Преобразование Фурье для дискретного сигнала. Определим связь между спектром X(jw) аналогового сигнала x(t) и спектром X_Т(jw) дискретного сигнала x_Т(t), определенного моделью (19.2). Учитывая, что x_Т(t) = x(t)f(t) согласно теоремы свертки (9.30) получим спектральную плотность дискретного сигнала

(19.4)

где X_f(jw) – спектральная плотность дискретизирующей последовательности (19.1).

Для нахождения X_f(jw) разложим f(t) в комплексный ряд Фурье (5.6):

(19.5)

где w_д = 2p/Т – частота дискретизации,

Отсюда согласно (9.42) получаем

(19.6)

Подставив (19.6) в формулу (19.4) после изменения порядка интегрирования и суммирования и с учетом фильтрующего свойства d-функции окончательно получим

(19.7)

Из (19.7) следует важный вывод: спектр дискретного сигнала x_T(t) (рис. 19.6 б) представляет собой сумму бесконечно большого числа «копий» спектра аналогового сигнала (рис. 19.6, а), расположенных на оси частот через одинаковые интервалы.

Следует отметь, что согласно (19.7) и рис. 19.6, б энергия спектра дискретного сигнала оказывается бесконечно велика, что является следствием идеализации реального сигнала моделью (19.2). Если же использовать вместо дискретизирующей последовательности (19.1) последовательность импульсов конечной энергии (например, прямоугольных импульсов), то получим спектр X_Т(jw), энергия которого убывает с ростом w («копии» X(jw) с ростом w уменьшаются). В то же время следует еще раз подчеркнуть, что представление дискретного сигнала в форме (19.2) существенно упрощает анализ дискретных сигналов и цепей и широко используется в расчетах.

Спектр дискретного сигнала X_Т(jw) можно найти и непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6) для дискретного сигнала (действует в момент t Õ 0).

Отсюда с учетом фильтрующего свойства d-функции получим прямое преобразование Фурье для дискретных сигналов.

(19.8)

и обратное преобразование Фурье:

(19.8)

На практике в формулах (19.8), (19.9) часто вместо зависимости X_Т(jw) рассматривают зависимости X_Т(jf), которые легко можно получить путем замены w = 2pf.

Пример. Рассчитаем спектр дискретного сигнала, состоящего из одного отсчета x_Т(t) = [a; 0; 0; 0; ...].

Воспользуемся формулой (19.8), в которую подставим значения x_t(t) заданного сигнала

.

Пример. Рассчитаем спектр экспоненциальной дискретной функции x_Т(t) = 0,5^k, k 0.

График дискретной функции x_Т(t) приведен на рис. 19.7, а ее отсчеты можно записать в виде последовательности x{k} = {1; 0,5; 0,25; 0,125; 0,0625; ...}.

Спектр дискретной экспоненты рассчитаем по формуле (19.8)

где для суммирования ряда использована формула

.

Используя формулу Эйлера , получим выражение для расчета спектра амплитуд X(f).

.

Для построения графика будем задавать значения f от 0 до 1/Т с шагом 0,1/T и рассчитывать X(f).

График спектра амплитуд X(f) экспоненциальной дискретной функции x_T(t) = 0,5^k приведен на рисунке 19.8.

Как видно из графика, спектр дискретного сигнала сплошной и периодический с периодом f_д = 1/Т.

Следует отметить, что если не выполняется условие теоремы Котельникова: f_д 2f_в, то спектры в (19.7) частично перекрываются. На рис. 19.9, рис. 19.10 показан характер изменения спектра дискретного сигнала X_T(f) при изменении частоты дискретизации сигнала x_T(t), ограниченного во времени интервалом T_с (рис. 19.9) и неограниченного во времени (рис. 19.10).

Как следует из представленных графиков увеличение периода дискретизации T > 1/2F_в; F_д < 2F_в приводит к наложению смежных спектров в (19.7), что приводит к наложению спектра Х_T(f). Эти искажения называются ошибками наложения. Чтобы их устранить необходимо частоту дискретизации увеличить до F_д 2F_в.

Пример. Рассчитаем интервал дискретизации и минимально допустимую частоту дискретизации сигнала, спектральная плотность которого равна нулю при значениях частоты выше 100 кГц.

Из условия задачи следует, что граничная частота спектра F^в равна 100 кГц. Тогда в соответствии с теоремой Котельникова имеем интервал дискретизации

.

Минимально допустимая частота дискретизации f_д = 2F^в = 2×100 = 200 кГц.

Пример. Определим дискретные отсчеты сигнала длительностью t_и = 3 мс, приведенного на рис. 19.11, а, если в качестве граничной частоты спектра F^в принять значение 3/t_и, выше которого все значения спектральной плотности уменьшаются более чем в 10 раз по сравнению с максимальным.

Хотя сигнал конечной длительности имеет бесконечный спектр частот, однако почти всегда можно определить граничную частоту спектра таким образом, чтобы отсекание частот превышающих F^в, привело к пренебрежимо малым изменениям энергии исходного сигнала. Такое условие задано в примере.

Граничная частота спектра F^в = 3/t_и = 3/(3×10³) = 1 кГц.

Интервал дискретизации T = 1/(2F^в) = 1/(2×1×10³) = 0,5 мс.

Берем отсчеты сигнала, приведенного на рис. 19.11, а, через интервал времени T = 0,5 мс и получаем последовательность x{k} = {0; 2; 3,2; 4; 1; 0,3; 0}, изображенную графически на рис. 19.11, б.

Отметим, что аналоговый сигнал x(t) можно полностью восстановить по его дискретным отсчетам x(kT) с помощью ФНЧ, частота среза которого w_с = 0,5w_д = w_в. Этот вывод хорошо иллюстрирует рис. 19.10, а из которого видно, что спектр сигнала на выходе ФНЧ совпадает со спектром аналогового сигнала x(t).

Дискретное преобразования Фурье. Как следует из формулы (19.7) X_T(jw) имеет периодическую структуру с w_д = 2p/T. Причем, как и спектр аналогового сигнала X(jw) спектр дискретного сигнала X_T(jw) является сплошным (см. рис. 19.6, б). Вместе с тем при цифровой обработке сигналов используется не только дискретизация во времени, но и дискретизация в частотной области.

Для сигнала x(t) ограниченного во времени интервалом T_с (рис. 19.12, а) справедлива обратная теорема Котельникова, которая может быть получена из (19.3) путем заменыt ->w; w_в->T_с/2; Т-> Dw:

(19.10)

где Dw = 2p/T_с; T_с – длительность сигнала;X(nDw) – отсчеты спектра сигнала в частотной области.

Переходя к дискретному сигналу x_T(t) (рис. 19.12, б) отметим, что общее количество отсчетов сигнала будет равно

где T = 2p/w_д = p/w_в.

Дискретный спектр (рис. 19.12, е) может быть получен путем периодического повторения последовательности {x(kT)} с периодом T_с = NT (рис. 19.12, в). При этом частотный интервал между дискретными отсчетами спектра (рис. 19.12, е) составляет

(19.11)

С учетом вышеизложенного дискретное преобразование Фурье (ДПФ) можно получить, если в преобразовании (19.8) сделать замену w = nDw. Тогда получим

или с учетом (19.11)

(19.12)

где n = 0; ±1; ±2; ± ... N/2.

Для упрощения записи аргумент nDw и kT обычно заменяют индексом n и k соответственно и опускают индекс T, при этом (19.12) примет вид

(19.13)

которое определяет прямое ДПФ.

С помощью (19.13) можно определить отсчеты спектра X(jn) по временным отсчетам сигнала x(k).

Обратное ДПФ можно получить из (19.13) воспользовавшись дуальностью прямого и обратного преобразований Фурье:

(19.14)

При k < 0 обратное преобразование Фурье определит x(k), расположенную слева от 0 (рис. 19.12, в).

Для ДПФ по аналогии с непрерывными преобразованиями Фурье справедливы основные теоремы и свойства.

В частности, свойство линейности

(19.15)

сдвиг дискретного сигнала:

(19.16)

т. е. сдвиг последовательности отсчетов сигнала на m интервалов приводит лишь к изменению фазового спектра дискретного сигнала.

Теорема свертки:

(19.17)

где N = N₁ + N₂; N₁, N₂ – число отсчетов х₁ и х₂ соответственно.

Аналогично можно записать и другие теоремы для ДПФ. Заметим, что ДПФ можно использовать для определения не только спектра дискретных сигналов, но и спектра аналоговых сигналов, для чего его необходимо дискретизировать согласно теоремы Котельникова (19.3).

Пример. Рассчитаем ДПФ дискретного периодического сигнала, заданного тремя отсчетами x{k} = {0; 1; 2}.

Для расчета воспользуемся формулой ДПФ (19.13).

Поскольку

, ,

то ,

.

Графики заданного дискретного периодического сигнала x(k) и рассчитанного дискретного периодического спектра амплитуд X(n) приведены на рис. 19.13.

Пример. Рассчитаем значения дискретного сигнала x(k), ДПФ которого имеет вид X[n] = {0; 1; 0; 1}.
Значения дискретного сигнала x(k) будем рассчитывать по формуле (19.14)

;

График последовательности x{k} = {0,5; 0; –0,5; 0} приведен на рис. 19.14. Сигнал x(k) дискретный и периодический.

Пример. Определить с помощью ДПФ спектр аналогового сигнала, изображенного на рис. 19.15, а.

Ограничим длительность сигнала T_c, где (рис. 9.15, а). Например, при T_c = 3/a, . Выберем число отсчетов N = 10, определим частоту дискретизации

Согласно (19.13) находим отсчеты спектра сигнала

и т.д.

В таблице приведены результаты расчета спектра,

а на рис. 19.15, б спектр сигнала X(jn). Следует отметить, что с увеличением T (уменьшение числа отсчетов N) погрешность аппроксимации x(t) увеличивается (см. рис. 19.5, а).

Как следует из вышеприведенных примеров и формул (19.13), (19.14), для вычисления ДПФ содержащих N отсчетов необходимо осуществить в общем случае N² операций с комплексными числами. Если длина обрабатываемых массивов достаточно велика, то вычисление ДПФ даже на современных быстродействующих ЭВМ занимает достаточно много времени. Для сокращения вычислений используют обычно алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ). Существует много разновидностей БПФ. Здесь мы рассмотрим один алгоритм, основанный на прореживании по времени.

Быстрое преобразование Фурье. Положим, что число отсчетов N = 2^q, где q – целое число. Разобьем дискретную последовательность отсчетов {x(k)} не две части:

четную {x(k)}_чт = {x(2k)}

и нечетную {x(k)}_нч = {x(2k + 1)}, где k = 0, 1, 2, ... N/2 – 1.

Представим спектр (19.13) в виде

(19.18)

Из (19.18) следует, что

(19.19)

где n = 0, 1, 2, ..., ((N/2) – 1).

Из (19.19) следует, что первая половина X(jn) (n = 0, 1, 2, ..., (N/2) – 1) выражается через ДПФ двух частных последовательностей: X_чт(jn) и X_нч(jn). Вторую половину (n N/2) X(jn) можно найти, если учесть периодичность его четной и нечетной части с периодом N/2:

и соотношение (при n N/2):

при этом получим

(19.20)

Формула (19.19) и (19.20) лежит в основе БПФ. Как следует из этих формул для вычисления X_чт(jn) и X_нч(jn) требуется (N/2)² операций и для выполнения операции умножения на exp{×} – N операций:

(19.21)

Для ДПФ (19.13) требуется операций, что существенно выше, чем N_БПФ. Например, при N = 10³, получаем N_ДПФ = 10⁶, а N_БПФ ~ 250×10³, т. е. для БПФ требуется в четыре раза меньше операций, чем при ДПФ.

В общем случае число операций, необходимое в БПФ равно

(19.22)

и выигрыш по сравнению с ДПФ равно

(19.23)

и может достигать сотен и тысяч раз при достаточно больших входных массивах N.

В заключении отметим, что сам процесс вычисления по формулам (19.18), (19.19) производят по итерационному принципу: последовательность отсчетов с четными и нечетными номерами снова разбивают на две части и т. д. Процесс разбиения продолжается до тех пор, пока не получится последовательность, состоящая из одного элемента (исходного ДПФ). Более подробно с алгоритмами БПФ можно ознакомиться в специальной литературе (см. например, Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М. «Радио и связь. 1990).