3. Аналитическая геометрия

Категория: Справочник по Высшей математике

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

3.1.2. Плоскость в пространстве

3.1.3. Прямая в пространстве

3.2. Кривые второго порядка

3.2.1. Окружность

3.2.2. Эллипс

3.2.3. Гипербола

3.2.4. Парабола

3.3. Поверхности второго порядка

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

3.1. Линейные образы

3.1.1. Прямая на плоскости

Виды уравнений

Уравнение

Наименование

Параметры
общее уравнение прямой на плоскости общее уравнение прямой на плоскости n=(A,B) - нормальный вектор прямой;

,, - координаты фиксированных точек на прямой;

k -
угловой коэффициент прямой;

a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х;

b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y;

q=(l,m) - направляющий вектор прямой
уравнение прямой, проходящей через данную точку уравнение прямой, проходящей через данную точку
уравнение прямой с данным угловым коэффициентом уравнение прямой с данным угловым коэффициентом
уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом
уравнение прямой, проходящей через две точки уравнение прямой, проходящей через две точки
уравнение прямой в отрезках уравнение прямой в отрезках
каноническое уравнение прямой каноническое уравнение прямой

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости 1; Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости 2,

где и -нормальный и направляющий векторы первой прямой;

и - нормальный и направляющий векторы второй прямой.

Условия параллельности двух прямых на плоскости:

  1. Условия параллельности двух прямых на плоскости 1;
  2. Условия параллельности двух прямых на плоскости 2;
  3. Условия параллельности двух прямых на плоскости 3, где и - угловые коэффициенты прямых.

Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:

  1. n1 n2 n1 n2=0 или A1A2+B1B2=0;
  2. q1 q2 q1 q2=0 или l1l2+m1m2=0;
  3. Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости

3.1.2. Плоскость в пространстве

Виды уравнений

Уравнение

Наименование

Параметры
общее уравнение плоскости в пространстве общее уравнение плоскости в пространстве нормальный вектор плоскости - нормальный вектор плоскости;

координаты фиксированных точек на плоскости 1
координаты фиксированных точек на плоскости 2 - координаты фиксированных точек на плоскости;

a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью
на осях координат;

направляющие косинусы нормального вектора плоскости - направляющие косинусы нормального вектора плоскости;

p - длина перпендикуляра, опущенного
из начала координат на плоскость
уравнение плоскости, проходящей через три точки уравнение
плоскости, проходящей через три
точки
уравнение плоскости в отрезках уравнение плоскости в отрезках
нормальное уравнение плоскости 1

нормальное уравнение плоскости 2

 нормальное уравнение плоскости

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:

Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора 1Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора 2Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора 3.

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:

Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями;

гденормальные векторы плоскостей 1 и нормальные векторы плоскостей 2 -нормальные векторы плоскостей.

Условие параллельности двух плоскостей:

Условие параллельности двух плоскостей.

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

n1 n2 n1 n2=0 или A1A2+B1B2+С1С2=0.

3.1.3. Прямая в пространстве

Виды уравнений

Уравнение

Наименование

Параметры
общие уравнения прямой в пространстве общие уравнения прямой в пространстве нормальные векторы плоскостей 1 и
нормальные векторы плоскостей 2 - нормальные векторы плоскостей;направляющий вектор прямой-
направляющий вектор прямой;координаты фиксированных точек на прямой 1,
координаты фиксированных точек на прямой 2,
координаты фиксированных точек на прямой 3-
координаты фиксированных точек на прямой
канонические уравнения прямой в пространстве канонические уравнения прямой в пространстве
параметрические уравнения прямой в пространстве параметрические уравнения прямой в пространстве
уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:

Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве,

где направляющие векторы прямых 1 и направляющие векторы прямых 2- направляющие векторы прямых.

Условие параллельности двух прямых в пространстве:

Условие параллельности двух прямых в пространстве.

Условие ортогональности двух прямых в пространстве:

q1 q2 q1 q2=0 или l1l2+m1m2+n1n2=0.

3.2. Кривые второго порядка

Общее уравнение кривой второго порядка:

Общее уравнение кривой второго порядка.

3.2.1. Окружность

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение окружности.

Радиус окружности: a.

 3.2.1. Окружность
Параметрическое уравнение: Параметрическое уравнение Уравнение в полярных координатах: Уравнение в полярных координатах
Уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами : Уравнение окружности радиуса с центром в точке с координатами

3.2.2. Эллипс

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение эллипса.

Полуоси эллипса: Полуоси эллипса.
Фокусное расстояние: c.
Фокусы: Фокусы эллипса и,
где .

 3.2.2. Эллипс

Эксцентриситет:

 Эксцентриситет 1, Эксцентриситет 2. Параметрическое уравнение: Параметрическое уравнение эллипса.

3.2.3. Гипербола

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение гиперболы.

Действительная полуось: a, мнимая полуось:
b.
Фокусное расстояние: с.
Фокусы: Фокусы гиперболы 1 и Фокусы гиперболы 2,
где .

 3.2.3. Гипербола

Эксцентриситет: Эксцентриситет гиперболы 1;
Эксцентриситет гиперболы 2;

 Асимптоты: Асимптоты гиперболы

Параметрическое
уравнение:Параметрическое уравнение гиперболы

3.2.4. Парабола

Каноническое уравнение:

Каноническое уравнение параболы,

Параметр: p.
Фокус: Фокус параболы;
директриса: директриса параболы.

 3.2.4. Парабола

3.3. Поверхности второго порядка

Каноническое уравнение

Наименование

Параметры

Чертеж

Каноническое уравнение сферы

сфера

a –
радиус

 сфера

Каноническое уравнение эллипсоида.

эллипсоид

-
полуоси

 эллипсоид

Каноническое уравнение однополостного гиперболоида

однополостный гиперболоид

-действитель-ные
полуоси,

-
мнимая полуось

 однополостный гиперболоид

Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида

двуполостный гиперболоид

-действитель-ная
полуось, -
мнимые полуоси

 двуполостный гиперболоид

Каноническое уравнение эллиптического параболоида

эллиптический параболоид

-
полуоси

 эллиптический параболоид

Каноническое уравнение гиперболического параболоида

гиперболический параболоид

-
полуоси

 гиперболический параболоид

Каноническое уравнение конуса

конус

-
полуоси

 конус

Каноническое уравнение параболического цилиндра

параболический цилиндр

р - параметр

 параболический цилиндр

Каноническое уравнение эллиптического цилиндра

эллиптический цилиндр

-
полуоси

 эллиптический цилиндр

Каноническое уравнение гиперболического цилиндра

гиперболический цилиндр

-
полуоси

 гиперболический цилиндр

3.4. Преобразование координат

3.4.1. Преобразование координат на плоскости

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.

Параллельный перенос: Параллельный перенос,

Преобразование декартовой прямоугольной системы координат

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

координаты нового начала координат: .

Поворот: Поворот,

где координаты точки M в старой системе координат: ;

координаты точки M в новой системе координат: ;

угол поворота: j .

Переход от декартовых
прямоугольных координат к полярным координатам и обратно. ;; ; ;

3.4.2. Преобразование координат в пространстве

Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам и обратно:

; ; ;

Переход от декартовых координат к сферическим координатам и обратно:


,, ;