без последствия, если вероятность поступления вызова в момент времени t не зависит от предыдущих событий.
Поток вызовов, обладающий одновременно свойствами стационарности, ординарности и отсутствия последствия называется простейшим потоком.
8.2.3. Длительность обслуживания вызовов
Длительность обслуживания поступившего вызова может быть детерминированной или случайной. Детерминированная длительность задается последовательностью величин hk, характеризующих длительность обслуживания k-го вызова. При hk=h длительность обслуживания называется постоянной. Детерминированная длительность обслуживания характерна для управляющих устройств АТС. В большинстве случаев общая длительность обслуживания вызова, как правило, величина случайная и описывается вероятностным законом распределения:
, (8.4)
где 
- вероятность того, что длительность случайного времени обслуживания t будет меньше наперед заданного значения времени t;
h – среднее время обслуживания.