3.3. Поверхности второго порядка
3.1. Линейные образы
3.1.1. Прямая на плоскости
Виды уравнений
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
![]() |
общее уравнение прямой на плоскости | n=(A,B) - нормальный вектор прямой;
k - a - отрезок, отсекаемый прямой на оси х; b - отрезок, отсекаемый прямой на оси y; q=(l,m) - направляющий вектор прямой |
![]() |
уравнение прямой, проходящей через данную точку | |
![]() |
уравнение прямой с данным угловым коэффициентом | |
![]() |
уравнение прямой, проходящей через данную точку с данным угловым коэффициентом | |
![]() |
уравнение прямой, проходящей через две точки | |
![]() |
уравнение прямой в отрезках | |
![]() |
каноническое уравнение прямой |
Формулы для вычисления угла между двумя прямыми на плоскости:
;
,
где и
-нормальный и направляющий векторы первой прямой;
и
- нормальный и направляющий векторы второй прямой.
Условия параллельности двух прямых на плоскости:
;
;
, где
и
- угловые коэффициенты прямых.
Условия перпендикулярности двух прямых на плоскости:
- n1
n2
n1
n2=0 или A1A2+B1B2=0;
- q1
q2
q1
q2=0 или l1l2+m1m2=0;
3.1.2. Плоскость в пространстве
Виды уравнений
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
![]() |
общее уравнение плоскости в пространстве | ![]()
a,b,c – отрезки, отсекаемые плоскостью
p - длина перпендикуляра, опущенного |
![]() |
уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
![]() |
уравнение плоскости в отрезках | |
![]()
|
нормальное уравнение плоскости |
Выражение направляющих косинусов через координаты нормального вектора:
.
Формулы для вычисления угла между двумя плоскостями:
;
где и
-нормальные векторы плоскостей.
Условие параллельности двух плоскостей:
.
Условие перпендикулярности двух плоскостей:
n1 n2
n1
n2=0 или A1A2+B1B2+С1С2=0.
3.1.3. Прямая в пространстве
Виды уравнений
Уравнение |
Наименование |
Параметры |
![]() |
общие уравнения прямой в пространстве | ![]() ![]() ![]() направляющий вектор прямой; ![]() ![]() ![]() координаты фиксированных точек на прямой |
![]() |
канонические уравнения прямой в пространстве | |
![]() |
параметрические уравнения прямой в пространстве | |
![]() |
уравнения прямой, проходящей через две фиксированные точки |
Формулы для вычисления угла между двумя прямыми в пространстве:
,
где и
- направляющие векторы прямых.
Условие параллельности двух прямых в пространстве:
.
Условие ортогональности двух прямых в пространстве:
q1 q2
q1
q2=0 или l1l2+m1m2+n1n2=0.
3.2. Кривые второго порядка
Общее уравнение кривой второго порядка:
.
3.2.1. Окружность
Каноническое уравнение:
Радиус окружности: a. |
![]() |
||||
Параметрическое уравнение: | ![]() |
Уравнение в полярных координатах: | ![]() |
||
Уравнение окружности радиуса ![]() ![]() |
![]() |
3.2.2. Эллипс
Каноническое уравнение:
Полуоси эллипса: |
![]() |
|||
Эксцентриситет: |
![]() ![]() |
Параметрическое уравнение: | ![]() |
3.2.3. Гипербола
Каноническое уравнение:
Действительная полуось: a, мнимая полуось: |
![]() |
|
Эксцентриситет: |
Асимптоты: ![]() |
Параметрическое |
3.2.4. Парабола
Каноническое уравнение:
Параметр: p. |
![]() |
3.3. Поверхности второго порядка
Каноническое уравнение |
Наименование |
Параметры |
Чертеж |
|
сфера |
a – |
![]() |
|
эллипсоид |
|
![]() |
|
однополостный гиперболоид |
|
![]() |
|
двуполостный гиперболоид |
|
![]() |
|
эллиптический параболоид |
|
![]() |
|
гиперболический параболоид |
|
![]() |
|
конус |
|
![]() |
|
параболический цилиндр |
р - параметр |
![]() |
|
эллиптический цилиндр |
|
![]() |
|
гиперболический цилиндр |
|
![]() |
3.4. Преобразование координат
3.4.1. Преобразование координат на плоскости
Преобразование декартовой прямоугольной системы координат.
Параллельный перенос: ![]()
|
![]() |
где координаты точки M в старой системе координат: ;
координаты точки M в новой системе координат: ;
координаты нового начала координат: .
Поворот: ![]()
|
![]() |
где координаты точки M в старой системе координат: ;
координаты точки M в новой системе координат: ;
угол поворота: j .
Переход от декартовых прямоугольных координат ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
3.4.2. Преобразование координат в пространстве
Переход от декартовых координат к цилиндрическим координатам
и обратно:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |
Переход от декартовых координат к сферическим координатам
и обратно:
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
![]() |