Реальные процессы описываются действительными функциями времени. Однако при рассмотрении многих задач удобно выражать сигнал в виде суммы элементарных сигналов, каждый из которых является комплексной функцией времени, либо рассматривать сам сигнал как комплексную функцию
(2.98)
где U(t) и ψ(t) — огибающая и фаза сигнала. Действительный сигнал s(t) в этом случае определяется следующим выражением:
(2.99)
Такое представление особенно удобно для узкополосных сигналов.
Сигнал называется «аналитическим», если s(t) и
составляют пару преобразований Гильберта:
(2.100)
Интегралы в этих соотношениях понимаются в виде главного значения Коши. Функция называется сопряженной с функцией по Гильберту. При таком выборе s(t) и
огибающая и фаза сигнала определяются однозначно:
(2.101)
(2.102)
Если эффективная ширина спектра сигнала s(t) мала по сравнению с его средней частотой , то U(t) и ψ(t) изменяются медленно по сравнению с функцией s(t). Легко показать, что функции s(t)=cosωt соответствует сопряженная функция
= sinωt, а функции s(t) =sinωt соответствует
=сosωt. Если исходный сигнал представлен рядом Фурье s(t) =
то сопряженная ему функция будет
Таким образом, простейшему сигналу в виде гармонического колебания s(t)=Acosωt соответствует аналитический сигнал s(t)=Аcosωе+iФsinωе=Aeiωt Если сигнал s(t) может быть представлен в виде интеграла Фурье s(t)=, то частотный спектр сигнала будет
Спектры функций s(t) и связаны между собой следующим образом:
(2.103)
где sgn(ω)=
Таким образом, преобразование Гильберта сигнала s(t) можно рассматривать как результат прохождения s(t) через цепь, сдвигающую фазу всех частотных компонент спектра на угол — 90°. Частотная и переходная характеристики этой цепи таковы:
K(iω)=-isgn(ω),
h(t)=1/πt.
Подстановка выражения (2.103) в преобразование Фурье функции (2.98) показывает, что спектр S(iω) сигнала s(t) является «односторонним»:
(2.104)
Это очень полезное свойство аналитического сигнала.
Для периодических функций s(t) сопряженная по Гильберту
функция также является периодической с тем же периодом. Эти функции на отрезке, равном их периоду Т, взаимно ортогональны, т. е.
Сигналы s(f) и
, для которых условие ортогональности сохраняется при замене одного из них на сопряженный по Гильберту, т. е. когда выполняются условия
(s
,
)=
(2.105)
называются ортогональными в усиленном смысле. Можно показать, что такие сигналы также удовлетворяют и условию
(2.106)
где «звездочка» обозначает комплексно-сопряженную величину.
Введение понятия «аналитический сигнал» позволяет представить любую функцию времени (гари несущественных ограничениях) в комплексном виде и однозначно определить огибающую и фазу сигнала. В аналитической форме (2.98) могут быть представлены как детерминированные, так и случайные сигналы. Полезность такого представления состоит в возможности отдельного рассмотрения огибающей и фазы процесса (сигнала или помехи) . Так, при исследовании случайного процесса можно вместо изучения мгновенных значений ограничиться изучением огибающей и фазы процесса, а во многих случаях — либо огибающей, либо фазы.
В общем случае спектры и корреляционные функции процессов
x(t) и одинаковы:
, Вх(ω) =
.
Взаимный энергетический спектр равен
=
, а взаимная корреляционная функция, определяется выражением
. Между законом распределения случайного процесса x(t) с одной стороны и законами распределения огибающей U и фазы ψ с другой существует жесткая связь: зная закон распределения р(х), можно найти законы распределения p(U) и p(ψ). Сравнительно легко эта связь устанавливается в случае гауссовых процессов (см. § 2.3).