1.1. Определители (детерминанты)
Обозначения определителя матрицы А: D , det A, .
Определитель второго порядка: .
Определитель третьего порядка:
Разложение определителя n-го порядка по i-й строке:
Разложение определителя n-го порядка по j-ому столбцу:
-алгебраическое дополнение элемента
,
,
-минор элемента
, т.е. определитель, получаемый из исходного определителя вычёркиванием i-й строки и j-го столбца.
1.2. Матрицы
Матрица размерами n x m (n строк и m столбцов): | ![]()
где |
Равенство матриц: , если эти матрицы одного размера и
.
Квадратная матрица порядка n: .
Сложение матриц: , где
.
Свойства сложения матриц:
1) ассоциативность: ;
2) коммутативность: ;
Умножение матрицы на число: .
Умножение матриц: .
Свойства умножения матриц:
-
- ассоциативность:
;
- некоммутативность.
- определитель произведения квадратных матриц:
.
- ассоциативность:
Транспонирование матрицы: .
Свойство транспонирования произведения матриц: .
Невырожденная (неособая) матрица: .
Обратная матрица для невырожденной матрицы A: .
Свойства обратной матрицы:
1) ;
2) .
Виды матриц:
единичная матрица:
симметрическая матрица:
ортогональная матрица: A - невырождена и
кососимметрическая матрица: ;
матрица-строка:
матрица-столбец: .
Ранг матрицы - наибольший порядок её ненулевого минора или наибольшее число линейно независимых строк (столбцов) матрицы.
1.3. Системы линейных уравнений
![]() |
![]()
|
Матричный вид: ,
- матрица системы,
![]() |
- столбец неизвестных, |
![]() |
- столбец свободных членов. |
Совместность системы: , где
- расширенная матрица системы (теорема Кронекера-Капелли).
Формулы Крамера (n=m): ,
- определитель матрицы системы;
-определитель, полученный при замене i-го столбца матрица A на столбец В.
Однородная система (B=0):
![]() |
Если ![]() то система им ![]() ![]() то существуют ненулевые решения. |