4.5. Частотные характеристики реактивных двухполюсников
Общие свойства реактивных двухполюсников. Наряду с комплексными передаточными функциями цепей, АЧХ и ФЧХ в задачах анализа и синтеза важно знать частотные зависимости входных функций цепи: входного сопротивления Z(jw) и входной проводимости Y(jw). При этом электрическая цепь рассматривается в виде двухполюсника с двумя парами зажимов, через которые они обмениваются энергией с внешними цепями. Существуют различные типы двухполюсников: активные и пассивные, линейные и нелинейные, реактивные (L С) и двухполюсники общего вида (R L C). Из всего многообразия двухполюсников наибольший интерес представляют пассивные реактивные двухполюсники, состоящие только из индуктивностей и емкостей. Важность этих двухполюсников объясняется тем, что они широко применяются в различных радиотехнических устройствах (LC-фильт-ры, корректоры, автогенераторы и др.). Кроме того свойства реактивных двухполюсников лежат в основе синтеза линейных электрических цепей.
Простейшим реактивным двухполюсником является элемент индуктивности и емкости (одноэлементный двухполюсник). К двухэлементному двухполюснику относятся последовательный (4.26, а) и параллельный контуры без потерь (рис. 4.26, б). Функции входного сопротивления и проводимости этих двухполюсников равны:
![](/img/16/gl4-p5/image002.gif)
где
![](/img/16/gl4-p5/image006.gif)
Двухполюсники называются эквивалентными если они обладают одинаковыми входными функциями
Двухполюсники называют обратными*, если они удовлетворяют условию
![](/img/16/gl4-p5/image010.gif)
где R — некоторое постоянное сопротивление.
Рассматриваемые двухполюсники Za(jw) и Zб(jw) являются потенциально обратными, так как условие (4.116) для них выполняется при
![](/img/16/gl4-p5/image012.gif)
Из трех реактивных элементов можно составить уже четыре схемы двухполюсников. На рис. 4.28 приведены две возможные схемы. Их функции входных сопротивлений будут:
![](/img/16/gl4-p5/image014.gif)
где
![](/img/16/gl4-p5/image016.gif)
![](/img/16/gl4-p5/image018.gif)
где
![](/img/16/gl4-p5/image020.gif)
![](/img/16/gl4-p5/image023.gif)
На рис. 4.29 изображены частотные характеристики (4.118) и (4.119).
Анализируя приведенные схемы и графики, можно сформулировать основные свойства реактивных двухполюсников:
1. Входное сопротивление растет с ростом частоты (dZ(jw)/dw > 0).
2. Количество резонансных частот на единицу меньше числа элементов.
3. Резонансы токов (полюса Z(jw)) и напряжений (нули Z(jw)) чередуются, причем, если входное сопротивление двухполюсника на нулевой частоте равна нулю, то первым наступает резонанс токов.
4. В числителе функции входного сопротивления стоит множитель с частотами резонанса напряжения, а в знаменателе – резонанс токов.
5. Множитель jw в уравнении Z(jw) стоит либо в числителе, если первым наступает резонанс токов, либо в знаменателе, если первый резонанс напряжений.
В зависимости от характера зависимой функции входного сопротивления на частоте w= 0 и частоте w= бесконечность различают четыре класса реактивных двухполюсников: (0; бесконечность), (0; 0), (бесконечность;0), (бесконечность;бесконечность).
Канонические схемы реактивных двухполюсников. Наиболее распространенными в теории цепей являются канонические схемы, построенные по правилу (канону) Фостера и Кауэра.
![](/img/16/gl4-p5/image026.gif)
Коэффициент Н в формулах определяется как Например, для первой схемы Фостера класса (бесконечность,бесконечность)
H =La, для второй схемы Фостера класса (0, 0) Н = 1/Сб и т. д.
В схемах Кауэра двухполюсники представлены в виде цепочечных (лестничных) схем, в продольных ветвях которых находятся индуктивности, а в поперечных емкости (первая схема Кауэра, рис. 4.31, а), либо наоборот — в продольных емкости, а в поперечных — индуктивности (вторая схема Кауэра, рис. 4.31, б).
В зависимости от класса канонические схемы Фостера и Кауэра имеют частотные характеристики входных функций.
Положительной особенностью канонических схем Фостера и Кауэра является то, что из всех эквивалентных двухполюсников с заданной частотной характеристикой, они имеют минимальное число элементов. При решении задач синтеза обычно входные функции в схемах Фостера представляются в виде разложения на простые дроби, а в схемах Кауэра — на цепные дроби.
*Правило получения обратных двухполюсников базируется на принципе дуальности: последовательные соединения в исходном двухполюснике заменяются параллельными соединениями дуальных элементов.