9.1. Числовые ряды
Сходимость ряда. Сумма ряда
Пусть даны , тогда
– ряд, где
– член ряда.
Примеры различных рядов:
- 1+2+4+…+
– ряд сходится.
- 1–1+1–1+…+
– расходится.
– расходится (гармонический ряд).
- сходится.
, при
.
– частичная сумма
Если , то
– сумма ряда. Ряд сходится, если этот предел существует, и расходится, если не существует.
Пример:
Теорема. О сходимости ряда
Сходимость ряда не измениться, если отбросить конечное число его членов.
Признаки сходимости ряда
- Необходимый признак сходимости:
- Достаточный признак расходимости:
Доказательство:
Если , то ряд сходится.
-
- Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
- Признак сравнения:
- Достаточный признак сходимости (для знакопостоянных рядов):
Имеем и
, то
и
– сходится, тогда
– сходится.
или
.
Если
Пример:
, а значит
– сходится.
-
- Признак Даламбера:
Пусть , тогда при
– ряд сходится,
– ряд расходится,
– требуются дальнейшие исследования.
Доказательство:
Пусть , тогда
, начиная с некоторого
.
или
Получаем
Пример:
Ряд –
и
– ряд расходится.
- Радикальный признак Коши:
, при
,
.
Тогда если , то ряд сходится, если
– ряд расходится.
Доказательство:
-
- Пусть
и
- Пусть
Тогда, начиная с некоторого ,
, выполняется неравенство
или
.
– сходится (бесконечно убывающая геометрическая прогрессия), а значит
–сходится по принципу сравнения.
- Пусть
и
Тогда, начиная с некоторого ,
, выполняется неравенство
или
.
Получаем, что –расходится.
Пример:
Ряд – .
Получаем – ряд сходится.
- Интегральный признак Коши:
, при
.
Доказательство:
и
Значит, если – сходится
– сходится.
Знакочередующиеся ряды
Ряды вида: , где
.
Теорема Лейбница
Если и
, то ряд
– сходится.
Доказательство:
Пусть , тогда
. При
.
ограниченна сверху
.
Так как – возрастает и ограниченна сверху
Пример: – сходится.
Пусть дан ряд , тогда
-
– сходится, тогда ряд – абсолютно сходится.
– расходится и
– сходится, тогда ряд сходится условно.
Теорема. Если ряд абсолютно сходится, то любая перестановка членов не меняет сумму.
Если ряд сходится условно, то подходящей перестановкой можно сделать его сумму равной любому числу и даже сделать его расходящимся.
Действия над рядами
,
– абсолютно сходящиеся.
Тогда – абсолютно сходится.
Функциональные ряды
, где
– функция.
Область сходимости
Пусть фиксировано.
Тогда сходится, если
–точка сходимости, и расходится, если
– точка расходимости.
– область сходимости.
Пример:
, то ряд сходится.
, где
– остаток ряда.
Если ряд сходится, то
Мажорируемые ряды
, где
– мажорируемы.
Тогда – мажоранжа (если ряд сходится), при
.
Теорема. О непрерывности суммы ряда
Пусть .
– сходится и
,
– непрерывна на
.
Тогда – непрерывна на
.
Доказательство:
(из определения непрерывности)
,
где .
При и
.
Отсюда
Пример:
на
, разрыв при
Теорема. О почленном интегрировании ряда
Пусть на
– мажорируемый,
– интегрируемы на
(
– существует). Тогда
Теорема. О почленном дифференцировании ряда
Пусть на
– мажорируемый,
– дифференцируемы на
(
– существует). Тогда
9.2. Степенные ряды
, где
– коэффициент,
– произвольная точка,
.
Частный случай:
Теорема Абеля: У каждого степенного ряда существует радиус сходимости.
, при
– сходится
– расходится.
– точка сходимости.
Если , то
, т.е.
– мажорируемый.
Область сходимости:
– сходится при
Пример:
– сходится при
.
Теорема. Радиус сходимости определяется как
.
Доказательство:
Возьмем , тогда
По признаку Даламбера:
Отсюда или
Внутри радиуса сходимости степенной ряд мажорируем, его сумма непрерывна, его можно почленно интегрировать и дифференцировать.
Пример:
или при
ряд сходится.
, значит ряд сходится при любых
, значит при
ряд сходится.
Разложение функций в степенной ряд
– ряд Тейлора.
, тогда
При
– ряд Маклорена.
Разложение некоторых функций в степенной ряд
или
– любое.
или
– любое.
или
– любое.
-
или при
ряд сходится
или при
ряд сходится
Сумма знакочередующегося ряда имеет погрешность не превосходящую первого отброшенного члена.
Пример:
Имеем
Получаем
Считая, что
Пример:
Контрольные примеры:
-
- Разложим в ряд
и посчитаем
- Разложим в ряд
- Разложим в ряд
и посчитаем
Пример разложения функции в ряд Маклорена:
Получаем