Дискретная свертка. В предыдущих разделах этой главы бала установлена определенная аналогия между соотношениями, существующими для аналоговых и дискретных сигналов. Подобная аналогия существует и между методами анализа и синтеза аналоговых и дискретных цепей.
Под дискретной цепью понимают любое устройство, которое преобразует одну последовательность x{k} в другую y{k} (рис. 19.24).
Линейной дискретной цепью называют цепь подчиняющуюся принципу суперпозиции.
Связь между входным дискретным сигналом x{k} (воздействием) и выходным сигналом y{k} (отсчетом) определяется дискретной сверткой (сравни с (8.12)):
(19.35)
где h(k) – импульсная характеристика дискретной цепи. Она определяется как отклик дискретной цепи на воздействие в виде единичного импульса (d-функция, рис. 19.4).
Иногда свертку (19.35) записывают символически: y(k) = x(k)*h(k) (см. теорему свертки, 19.3. Z-преобразование и его свойства).
Линейная дискретная цепь, будет устойчива, если выполняется условие
(19.36)
Пример. Рассчитаем значения выходной последовательности y{k} цепи, имеющей дискретную импульсную характеристику h{k} = {–1; 1; 2}, если входная последовательность имеет вид x{k} = {–2; 1; 2: –1}. Графики x(k) и h(k) приведены на рис. 19.25.
Пользуясь формулой (19.35), рассчитаем значения выходной последовательности y(k)
График дискретного сигнала y(k) приведен на рис. 19.26.
Вычисления по формуле (19.35) можно выполнить также с помощью простого устройства. Запишем последовательности чисел x(k) и h(–k) на отдельных полосках бумаги, как показано на рис. 19.27. На обеих полосках пометим маленькими стрелочками точки k = 0. Обратим внимание на то, что h(–k) является обратной последовательностью относительно h(k), так что она строится в обратном направлении от k = 0. Будем сдвигать нижнюю полоску относительно верхней в направлении стрелки. Вычисление суммы произведений стоящих друг против друга чисел при каждом сдвиге дает последовательность y(k).
Проведя дискретизацию импульсной характеристики аналоговой цепи можно описать ее дискретной математической моделью. Если, например, для RC-цепи, изображенной на рис. 19.28 взять дискретные значения импульсной характеристики:
то получим дискретную математическую модель RC цепи, выходную реакцию которой можно найти с помощью (19.35). При этом, естественно входной сигнал также должен быть дискретизирован (рис. 19.28). Точно также можно получить дискретные модели других аналоговых цепей. Таким образом формула дискретной свертки (19.35) является достаточно универсальной, пригодной для описания как аналоговых, так и дискретных цепей.
Пример. На вход цепи поступает сигнал в виде дискретной d-функции. Рассчитаем выходные последовательности y(k) цепей, имеющих дискретные импульсные характеристики
а) h{k} = {1; 1; 0; 0; ...};
б) h{k} = {1; –1; 0; 0; ...};
в) h[k] = 2e–k/2.
Графики импульсных характеристик а), б), в) приведены на рис. 19.28.
Рассчитываем значения y(n),используя формулу (19.17)
y(n) =
, в которой x(k) = d{k}.
Для цепи, имеющей дискретную импульсную характеристику
а) h{k} = {1; 1; 0; 0; ...}, получаем
Все остальные значения y(n) будут также нулевыми.
Для цепи с импульсной характеристикой
б) h{k} = {1; –1; 0; 0; ...} получаем
Остальные значения y(n) равны нулю.
Для цепи с импульсной характеристикой
в) h{k} = 2e–k/2 = {2; 1,22; 0, 74; 0,45; 0,27; ...} получаем
Все остальные отсчеты выходной последовательности y{k} повторяют соответствующие отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k), также как и в двух предыдущих случаях а) и б). Этот вывод очевиден, т. к. импульсная характеристика – это реакция цепи на d-импульс.
Графики y(k) будут такими же, как графики h(k) на рис. 19.29, что является очевидным, т. к. h(k) по определению есть реакция цепи на d-функцию.
Элементы дискретных цепей. Как следует из уравнения (19.35) при вычислении реакции дискретной цепи на заданное воздействие выполняется всего три операции: умножение, задержка и сложение.
На рис. 19.30 эти действия представлены в виде элементов структурной схемы. Операцию умножения дискретного сигнала x(k) на число К можно представить в виде усилителя с коэффициентом усиления К. На его выходе получаем сигнал y(k) = K×x(k). Сложение чисел естественно отобразить на схеме в виде сумматора. Получение отсчета x(k – 1) = x(kT – T) из x(k) = x(kT) можно связать с задержкой последнего на время Т, т. е. на один «такт». Действие элемента задержки поясняется на рис. 19.30.
Таким образом, алгоритм вычислений дискретного сигнала y(k), описываемый выражением (19.35), можно представить в виде структурной схемы.
Пример. Составим структурную схему цепи, дискретная импульсная характеристика которой дана в предыдущей задаче, т. е. h{k} = {–1; 1; 2} (рис. 19.25).
В соответствии с алгоритмом (19.35) и с учетом заданных значений характеристики h(k) структурная схема цепи приведена на рис. 19.32. По этой схеме несложно определить выражение для выходной последовательности y(k) =–x(k) + x(k – 1) + 2x(k – 2).
Как следует из рис. 19.30 и рис. 19.31 общим свойством элементов дискретных цепей является их однонаправленное действие, показанное на рисунках стрелками. С точки зрения топологии, элементы дискретных цепей представляют собой двухполюсные (элемент задержки, умножитель) или многополюсные элементы (сумматор).
Общее уравнение дискретных цепей. Из уравнения (19.35), рассмотренных примеров и рис. 19.32 отклик дискретной цепи y(k) на воздействие х(k) можно записать в виде следующего уравнения
(19.37)
где a0, a1, a2, ..., aN – некоторые числа (веса) представляющие собой по сути отсчеты импульсной характеристики цепи.
Уравнению (19.37) соответствует дискретная цепь, изображенная на рис. 19.33. В литературе эту цепь называют иногда трансверсальным фильтром.
Как следует из (19.37) для получения k-го отсчета выходного сигнала подвергаются обработке (k – N) отсчетов входного сигнала с соответствующими весовыми коэффициентами.
Следует однако отметить, что уравнением (19.37) не исчерпываются все возможные алгоритмы работы дискретных цепей. В частности, этот алгоритм может включать обработку не только отсчетов входного, но и отсчетов выходного сигнала, сдвинутого на определенное число тактов. Поэтому наиболее общее уравнение дискретной цепи имеет следующий вид
(19.38)
где bl – весовые коэффициенты.
На рис. 19.34 изображена схема дискретной цепи, соответствующей алгоритму (19.38).
Принципиальным отличием схемы, изображенной на рис. 19.34 от схемы на рис. 19.33 является наличие цепи обратной связи, поэтому схемы, описываемые уравнением (19.38), получили название рекурсивных, а цепи, описываемые (19.37), – нерекурсивных.
Для нахождения реакции дискретной цепи необходимо решить разностные уравнения (19.37) и (19.38). Если решение (19.37) обычно не представляет особого труда, то для решения (19.38) необходимо использовать специальные методы. По аналогии с решением дифференциальных уравнений, описывающих аналоговую цепь, решение разностных уравнений можно осуществить как классическим, так и операторным методом. Обычно для решения разностных уравнений в теории дискретных цепей используется операторный метод, причем вместо преобразования Лапласа используют z-преобразование.
Передаточные функции. При анализе и синтезе дискретных систем важнейшую роль играют передаточные или системные функции цепей.
Применим к уравнению (19.38) прямое z-преобразование и учтя основные свойства z-преобразования (см. 19.3. Z-преобразование и его свойства), получим
Отсюда следует
(19.39)
Определим передаточную функцию дискретной цепи как отношение z-преобразований выходного ко входному дискретному сигналу:
(19.40)
Из (19.40) следует, что коэффициенты ak числителя определяют нерекурсивную часть дискретной цепи, а коэффициенты bl знаменателя – рекурсивную часть.
Для нерекурсивной цепи (M = 0) передаточная функция определится как
(19.41)
Передаточную функцию (19.41) можно определить как z-преобразование от импульсной характеристики цепи:
(19.42)
Сравнение (19.41) и (19.42) показывает, что роль коэффициентов ak играют отсчеты импульсной характеристики h(k). Нетрудно также видеть, что импульсная характеристика нерекурсивной цепи согласно (19.37) является конечной, а рекурсивной согласно (19.38) бесконечной, поэтому иногда нерекурсивные дискретные цепи называют цепями с конечной импульсной характеристикой (КИХ), а рекурсивные – с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ).
Пример. Положим, что передаточная функция дискретной цепи имеет вид
При a = 1; b = 0 получаем идеальный интегратор с импульсной характеристикой h{k} = {1, 1, ..., 1, ...}. По нерекурсивной схеме такую импульсную характеристику реализовать нельзя.
Анализ (19.40) показывает, что передаточная функция рекурсивной цепи имеет структуру, аналогичную типичной передаточной функции цепи с ОС (см. гл. 14). H(z) является дробно-рациональной функцией относительно z–1:
Из (19.40) и (19.41) также следует, что H(z) из (19.40) имеет полюса (нули полинома знаменателя), которые могут располагаться в любой точке z-плоскости, а H(z) из (19.41) только полюс кратности N в начале координат.
Пример. Найдем передаточную функцию элемента задержки. Сигнал на его выходе описывается уравнением
Применив к нему z-преобразование, получим
Отсюда получаем
поэтому на структурных операторных схемах дискретных цепей элемент задержки обычно обозначают z–1 (рис. 19.35).
Пример. Найдем импульсную характеристику и передаточную функцию дискретной цепи (рис. 19.36), выходная последовательность которой задана выражением y(k) = 4x(k) – 1,5x(k – 1).
Отсчеты дискретной импульсной характеристики h(k) – это отсчеты y(k), рассчитанные при условии, что на вход цепи подается дискретная d-функция, т. е. x{k} = d{k} = {1; 0; 0; ...}.
,
,
при k > 1.
Таким образом, отсчеты дискретной импульсной характеристики h{k} = {4; –1,5} соответствуют коэффициентам усиления усилителей в схеме (рис. 19.36).
Для нахождения передаточной функции H(z) воспользуемся формулой (19.42):
.
Другой способ нахождения передаточной функции H(z) заключается в том, чтобы определить z-изображение выходной последовательности, а затем найти H(z) как отношение Y(z) и X(z):
или
.
Очевидно, что H(z) = 4 – 1,5z–1. На рис. 19.37 приведено z-изображение этой дискретной цепи.
Пример. Найдем передаточную функцию дискретной цепи, входная и выходная последовательности которой имеют вид
x{k} = {1; 0; 1; 2}, y{k} = {0; 1; 2; 1}.
Z-изображения последовательностей
;
.
Следовательно, передаточная функция
.
Зная передаточную функцию дискретной цепи H(z) с помощью формулы
(19.43)
можно найти z-изображение выходного сигнала Y(z) по z-изображению входного Х(z).
Для нахождения отсчетов выходного сигнала y(k) по его z-изображению Y(z) можно точно также как и для аналоговых цепей использовать теорему разложения, которая применительно к дискретным цепям для правильной дробно-рациональной функции Y(z) = P(z)/Q(z) (где P(z), Q(z) – полиномы) имеет вид
(19.44)
где Al – коэффициенты разложения Y(z):
zl – простые полюса Y(z).
Коэффициент Al может быть найден
– вычет функции Y(z) в полюсе z = zl.
Следует отметить, что отсчеты y(k) для нерекурсивной цепи могут быть найдены как коэффициенты при отрицательных степенях z в уравнении для Y(z).
Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала y(k) дискретной цепи, z-изображение которой приведено на рис. 19.38, а входной сигнал x{k} = {–2; 1; 2; –1}.
Найдем z-изображение входного сигнала x(k):
Передаточная функция цепи (рис. 19.38) 
. Она находится непосредственно по схеме либо как z-изображение дискретной импульсной характеристики h{k} = {–1; 1; 2}.
Найдем z-изображение выходного сигнала
Коэффициенты при z в отрицательных степенях в этом выражении являются отсчетами выходного сигнала y(k) (рис. 19.26):
y{k} = {2; –3; –5; 5; 3; –2}.
Пример. Найдем отсчеты выходного сигнала нерекурсивной дискретной цепи, имеющей дискретную импульсную реакцию h{k} = {1; –0,6; –1,5; 1}, при воздействии на нее дискретного сигнала x{k} = {1; 0; 1; 0}.
Отсчеты дискретной импульсной характеристики – это коэффициенты усиления a0 = 1; a1 = –0,6; a2 = –1,5; a3 = 1. Структурная схема нерекурсивной дискретной цепи с заданной импульсной реакцией приведена на рис. 19.39.
Выходной дискретный сигнал y(k) найдем, используя выражение (19.37)
Отсчеты сигнала y(k) найдем, подставляя значения x(k) в полученное разностное уравнение.
; 
; 
.
;
Аналогичным образом рассчитываем y(4) = –1,5; y(5) = 1; y(6) = 0. Все остальные отсчеты также равны нулю.
Таким образом, выходная последовательность y{k} = {1; –0,6; –0,5; 0,4; –1,5; 1}. Графики x(k) и y(k) приведены на рис. 19.40.
Из рис. 19.34 следует, что для реализации алгоритмов рекурсивной обработки сигнала дискретная цепь должна иметь большое количество ячеек памяти, что существенно усложняет схему. Для упрощения дискретной цепи используют, так называемую каноническую схему. Каноническая схема может быть получена из (19.40), если представить Y(z) в виде:
(19.45)
где W(z) – z-преобразование промежуточной последовательности
(19.46)
Тогда согласно (19.45) алгоритм дискретной обработки сигнала заключается в том, что вначале реализуется рекурсивное преобразование (19.46), а затем нерекурсивное (рис. 19.41).
Пример. Найдем реакцию дискретной цепи на воздействие x{k} = {1; –1; 1; –1}, если передаточная функция цепи имеет вид 
.
Составим структурную каноническую схему дискретной цепи с заданной передаточной функцией (рис. 19.42). Коэффициенты усиления известны: a0 = 1; a1 = –1; a2 = 1; b1 = 0,5; b2 = –0,5.
Найдем выходной сигнал y(k) цепи, используя уравнение (19.37) или непосредственно по схеме:
Рассчитаем отсчеты y(k):
;
;
Аналогичным образом рассчитываем y(3) = –1,125, y(4) = 1,3125 и т. д.
Устойчивость рекурсивных цепей. Дискретная цепь считается неустойчивой, если ограниченное по амплитуде входное воздействие вызывает на ее выходе бесконечно нарастающий отклик. Наоборот, дискретная цепь устойчива, когда отклик на ограниченное воздействие также ограничен.
Известно, что у устойчивой аналоговой цепи полюсы передаточной функции располагаются в левой полуплоскости переменной p. При переходе от аналоговой цепи к дискретной и замене преобразования Лапласа z-преобразованием точки левой полуплоскости p-плоскости переходят в точки, лежащие внутри единичной окружности z-плоскости (рис. 19.16). Таким образом, полюсы передаточной функции устойчивой дискретной цепи располагаются внутри единичной окружности z-плоскости.
Нерекурсивные цепи всегда устойчивы.
Пример. Определим устойчивость цепей, имеющих передаточные функции:
а) 
,
б) 
,
в) 
,
г) 
.
Полюс передаточной функции
найдем, приравняв знаменатель H1(z) к нулю, 1 – 0,3z–1 = 0.
Получаем полюс 
= 0,3, который находится внутри единичной окружности z-плоскости. Это означает, что цепь устойчива.
Передаточная функция
имеет полюс в точке 
= 2; такая цепь неустойчива.
Полюсы передаточной функции
являются комплексно-сопряженными 
и 
. Поскольку эти полюсы лежат внутри единичной окружности (их модули 
), то данная дискретная цепь устойчива.
Примером неустойчивой цепи служит цепь с передаточной функцией
,
у которой 
и 
и 
.
Частотные характеристики. Для перехода от передаточной функции H(z) к частотной характеристике H(jf) необходимо произвести замену
.
Обычно вводят в рассмотрение нормированную частоту W = fT = = f/fд. С учетом этого формула (19.40) примет вид:
(19.47)
Из (19.47) легко получить амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики дискретной цепи. В частности, амплитудно-частотная характеристика будет представлена выражением
(19.48)
Пример. Дискретная цепь 3-го порядка описывается передаточной функцией
с полюсами 
и 
. Расположение полюсов в плоскости z показано на рис. 19.43, а. Здесь же приведена структурная схема дискретной цепи (рис. 19.43, б). Определить АЧХ цепи.
Подставим в (19.49)
(19.48)
На рис. 19.44 изображен график АЧХ H(W) цепи. Из рисунка видно, что АЧХ с передаточной функцией (19.49) соответствует ФНЧ Баттерворта. Как и следовало ожидать, амплитудно-частотная характеристика дискретной цепи является периодической функцией (так как H(jW) есть преобразование Фурье от дискретной импульсной реакции). Ее период равен fд = 1/T или W = fд×T = 1. Поэтому она используется в диапазоне частот от 0 до 0,5fд (или до W = 0,5). Цепь устойчива.
Пример. Найдем частотную характеристику дискретной цепи с импульсной характеристикой h{k} = {1,5; 1; 0,5}.
Запишем передаточную функцию H(z) цифрового фильтра, воспользовав-
шись формулой 
. Получим 
переда-
точную функцию нерекурсивной цепи.
Найдем АЧХ этой цепи, подставляя в формулу (19.48) значения коэффициентов усиления a0 = 1,5; a1 = 1; a2 = 0,5,
График АЧХ изображен на рис. 19.45.
Пример. Изменим коэффициенты усиления в предыдущем примере. Выберем a0 = a2 = 1, a1 = –2. Вновь найдем выражение H(W) и построим график его амплитудно-частотной характеристики.
Заменим в формуле для H(W), полученной в предыдущем примере, значения коэффициентов a0, a1 и a2. Получим
.
График АЧХ изображен на рис. 19.46. Из графика видно, что нерекурсивная цепь с такими значениями коэффициентов усиления – это режекторный фильтр.