В выражение (8.41) входят функции . Наличие трансцендентных функций
затрудняет анализ дискретных сигналов и цепей. Для упрощения анализа удобно сделать замену
, где
.
При такой замене указанные трансцендентные функции комплексной переменной преобразуются в соответствующие -изображения, являющиеся алгебраическими функциями переменной
. Преобразование в плоскость
осуществляется при помощи следующих соотношений, связывающих координаты
какой-либо точки
на плоскости
с координатами
соответствующей точки
на плоскости
:
,
;
. (8.43)
Например, точка с координатами ,
со
ответствует точке с координатами
,
(рис. 8.9). При движении точки на плоскости вдоль оси
соответствующая ей точка описывает окружность единичного радиуса на
-плоскости. При этом один оборот точки соответствует изменению частоты от
до
. Точки, лежащие в левой полуплоскости внутри области
однозначно отображаются внутри круга единичного радиуса - плоскости.
Пусть дискретная последовательность представлена в виде
.
Тогда преобразование такой последовательности
,
представляет собой ряд и определено только для тех значений , при которых этот ряд сходится.
Отметим некоторые свойства - преобразования:
1. Линейность. Если последовательности соответствует - преобразование
, а последовательности
– z-преобразование
, то
. (8.44)
2. -преобразование задержанной последовательности. Пусть последовательность
является задержанной на n тактов. Ее -преобразование
. (8.45)
Таким образом, при задержке последовательности на тактов необходимо умножить ее -преобразование на
.
Возвратимся к выражению (8.40). Применяя к обеим частям уравнения -преобразование с учетом второго свойства (8.45), получим:
,
откуда следует
. (8.46)
Отношение (8.46) называется системной функцией дискретной цепи. Системная функция для дискретной цепи играет ту же роль, что и комплексный коэффициент передачи или передаточная функция для непрерывной цепи.
Обратимся к выражению (8.39). Применяя -преобразование к обеим частям выражения, получим
,
откуда следует, что системная функция представляет собой –преобразование импульсной характеристики цепи.