При нахождении реакции цепи с помощью интеграла наложения используется импульсная характеристика цепи h(t). Для получения общего выражения интеграла наложения аппроксимируем входной сигнал f1(t) с помощью системы единичных импульсов длительности dt, амплитуды f1(t) и площади f1(t)dt (рис. 8.5). Выходная реакция цепи на каждый из единичных импульсов
Используя принцип наложения, нетрудно получить суммарную реакцию цепи на систему единичных импульсов:
Интеграл (8.12) носит название интеграла наложения. Между интегралами наложения и Дюамеля существует простая связь, определяемая связью (8.3) между импульсной h(t) и переходной g(t) характеристиками цепи. Подставив, например, значение h(t) из (8.3) в формулу (8.12) с учетом фильтрующего свойства d-функции (7.23), получим интеграл Дюамеля в форме (8.11).
Пример. На вход RС-цепи (см. рис. 8.1) подается скачок напряжения U1. Определить реакцию цепи на выходе с использованием интегралов наложения (8.12) и Дюамеля (8.11).
Импульсная характеристика данной цепи равна (см. табл. 8.1): hu(t) = = (1/RC)e–t/RC. Тогда, подставляя hu(t – t) = (1/RC)e–(t–t)/RC в формулу (8.12), получаем:
Аналогично результат получаем при использовании переходной функции данной цепи и интеграла Дюамеля (8.11):
Если начало воздействия не совпадает с началом отсчета времени, то интеграл (8.12) принимает вид
Интегралы наложения (8.12) и (8.13) представляют собой свертку входного сигнала с импульсной характеристикой цепи и широко применяются в теории электрических цепей и теории передачи сигналов. Ее физический смысл заключается в том, что вход ной сигнал f1(t) как бы взвешивается с помощью функции h(t—t): чем медленнее убывает со временем h(t), тем большее влияние на выходной сигнал оказывает более удаленные от момента наблюдения значение входного воздействия.
На рис. 8.6, а показан сигнал f1(t) и импульсная характеристика h(t—t), являющаяся зеркальным отображением h(t), а на рис. 8.6, б приведена свертка сигнала f1(t) с функцией h(t—t) (заштрихованная часть), численно равная реакции цепи в момент t.
Из рис. 8.6 видно, что отклик на выходе цепи не может быть короче суммарной длительности сигнала t1 и импульсной характеристики th. Таким образом, для того чтобы выходной сигнал не искажался импульсная характеристика цепи должна стремиться к d-функции.
Очевидно также, что в физически реализуемой цепи реакция не может возникнуть раньше воздействия. А это означает, что импульсная характеристика физически реализуемой цепи должна удовлетворять условию
Для физически реализуемой устойчивой цепи кроме того должно выполняться условие абсолютной интегрируемости импульсной характеристики:
Если входное воздействие имеет сложную форму или задается графически, то для вычисления реакции цепи вместо интеграла свертки (8.12) применяют графоаналитические способы.