Модель дискретного сигнала вида (8.10) предполагает, что отсчетные значения аналогового (непрерывного) сигнала берутся на неограниченном интервале времени. Однако, на практике осуществить такую дискретизацию невозможно, т.е. реальные сигналы ограничены во времени и дискретизация проводится на конечном интервале времени, равном длительности сигнала
.
Рассмотрим особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на интервале своими отсчетами
, взятыми соответственно в моменты времени
. Очевидно, что полное число отсчетов равно
.
При спектральном анализе дискретных сигналов ограниченной длительности полагают, что такой сигнал периодически повторяется, с периодом равным (рис. 8.3а). А это означает, что такой периодический сигнал может быть представлен рядом Фурье (тригонометрическим или комплексным). Поскольку спектр периодического дис
кретного сигнала, с одной стороны, является периодическим на оси частот с периодом
, а спектр периодического на оси времени сигнала является линейчатым, следует ожидать, что спектр рассматриваемого ограниченного дискретного сигнала должен быть периодическим на оси частот и носить линейчатый характер. Действительно, для ограниченного во времени дискретного сигнала его представление (8.10) принимает вид
.
(8.12)
Поскольку в соответствии с принятой методикой анализа является периодическим с периодом
, разложим его в комплексный ряд Фурье
, (8.13)
где ;
.
Комплексные амплитуды для рассматриваемого случая вычисляются следующим образом
. (8.14)
Подставляя (8.12) в (8.14), получим
.
Вводя безразмерную переменную и изменяя порядок суммирования и интегрирования, получим
.
И наконец, учитывая фильтрующее свойство -функции, окончательно приходим к результату
. (8.15)
Ввиду того, что является постоянной величиной, ее в (8.15) можно опустить и пользоваться только номерами отсчетов
(8.15) принимает вид
. (8.16)
Выражение (8.16) является прямым дискретным преобразованием Фурье (ДПФ) и представляет собой алгоритм вычисления спектральных коэффициентов при известных значениях отсчетов
. При этом, вычисления проводятся с использованием математических операций сложения, умножения и задержки средствами ЭВТ.
Совокупность представляет собой дискретный спектр периодического дискретного сигнала. На рис. 8.3б изображена спектральная функция дискретного сигнала. Как и предполагалось, спектральная функция является периодической с периодом
, поскольку периодическим является сомножитель
в (8.16) и дискретный сигнал также рассматривается как периодический (значения аргумента
повторяются через каждые
отсчетов). При этом, если число отсчетов
дискретного сигнала четное, то первые
значений составляющих
соответствуют положительным частотам, а последующие
значений
, а также
– отрицательным частотам (рис. 8.3б). Очевидно, что
.
В дальнейшем удобно представлять дискретный сигнал в виде дискретной последовательности отсчетов
. Тогда, в качестве периода
дискретного сигнала
выступает значение
числа отсчетов и последовательность
является периодической с периодом
. Аналогично и спектральная функция
является дискретной по оси частот последовательностью с тем же периодом
.
Наряду с прямым ДПФ существует и обратное преобразование Фурье
. (8.17)
Обратное ДПФ позволяет рассчитать последовательность отсчетных значений , т.е. дискретный сигнал, если известна его спектральная функция в виде совокупности значений
. Очевидно, обратное ДПФ приводит к периодической временной функции с периодом в
отсчетов.
Отметим важное для практического использования ДПФ обстоятельство. При выводе (8.16) предполагалось, что дискретный сигнал представляет собой периодическую функцию времени. Вместе с тем на практике дискретный сигнал определен на интервале или на интервале
. Вне этого интервала отсчетные значения равны нулю, однако и в этом случае выражения (8.16) и (8.17) справедливы для расчетов. Действительно, последовательность отсчетов
, определенных на интервале
, можно рассматривать как только один период соответствующей периодической последовательности и значения
, рассчитанные в соответствии с (8.16) следует считать равными нулю вне интервала
. Аналогично, обстоит дело и при вычислении значений
по формуле (8.17).
Рассмотрим некоторые свойства ДПФ. Для краткости записи пару ДПФ будем представлять в виде
.
1. Линейность ДПФ. Пусть и
два дискретных сигнала длиной
отсчетов, а
и
– постоянные коэффициенты. Тогда
. (8.18)
2. Свойство временного сдвига. Если дискретному сигналу соответствует ДПФ
, то
, (8.19)
т.е. сдвиг дискретного сигнала на интервалов
приводит к изменению только его фазового спектра. Отметим, что временной сдвиг для дискретной последовательности представляет собой, так называемый круговой сдвиг. При круговом сдвиге значения отсчетов в зависимости от знака
поочередно переносятся в начало или конец последовательности
. Так, например, круговой сдвиг последовательности
на
интервалов при
приводит к последовательности
,
т.е. отсчетов
поочередно переносятся в конец последовательности.
3. Свойство симметрии. Это свойство фактически было уже рассмотрено выше при анализе спектральной функции (рис. 8.3б). Если – четное число, то свойство симметрии определяется следующим выражением
. (8.20)
Приведем некоторые соотношения, вытекающие из (8.16).
Спектральная составляющая
, (8.21)
является средним значением всех отсчетов.
Если – четное число, то
. (8.22)