Дифференциальное уравнение генератора

Обратимся вновь к схеме рис. 15.2. По первому закону Кирхгофа

или

Эти уравнения отличаются от соответствующих уравнений одиночного колебательного контура, полученных в 15.1. Физические процессы в автоколебательных цепях , тем, что в правой части записан коллекторный ток iК.

Вольт-амперная характеристика транзистора iК = F(иБЭ U0) в окрестности рабочей точки U0 является, вообще говоря, нелинейной, так как ток коллектора iК нелинейно зависит от напряжения иБЭ U0. Из рис. 15.2 следует, что напряжение ОС, снимаемое с катушки индуктивности обратной связи Lос, равно uос = иБЭ U0, поэтому в дальнейшем удобно рассматривать ВАХ iК = F(uос) = = iК(uос).

Заметим далее, что напряжение ОС uос вычисляется через коэффициент взаимной индуктивности М и ток в катушке L

В свою очередь, ток в катушке iLи напряжение на ней uк связаны соотношением uк = LdiL/ dt, поэтому напряжение ОС uос можно выразить через напряжение на контуре uк:

Вернемся к уравнению (15.4). Продифференцируем его по времени и разделим обе части на С:

В отличие от уравнения (15.1) для одиночного колебательного контура в правой части уравнения (15.6) присутствует вынуждающая составляющая diК(uос)/ dt. Производную функции iК(uос) будем искать как производную сложной функции:

где S(uос) = diК(uос)/ duос – дифференциальная крутизна ВАХ транзистора, нелинейно зависящая от напряжения uос.

При дифференцировании напряжения uос по времени учтено соотношение (15.5).

Подставив (15.7) в (15.6), получим дифференциальное уравнение автогенератора

где – резонансная частота контура.

Это дифференциальное уравнение является нелинейным, так как коэффициент при первой производной напряжения uк, в который входит крутизна S(uос), нелинейно зависит от напряжения обратной связи uос (или, что то же, от искомой переменной – напряжения на контуре). Уравнение (15.8) определяет все свойства автогенератора и позволяет установить условия самовозбуждения колебаний, особенности стационарного режима и характер переходных процессов в автогенераторе.

Условие возникновения колебаний

При определении условий самовозбуждения следует учесть, что амплитуда нарастающих колебаний в автогенераторе достаточно мала и работа автогенератора происходит на линейном участке ВАХ транзистора iК = F(uос). Иными словами, для малых амплитуд колебаний ВАХ можно аппроксимировать линейно-ломаной функцией, крутизна которой в рабочем диапазоне амплитуд напряжения является постоянной, не зависящей от напряжения uос, т. е. S(uос) = S. В этом случае дифференциальное уравнение автогенератора (15.8) становится линейным:

Перепишем его в виде

где – эквивалентный коэффициент затухания колебательного контура, включенного в цепь коллектора транзистора.

Сопоставление уравнения (15.9) с уравнением (15.2) для одиночного колебательного контура показывает, что при включении колебательного контура в коллекторную цепь транзистора коэффициент затухания контура a э уменьшится на величину SM/ 2LC, зависящую от взаимоиндукции М, т. е. от ОС:

где a = G/ 2С – коэффициент затухания свободных колебаний контура.

Чтобы в контуре возникли нарастающие по амплитуде колебания, необходимо сделать коэффициент a э < 0. Это возможно при условии SM/ > G/ C. Отсюда получаем значение коэффициента взаимной индукции М при котором в колебательном контуре возникнут нарастающие по амплитуде колебания:

Условие (15.10) называется условием самовозбуждения LC-автогенератора. Величина Mкр = LG/ S называется критическим коэффициентом взаимной индукции. Колебания в автогенераторе могут возникнуть только при обратной связи с М > Mкр. При М < Mкр коэффициент затухания контура a э > 0 и колебание в контуре становится затухающим. Коэффициент a э в (15.9) можно представить в следующем виде:

где Gвн = —(SM/ L) – проводимость, вносимая в контур за счет действия обратной связи. Знак коэффициента М может меняться в зависимости от направления включения (согласно или встречно) вторичной обмотки трансформатора. При М > 0 вносимая проводимость оказывается отрицательной и если ее величина |Gвн| > G, что имеет место при М > Mкр, то a э < 0 и в контуре возникнут нарастающие по амплитуде колебания. Положительные значения М соответствуют положительной ОС, отрицательные – отрицательной ОС.

Эквивалентная схема колебательного контура, соответствующая уравнению (15.9) с a э из (15.11), приведена на рис. 15.4. Отрицательная общая проводимость контура G + Gвн < 0 при М > Mкр свидетельствует о том, что в контур поступает энергии больше, чем расходуется ее на активной проводимости контура G.

Стационарный режим работы

При больших амплитудах сигнала нелинейностью ВАХ транзистора iК = F(uос) пренебречь уже нельзя: в общем случае она должна аппроксимироваться степенным полиномом высокого порядка.

Ток в цепи коллектора в стационарном режиме будет из-за нелинейности ВАХ несинусоидальной периодической функцией времени и может быть представлен рядом Фурье

Падение напряжения uк на колебательном контуре, настроенном на частоту w 0, определяется в основном первой гармоникой коллекторного тока, так как сопротивление контура для тока этой гармоники является наибольшим (равным Rоэ = l/ G), а для остальных гармоник – достаточно малым. Напряжение ОС uос, определяемое (15.5), вследствие этого также будет гармоническим; его можно записать в виде

Введем понятие средней крутизны ВАХ

Она определяется отношением амплитуды Im1 первой гармоники тока iК, протекающего через нелинейный элемент, к амплитуде Umос, действующего на нелинейный элемент напряжения uос. Среднюю крутизну часто поэтому называют крутизной ВАХ по первой гармонике. Средняя крутизна Scp(Umос) зависит от амплитуды напряжения обратной связи Umос и от положения рабочей точки U0. На рис. 15.5 показана типичная ВАХ транзистора iК = = F(uос). Пусть рабочая точка выбрана на середине линейного участка характеристики (U0 = U0¢ ). При увеличении амплитуды напряжения Umос средняя крутизна, пока мы находимся в пределах линейного участка характеристики, остается неизменной. Затем средняя крутизна ВАХ падает (рис. 15.6, а). Если выбрать рабочую точку (U0 = U0¢ ¢ )на нижнем загибе характеристики iК = = F(uос), где средняя крутизна мала, то по мере увеличения амплитуды Umос будут охватываться участки характеристики с большей крутизной и, следовательно, Scp(Umос) станет расти. После прохождения участка с наибольшей крутизной дальнейшее увеличение Umос приводит к уменьшению средней крутизны (рис. 15.6, б).

Дифференциальное уравнение (15.8) при работе генератора в режиме больших амплитуд является, вообще говоря, нелинейным, поскольку в коэффициент при duк/ dt входит средняя крутизна Scp(Umос), зависящая от амплитуды Umос напряжения ОС.

Однако в стационарном режиме, когда гармоническое напряжение на контуре uк характеризуется установившейся (стационарной) амплитудой U, гармоническое напряжение обратной связи uос также описывается установившейся (стационарной) амплитудой Umос. При этом средняя крутизна Scp(Umос) является постоянной величиной и дифференциальное уравнение (15.8) можно считать линейным:

В стационарном режиме генерируются незатухающие гармонические колебания. Это имеет место, когда

Отсюда установившееся (стационарное) значение средней крутизны равно

С учетом этого обозначения коэффициент затухания контура перепишем в виде

Из формулы (15.13) при a э = 0 можно определить стационарную амплитуду , которая соответствует точке пересечения кривой Sср(Umос) и прямой линии . Рис. 15.7 иллюстрирует процесс нахождения стационарной амплитуды для двух зависимостей средней крутизны, соответствующих различным положениям рабочей точки на ВАХ (см. рис. 15.5).

Частота генерируемых колебаний, определяемая как w г = = , в стационарном режиме при a э = 0 совпадает с резонансной частотой колебательного контура w 0.

Устойчивость стационарного режима

Стационарный режим называется устойчивым, если отклонение D Um.. от стационарной амплитуды с течением времени будет уменьшаться.

Рассмотрим стационарный режим в точке А на рис. 15.7, а. Отклонение —D Um.. от амплитуды приведет к Sср(Um..) > и, в соответствии с (15.13), к a э < 0, т. е. амплитуда колебаний будет увеличиваться и приближаться к стационарному значению. При отклонении +D Um.. средняя крутизна Sср(Um..) < , т. е. коэффициент затухания a э, станет положительным и амплитуда уменьшится, вновь приближаясь к стационарной. Таким образом, точка А соответствует устойчивому стационарному режиму.

Точка В на рис. 15.7, б соответствует неустойчивому режиму, так как отклонение амплитуды Um.. от стационарного значения в сторону уменьшения ведет к Sср(Um..) < и a э > 0, т. е. к дальнейшему уменьшению амплитуды Um.., а отклонение амплитуды Um.. от стационарной в сторону увеличения вызовет дальнейший ее рост и переход в следующее стационарное состояние, отмеченное точкой С.

Стационарное состояние в точке С является устойчивым, в чем легко убедиться с помощью рассуждений, аналогичных приведенным выше.

Можно заметить, что справедливо следующее утверждение: пересечение прямой линии с кривой средней крутизны Sср(Um..) дает устойчивые значения стационарной амплитуды , если на этом участке dSср(Um..)/ dUm.. < 0 и неустойчивые значения – если dSср(Um..)/ dUm.. > 0. Поэтому условие dSср(Um..)/ dUm.. < < 0 можно считать условием устойчивости стационарного режима.

Режим самовозбуждения

Будем менять коэффициент взаимной индукции М и наблюдать за процессом возникновения колебаний. Этот процесс зависит также от выбора рабочей точки на ВАХ (напряжения смещения U0).

Выбору рабочей точки в области наибольшей крутизны (напряжение смещения U0¢ на рис. 15.5) соответствует график средней крутизны Sср(Um..), показанной на рис. 15.8, а.

При изменении параметра М меняется значение средней крутизны = LG/ M. На рис. 15.8, а изображены несколько прямых , соответствующих различным М.

При М = М1 колебания в автогенераторе возникнуть не могут, поскольку > Sср(Um..) и коэффициент затухания контура a э > 0, значит, любые случайные флуктуации напряжения Um.. будут быстро затухать.

Увеличение М до значения М2 приводит к = Sср(Um..) и a э = 0. Дальнейший рост М снижает значение ; при этом коэффициент a э становится отрицательным, т. е. a э < 0. Таким образом, начиная с M М2, в автогенераторе возникают незатухающие колебания с соответствующими стационарными амплитудами . С увеличением М стационарная амплитуда колебаний плавно нарастает. Уменьшение М вызовет плавное уменьшение значений стационарной амплитуды . График зависимости стационарной амплитуды генерируемых в автогенераторе колебаний от коэффициента взаимной индукции М приведен на рис. 15.8, б. Такой режим самовозбуждения генератора, при котором амплитуда колебаний плавно нарастает с увеличением М, называется мягким режимом самовозбуждения.

Если рабочую точку выбрать на нижнем загибе ВАХ, как это показано на рис. 15.5 при U0 = U0¢ ¢ , то график средней крутизны Sср(Um..) имеет вид, показанный на рисунке 15.9, а.

При М, равном М1, М2 и М3, наличие малых флуктуаций напряжения Um.. не приведет к установлению стационарной амплитуды, поскольку при значениях , равных , и ,коэффициент затухания контура a э будет положительным.

Только начиная с М = М4, когда Sср(Um..) = и a э = 0, малые флуктуации амплитуды напряжения обратной связи начинают быстро расти, пока не установится устойчивое стационарное значение амплитуды . Дальнейшее увеличение М ведет к плавному росту стационарной амплитуды.

При плавном уменьшении обратной связи (коэффициента М) стационарная амплитуда будет также плавно уменьшаться. Колебания сорвутся при значении М = М2, меньшем М4, когда перестанет выполняться условие стационарности Sср(Um..) = . На рис. 15.9, б дан график изменения амплитуды в зависимости от М. Такой режим, когда колебания возбуждаются при большем значении М, а срываются при меньшем значении М, называется жестким режимом самовозбуждения.

Достоинством мягкого режима самовозбуждения является плавное изменение амплитуды при изменении коэффициента М; достоинством жесткого режима является высокий КПД за счет работы с отсечкой коллекторного тока.

Можно объединить достоинства мягкого и жесткого режимов самовозбуждения, если ввести в автогенератор цепь автоматического смещения RБ СБ (рис. 15.10, а). Исходное смещение U0 выбирают таким, при котором рабочая точка находится на участке наибольшей крутизны ВАХ, что соответствует мягкому режиму. При нарастании амплитуды колебаний uос в цепи базы за счет нелинейности ВАХ iБ = F(uБЭ) произойдет детектирование колебаний. Возрастание постоянной составляющей тока базы IБO, которая на резистивном сопротивлении RБ создает напряжение IБO× RБ, приводит к уменьшению результирующего напряжения смещения U0IБO× RБ и, как результат, к сдвигу рабочей точки влево (рис. 15.10, б) к нижнему загибу ВАХ iК = F(uБЭ).

Переходный процесс заканчивается (при соответствующем значении RБ) установлением жесткого стационарного режима с более высоким КПД.